Esercizi: Teorema fondamentale del calcolo integrale e formula di Newton-Leibniz

Un pannello solare termico ha un progetto la cui sezione trasversale superiore è delimitata dalla funzione $f(x) = 3x^2 + 2$, dove $x$ si misura in metri. Calcola il valore dell'integrale definito nell'intervallo $[0, 2]$ utilizzando la regola di Barrow.

Data una funzione $f(x)$ continua nell'intervallo $[1, 8]$, sono noti i valori dei seguenti integrali definiti:

• $\int_1^5 f(x) \, dx = 7$

• $\int_5^8 f(x) \, dx = -3$

Utilizza le proprietà dell'integrale definito per calcolare il valore di $\int_1^8 2 \cdot f(x) \, dx$.

Un programmatore di videogiochi sta progettando la traiettoria di un proiettile. La velocità dell'oggetto in funzione del tempo $t$ è data dall'espressione $v(t) = \int_1^t (3x^2 - 4x) \, dx$.

Applica il teorema fondamentale del calcolo integrale per trovare l'espressione dell'accelerazione istantanea $a(t)$, sapendo che l'accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo ($a(t) = v'(t)$).

Calcola l'area della regione piana limitata dal grafico della funzione $f(x) = \sin(x)$, dall'asse delle ascisse $OX$ e dalle rette verticali $x = 0$ e $x = \pi$. Disegna la regione prima di applicare la regola di Barrow.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Determina il valore della derivata della seguente funzione integrale nel punto $x = 2$:

$$F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^3 + 1} \, dt$$

Spiega quale teorema matematico stai utilizzando per risolvere il problema senza dover calcolare la primitiva.

Il consumo elettrico di un'abitazione durante la prima ora del mattino è modellizzato dalla funzione $f(x) = e^x + x$, dove $x$ è il tempo in ore. Calcola il consumo totale accumulato, rappresentato dall'integrale definito:

$$\int_{0}^{1} (e^x + x) \, dx$$

Senza eseguire calcoli complessi di integrazione, giustifica con un ragionamento perché il valore del seguente integrale è uguale a $0$, basandoti sulle proprietà delle funzioni dispari e sulla simmetria dell'intervallo:

$$\int_{-2}^{2} (x^5 + 3x^3 - x) \, dx$$

La figura mostra il grafico di $f(x)=x^5+3x^3-x$ nell'intervallo $[-2,\,2]$, con le regioni comprese tra la curva e l'asse $X$ evidenziate.

Determina l'area della regione delimitata dalla curva $f(x) = x^2 - 4$ e dall'asse $OX$ nell'intervallo $[0, 2]$. Ricorda che se la funzione è negativa nell'intervallo, l'area corrisponde al valore assoluto dell'integrale definito.

In un compito di quinto liceo, si chiede di calcolare la derivata della funzione $F(x) = \int_2^{x^3} \sqrt{t^2 + 5}\,dt$ nel punto $x = 1$. Irene presenta la seguente risoluzione:

«Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, la derivata di un integrale è la funzione integranda calcolata nell'estremo superiore, per cui $F'(x) = \sqrt{(x^3)^2 + 5} = \sqrt{x^6 + 5}$. Sostituendo in $x = 1$, si ottiene $F'(1) = \sqrt{1^6 + 5} = \sqrt{6}$».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Irene e spiega quale regola o teorema ha omesso di applicare.
2. b) Enuncia la versione del teorema fondamentale del calcolo integrale da applicare quando l'estremo superiore di integrazione è una funzione derivabile $g(x)$.
3. c) Correggi l'esercizio calcolando il valore esatto e semplificato di $F'(1)$.

Si considera la funzione $f(x) = 4 - x^2$ definita nell'intervallo $[0, 2]$. Si vuole calcolare il valore dell'integrale definito $I = \int_0^2 (4 - x^2)\,dx$.

