Primitive d'une fonction

Soit la fonction $f(x) = 4x^3 - 6x + 1$. Vérifier en justifiant si la fonction $F(x) = x^4 - 3x^2 + x + 5$ est l'une de ses primitives. Pour cela, utiliser la définition d'une primitive fondée sur la dérivation.

On souhaite vérifier si la fonction $F(x) = \dfrac{2x-1}{x^2+1}$ est une primitive de $f(x) = \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2+1)^2}$. Pour y répondre, deux camarades de classe débattent de la stratégie à suivre :

• Mathis propose de calculer directement l'intégrale $\int \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2+1)^2} \, dx$ à l'aide des méthodes d'intégration des fonctions rationnelles.

• Sarah propose de dériver la fonction $F(x)$ en appliquant la formule de dérivation d'un quotient et de comparer le résultat obtenu avec l'expression de $f(x)$.

1. a) Justifier laquelle des deux méthodes est la plus directe et la plus adaptée au regard de la définition mathématique d'une primitive.
2. b) Appliquer la méthode la plus adaptée pour déterminer, en justifiant, si $F(x)$ est ou non une primitive de $f(x)$.

Déterminer l'ensemble de toutes les primitives de la fonction polynôme $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$. Penser à inclure la constante d'intégration $C$ et à expliquer ce que représente géométriquement cette valeur sur le graphique des fonctions obtenues.

Charles affirme que les fonctions $F(x) = \ln(x^2+1)$ et $G(x) = \ln(3x^2+3)$ ne peuvent pas être des primitives d'une même fonction parce que, dans leurs expressions algébriques, ne figure explicitement aucune constante numérique ajoutée, c'est-à-dire qu'il n'observe pas la forme $G(x) = F(x) + C$.

1. a) Dériver les deux fonctions et vérifier si Charles a raison ou si, au contraire, elles ont toutes deux la même dérivée $f(x)$.
2. b) Identifier l'erreur conceptuelle de Charles en appliquant les propriétés des logarithmes à $G(x)$ et déterminer la valeur exacte de la constante réelle $C$ qui vérifie $G(x) = F(x) + C$.

Déterminer la fonction $F(x)$ dont la dérivée est $f(x) = \sqrt{x}$ et qui vérifie la condition $F(1) = 2$. Exprimer le résultat final avec l'exposant sous forme de fraction.

Déterminer l'intégrale indéfinie de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}$ pour les valeurs de $x > 0$. Utiliser la linéarité de l'intégrale pour traiter chaque terme séparément.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la fonction $F(x) = a \cdot e^{x^2} + b \cdot \ln(x)$ soit une primitive de la fonction $f(x) = 4x \cdot e^{x^2} + \dfrac{5}{x}$. Une fois ces valeurs trouvées, écrire l'expression de toutes les primitives de $f(x)$.

Parmi toutes les primitives de la fonction $f(x) = \dfrac{2}{x-2} + 3x^2$, déterminer celle dont la courbe passe par le point $(3\,;\,10)$. Exprimer le résultat sous forme simplifiée à l'aide de logarithmes népériens.

Dans le service marketing d'une célèbre marque de baskets, on a déterminé que le revenu marginal (la dérivée du revenu total) est donné par la fonction $I'(x) = 100 - 4x$, où $x$ représente le nombre d'unités vendues. Déterminer la fonction de revenu total $I(x)$ sachant que si aucune unité n'est vendue, le revenu est nul ($I(0) = 0$).

Un drone de surveillance se déplace en ligne droite et sa vitesse en mètres par seconde, au bout de $t$ secondes, est donnée par la fonction $v(t) = 3t^2 - 6t + 10$. Sachant qu'à l'instant initial ($t=0$) le drone se trouve à une distance de 15 mètres du point de contrôle, déterminer l'expression de la fonction de position $s(t)$.

Dans un rapport sur la création nette mensuelle d'emplois dans un secteur technologique au cours du premier semestre de l'année ($0 \leq t \leq 6$, mesuré en mois), le rythme de variation est modélisé par la fonction continue $f(t) = 3t^2 - 12t + 9$ (en centaines d'emplois par mois). La fonction $E(t)$ représente l'emploi net cumulé depuis le début du semestre, avec $E(0) = 0$.

1. a) Sans calculer au préalable l'expression de la primitive $E(t)$ :

• Résoudre l'équation $f(t) = 0$ et étudier le signe de $f(t)$ sur l'intervalle $[0 ; 6]$ pour estimer à quels mois seront atteints un maximum local et un minimum local de l'emploi cumulé.

• Analyser qualitativement les périodes où $f(t) > 0$ par rapport à celles où $f(t) < 0$ afin d'estimer, de façon argumentée, si le bilan final en $t = 6$, $E(6)$, sera positif, négatif ou nul.

1. b) Déterminer analytiquement la primitive $E(t)$ qui vérifie la condition initiale $E(0) = 0$. Calculer exactement les valeurs $E(1)$, $E(3)$ et $E(6)$, les comparer aux prévisions faites à la question précédente et justifier si vos estimations qualitatives étaient correctes.

La dérivée d'une fonction $f(x)$ est $f'(x) = 6x^2 - 10x + 1$. Déterminer l'expression de $f(x)$ sachant que sa courbe coupe l'axe des ordonnées (axe $Y$) au point $y = 7$.

Déterminer la fonction $f(x)$ dont on sait que la dérivée seconde est $f''(x) = 12x - 4$. On sait de plus que la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 1$ est horizontale, et que la courbe passe par le point $(0 ; 5)$.

Soit la fonction $f(x) = \frac{ax^2 + b}{x^2}$. Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ sachant que l'une de ses primitives, $F(x)$, vérifie simultanément les trois conditions suivantes :

1. Sa courbe passe par le point $P(1 ; 4)$.

2. Elle admet un extremum local au point d'abscisse $x = 2$.

3. La tangente à la courbe de $F(x)$ en $x = -1$ a un coefficient directeur égal à $3$.