Formule des probabilités totales

Sur une étagère d'une chambre d'ado se trouvent deux boîtes de jeux vidéo. La boîte A contient 3 jeux d'action et 2 jeux de stratégie. La boîte B contient 2 jeux d'action et 4 jeux de stratégie. On choisit une boîte au hasard en lançant une pièce, puis on tire un jeu sans regarder. Calculer la probabilité que le jeu vidéo choisi soit un jeu d'action.

Un élève de terminale utilise deux applications pour réviser les mathématiques : App Alpha et App Beta. Il utilise Alpha $60 \%$ du temps et Beta le reste du temps. La probabilité qu'il trouve un exercice correctement résolu dans Alpha est de $0,9$, alors que dans Beta elle est de $0,7$. Si l'élève ouvre une application au hasard et sélectionne un exercice, quelle est la probabilité que l'exercice soit correctement résolu ?

Un magasin de vêtements de sport reçoit ses baskets de deux usines. L'usine 1 fournit $40 \%$ de la marchandise et l'usine 2 les $60 \%$ restants. On sait que $1 \%$ des baskets de l'usine 1 présentent un défaut de couture, alors que pour l'usine 2 ce pourcentage est de $3 \%$. L'arbre pondéré résume les données de l'énoncé.

On choisit au hasard une paire de baskets dans l'entrepôt. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ?

On dispose de deux urnes contenant des tee-shirts d'une marque de streetwear. L'urne 1 contient 6 tee-shirts blancs et 4 noirs. L'urne 2 contient 3 tee-shirts blancs et 7 noirs. On lance un dé équilibré : si on obtient un nombre inférieur à 3, on tire un tee-shirt dans l'urne 1 ; sinon, on le tire dans l'urne 2. Déterminer la probabilité que le tee-shirt tiré soit blanc.

On dispose de trois machines, $M_1, M_2$ et $M_3$, qui fabriquent des pièces pour trottinettes électriques. $M_1$ produit $45\ \%$ des pièces, $M_2$ produit $30\ \%$ et $M_3$ produit $25\ \%$. Les pourcentages de pièces défectueuses produites par chaque machine sont respectivement de $3\ \%$, $4\ \%$ et $5\ \%$. Si toutes les pièces sont mélangées dans un entrepôt, calculer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse.

Sur une plateforme de streaming, le contenu se répartit en trois genres : Action (45 %), Comédie (35 %) et Documentaires (20 %). On sait que la probabilité qu'un utilisateur regarde un film en entier est de $0,7$ s'il est d'Action, de $0,85$ s'il est de Comédie et de $0,5$ s'il s'agit d'un Documentaire. On choisit un film au hasard sur la plateforme. Calculer la probabilité qu'un utilisateur le regarde jusqu'à la fin.

Lors d'un festival de musique, $70\ \%$ des spectateurs sont des habitants de la région et $30\ \%$ sont des touristes. On sait que $20\ \%$ des habitants achètent des produits dérivés de l'événement, alors que chez les touristes ce pourcentage monte à $60\ \%$. On choisit une personne au hasard au festival. Quelle est la probabilité qu'elle n'achète pas de produits dérivés ?

Dans une usine de composants pour smartphones, $5\,\%$ des écrans produits le matin sont défectueux, tandis que l'après-midi le pourcentage de défauts monte à $8\,\%$. Le volume de production est constant tout au long de la journée, mais à cause d'une panne du système de stockage, les lots de trois jours consécutifs sont mélangés. Le troisième jour, une nouvelle machine a amélioré le rendement, de sorte que seuls $2\,\%$ des écrans de ce jour étaient défectueux. On choisit un écran au hasard dans l'entrepôt (qui contient la production totale des trois jours). Calculer la probabilité que l'écran ne soit pas défectueux.

Dans un laboratoire de biotechnologie, on étudie trois souches bactériennes différentes : $A$, $B$ et $C$. On sait que $40\,\%$ des échantillons contiennent la souche $A$, $35\,\%$ la souche $B$ et le reste la souche $C$. La probabilité qu'un antibiotique donné élimine la bactérie est de $0,8$ pour la souche $A$ et de $0,5$ pour la souche $B$. Sachant que la probabilité totale que l'antibiotique élimine une bactérie choisie au hasard est de $62\,\%$, calculer en justifiant la probabilité que l'antibiotique soit efficace contre la souche $C$.

Une entreprise de logistique utilise trois itinéraires pour livrer des colis dans une grande ville : Nord ($R_1$), Centre ($R_2$) et Sud ($R_3$). $30\,\%$ des envois passent par $R_1$, $50\,\%$ par $R_2$ et $20\,\%$ par $R_3$. Les retards sont fréquents à cause de la circulation : sur $R_1$ il y a du retard $15\,\%$ des fois et sur $R_3$ $25\,\%$. On sait que la probabilité qu'un colis arrive à l'heure est de $0,82$. Déterminer le pourcentage de colis qui subissent un retard lorsqu'ils passent par l'itinéraire Centre ($R_2$).