1. a) Prima di calcolare qualsiasi primitiva, stima con un ragionamento il valore dell'integrale: giustifica geometricamente perché $I$ deve essere strettamente minore dell'area del rettangolo di vertici $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,4)$ e $(0,4)$ (area 8) e strettamente maggiore dell'area del triangolo di vertici $(0,0)$, $(2,0)$ e $(0,4)$ (area 4). Da ciò, formula una stima numerica ragionevole per il valore di $I$.
2. b) Applica la regola di Barrow per calcolare il valore esatto dell'integrale $I$, specificando la scelta della primitiva utilizzata.
3. c) Verifica se il risultato esatto ottenuto concorda con la tua stima precedente e spiega perché in questo caso il valore dell'integrale coincide esattamente con l'area geometrica delimitata dal grafico di $f$ e dall'asse delle ascisse.

Data la funzione $f(x) = |x^2 - 2x|$, calcola il valore dell'integrale definito nell'intervallo $[0, 3]$ utilizzando la formula di Newton-Leibniz:

$$\int_0^3 |x^2 - 2x| \, dx$$

Spiega brevemente perché è necessario dividere l'intervallo di integrazione per risolvere questo esercizio.

Calcola la funzione derivata $F'(x)$ della seguente funzione integrale utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola della catena:

$$F(x) = \int_{1}^{x^2} \frac{\ln(t)}{t + 1} \, dt$$

Indica il dominio di definizione della funzione $F(x)$ affinché l'integrale sia ben definito.

Determina il valore del parametro reale positivo $a$ sapendo che l'area delimitata dalla curva $f(x) = 3x^2$, dall'asse $OX$ e dalle rette verticali $x = 0$ e $x = a$ è esattamente uguale a 27 unità di area. Utilizza a tal fine la formula di Newton-Leibniz.

Sia la funzione $G(x)$ definita da:

$$G(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 4)e^{t} \, dt$$

Trova l'equazione della retta tangente al grafico di $G(x)$ nel punto di ascissa $x = 0$.

Nota: Ricorda che per trovare l'ordinata del punto di tangenza devi calcolare $G(0)$ e per il coefficiente angolare devi applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale.

La velocità di un prototipo di veicolo elettrico durante i primi 4 secondi di una prova è data dalla funzione $v(t) = t^2 - 3t + 4$ (in m/s).

1. a) Calcola lo spazio totale percorso dal veicolo tra gli istanti $t = 1$ s e $t = 3$ s applicando la formula fondamentale del calcolo integrale (regola di Barrow).
2. b) Giustifica se il veicolo si ferma in qualche momento durante questo intervallo.

Determina il valore medio della funzione $f(x) = \sqrt{x+1}$ nell'intervallo $[0, 3]$ e trova il punto $c \in (0, 3)$ la cui esistenza è garantita dal teorema della media integrale. Interpreta geometricamente il risultato.

Data la funzione integrale $H(x) = \int_{0}^{x} \frac{t-1}{t^2+4} \, dt$:

1. a) Determina gli intervalli di crescenza e decrescenza di $H(x)$.
2. b) Determina le coordinate degli estremi relativi (massimi o minimi) di $H(x)$ e classificali.

Calcola il valore dell'integrale definito della seguente funzione definita a tratti nell'intervallo $[0, 2]$:

$$f(x) = \begin{cases} e^{2x} & \text{se } 0 \le x \le 1 \\ \frac{e^2}{x} & \text{se } 1 < x \le 2 \end{cases}$$

Verifica preliminarmente se la funzione è continua in $x = 1$ per assicurarti che sia integrabile.

Data la funzione $F(x) = \int_1^x (t^2 - 2t)\cdot e^t\,dt$, definita per ogni $x \in \mathbb{R}$, si chiede di studiarne gli intervalli di crescenza e decrescenza e di classificarne gli estremi relativi.

Per affrontare l'esercizio, due studenti propongono strade diverse:

• Saverio propone di trovare prima una primitiva esplicita di $(t^2 - 2t)e^t$ applicando due volte il metodo di integrazione per parti, usare la regola di Barrow per ottenere un'espressione algebrica di $F(x)$ senza integrali e poi derivare la funzione così ottenuta.

• Sofia propone di applicare direttamente il teorema fondamentale del calcolo integrale per ottenere $F'(x)$ senza calcolare alcuna primitiva preliminare.

1. a) Valuta entrambe le strade: sono entrambe matematicamente valide? Giustifica quale delle due è nettamente più efficiente in questo contesto.
2. b) Seguendo il metodo più vantaggioso, determina la funzione derivata $F'(x)$ e individua tutti i suoi punti critici.
3. c) Analizza il segno di $F'(x)$ per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza di $F$ e classifica, motivando, ogni punto critico come massimo o minimo relativo.

L'agenzia meteorologica registra l'intensità di precipitazione netta che alimenta un bacino durante una perturbazione di 6 ore mediante la funzione di portata netta $c(t) = 6t - t^2$ (espressa in ettometri cubi all'ora, $\text{hm}^3/\text{h}$), dove $t \in [0, 6]$ è il tempo in ore trascorso dall'inizio del temporale. Il volume netto accumulato nel bacino è modellizzato come $V(t) = \int_0^t c(u)\,du$.

1. a) Interpreta il significato fisico e matematico di $V'(t)$ a partire dal teorema fondamentale del calcolo integrale. In quale istante l'acqua entra nel bacino con maggiore rapidità?
2. b) A partire dal segno di $V'(t)$, giustifica in quale intervallo di tempo il volume d'acqua aggiunto $V(t)$ è crescente e in quale istante raggiunge il suo valore massimo nell'intervallo $[0, 6]$.
3. c) Utilizza la regola di Barrow per calcolare il volume totale d'acqua (in $\text{hm}^3$) che la perturbazione ha apportato al bacino al termine delle 6 ore.

Sia la funzione $f(t) = \frac{\ln(t)}{t^2}$ definita per $t > 0$. Si definisce una nuova funzione integrale $G(x)$ come:

$$G(x) = \int_{x}^{x^2} f(t) \, dt$$

1. a) Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola della catena, ottieni l'espressione della derivata $G'(x)$.
2. b) Determina gli intervalli di crescenza e decrescenza di $G(x)$ nel suo dominio.
3. c) Trova il valore di $x > 1$ per il quale la funzione $G(x)$ raggiunge un massimo relativo.

Calcola il valore del seguente limite utilizzando il teorema di De L'Hôpital e il teorema fondamentale del calcolo integrale:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^2} \left( e^{t^2} - 1 \right) \, dt}{x^6}$$

Spiega con ragionamento ogni passaggio, giustificando la derivazione della funzione integrale.

Un gruppo di ingegneri sta progettando la traiettoria di un drone da corsa. La velocità verticale del drone nell'intervallo di tempo $[0, 4]$ secondi è data dalla funzione $v(t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + z^4} \, dz$.

1. a) Senza calcolare esplicitamente l'integrale, giustifica perché il drone sale sempre o si mantiene alla stessa altezza.
2. b) Calcola l'accelerazione verticale del drone all'istante $t = 1$ secondo.
3. c) In quale istante l'accelerazione verticale è massima? Giustifica la tua risposta studiando la derivata seconda della posizione.

Data la funzione $f(x) = x^2 - 4$, considera la funzione integrale $H(x) = \int_{0}^{x} |f(t)| \, dt$.

1. a) Esprimi $H(x)$ come funzione definita a tratti per valori di $x \in [0, 5]$.
2. b) Studia la derivabilità di $H(x)$ nel punto $x = 2$. Il teorema fondamentale del calcolo integrale è applicabile direttamente in quel punto?
3. c) Utilizza la formula di Newton-Leibniz per calcolare il valore esatto di $H(3)$.

Sia $f(x)$ una funzione continua in $\mathbb{R}$ tale che $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$. Trova il valore della costante $k$ affinché valga la seguente uguaglianza, sapendo che l'area sotto la curva a sinistra è stata traslata e scalata:

$$\int_{0}^{2} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2 - 1) \, dx = k$$

Utilizza il metodo di sostituzione di variabile negli integrali definiti per metterli in relazione con il dato iniziale.

Il logo di un nuovo marchio di abbigliamento urbano è delimitato dai grafici delle funzioni $f(x) = \operatorname{sen}(\pi x)$ e $g(x) = ax$, con $a > 0$, nel primo quadrante.

1. a) Determina il valore di $a$ affinché la retta $y = ax$ passi per il massimo relativo della funzione $f(x)$ nell'intervallo $[0, 1]$.
2. b) Per il valore di $a$ trovato, calcola mediante la formula di Newton-Leibniz l'area della regione racchiusa tra i due grafici.

Sia la funzione definita dall'integrale $F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t - 1}{e^t + 1} \, dt$.

1. a) Trova i punti critici di $F(x)$ e classificali utilizzando il criterio della derivata prima.
2. b) Studia la concavità di $F(x)$ e determina se possiede punti di flesso.
3. c) Esiste qualche valore di $x$ per il quale $F(x)$ sia negativo? Motiva la risposta basandoti sul segno dell'integrando e sugli estremi di integrazione.

Considera la funzione integrale $L(x) = \int_{1}^{x} \frac{\sqrt{1 + t^3}}{t} \, dt$ definita per $x \geq 1$.

1. a) Dimostra che $L(x)$ è una funzione strettamente crescente nel suo dominio.
2. b) Si sa che il grafico di $L(x)$ ha una retta tangente nel punto di ascissa $x = 2$ la cui equazione è $y = mx + n$. Calcola il valore del coefficiente angolare $m$.
3. c) Determina l'accelerazione di crescita del coefficiente angolare (derivata seconda) nello stesso punto.

Una funzione continua $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ soddisfa per ogni numero reale $x > 0$ la seguente equazione integrale:

$$\int_1^{x^2} f(t)\,dt = 4x^3 - 4x$$

1. a) Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e la regola della catena, deriva entrambi i membri rispetto a $x$ e ottieni una relazione algebrica tra $f(x^2)$ e la variabile $x$.
2. b) A partire da tale relazione, deduci l'espressione analitica esplicita di $f(x)$ per ogni $x > 0$ e calcola con ragionamento il valore di $f(4)$.
3. c) Applica la formula di Newton-Leibniz alla tua espressione di $f$ per calcolare $\int_1^4 f(t)\,dt$ e verifica che coincida con il valore previsto dall'equazione integrale originale valutata in $x = 2$.
4. d) Giustifica con rigore, appoggiandoti al segno di $f(t)$ o alla monotonia della funzione integrale, se esiste qualche altro valore $c > 0$ con $c \neq 1$ tale che $\int_1^c f(t)\,dt = 0$.

Si vuole calcolare il seguente limite indeterminato:

$$L = \lim_{x \to 0} \frac{x - \int_0^x \frac{1}{1 + t^4}\,dt}{x^5}$$

Due studenti considerano strategie di risoluzione diverse:

• Davide cerca di calcolare prima la primitiva indefinita $\int \frac{1}{1 + t^4}\,dt$ scomponendo il denominatore in fattori quadratici reali irriducibili per poi applicare la formula di Newton-Leibniz.

• Elena afferma che non è necessario ottenere una primitiva elementare e che il limite si può calcolare direttamente combinando il teorema di De L'Hôpital con il teorema fondamentale del calcolo integrale.

1. a) Spiega perché il metodo di Davide è sconsigliabile e impraticabile nel tempo assegnato a una prova scritta e giustifica con rigore se il metodo di Elena è applicabile verificando le ipotesi del teorema fondamentale del calcolo integrale e del teorema di De L'Hôpital.
2. b) Risolvi il limite $L$ applicando la proposta di Elena.
3. c) Se consideriamo la funzione $F(x) = \int_0^x \frac{1}{1 + t^4}\,dt$, trova l'equazione della retta tangente al grafico di $F$ nel punto di ascissa $x = 0$. Utilizzando il valore del limite ottenuto nel punto b), determina in modo motivato la posizione relativa della curva $y = F(x)$ rispetto a tale retta tangente in un intorno di $x = 0$ (distinguendo tra $x > 0$ e $x < 0$).