La loi binomiale

Dans une enquête sur les habitudes de consommation numérique, on a déterminé que la probabilité qu'un lycéen préfère utiliser une tablette plutôt qu'un ordinateur pour étudier est $p = 0,3$. On choisit au hasard $8$ élèves d'une classe :

1. a) Identifier les paramètres $n$ et $p$ de la loi binomiale qui modélise cette situation.
2. b) Quelle est la probabilité qu'exactement $3$ d'entre eux préfèrent la tablette ?

Un QCM comporte $10$ questions avec $4$ réponses possibles chacune, dont une seule est correcte. Un élève qui n'a pas révisé décide de répondre à toutes les questions au hasard.

1. a) Justifier pourquoi cette situation suit une loi binomiale $B(n, p)$.
2. b) Quelle est la probabilité qu'il réponde correctement à exactement $5$ questions ?

Un QCM comporte $5$ questions, chacune avec $4$ réponses possibles dont une seule est correcte. Un élève qui n'a pas révisé décide de répondre à toutes les questions au hasard.

1. a) Justifier pourquoi cette expérience suit une loi binomiale et identifier ses paramètres.

1. b) Calculer la probabilité que l'élève réussisse l'examen (obtienne $3$ bonnes réponses ou plus).

Un créateur de contenu sur TikTok sait que la probabilité que l'une de ses vidéos devienne « virale » (dépasse 10 000 vues) est de $15\%$. S'il a publié cette semaine $5$ vidéos indépendantes :

1. a) Calculer la probabilité qu'aucune des vidéos ne soit virale.
2. b) Calculer la probabilité qu'exactement $2$ vidéos le soient.

Un joueur de basket a une probabilité de $80\%$ de réussir un lancer franc. Il effectue une série de $4$ lancers indépendants :

1. a) Construire le tableau de la loi de probabilité pour les nombres de succès possibles ($0, 1, 2, 3$ et $4$ paniers).
2. b) Quel est le résultat le plus probable ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un archer du club du lycée a une probabilité de $0,7$ de toucher la cible à chaque tir. S'il effectue une série de $6$ tirs de manière indépendante, déterminer la probabilité qu'il touche la cible au moins $5$ fois.

On a constaté que la probabilité qu'un client d'un café proche du lycée commande un jus de fruit pressé est $0,4$. Si, à un moment donné, $7$ clients sont au comptoir et commandent leur consommation de manière indépendante, calculer la probabilité que :

1. a) Exactement $4$ clients commandent un jus de fruit.

1. b) Plus de $2$ clients commandent un jus de fruit.

On sait que $60\%$ des jeunes d'une ville utilisent les transports en commun pour aller au lycée. On choisit au hasard un groupe de $6$ jeunes ; calculer la probabilité que :

1. a) Au moins l'un d'eux utilise les transports en commun.
2. b) Tous utilisent les transports en commun.

Dans une réserve naturelle, on a observé que $25\%$ des individus d'une espèce d'oiseaux migrateurs ont une tache blanche sur l'aile. Un photographe prend en photo un groupe de $12$ oiseaux :

1. a) Quelle est la probabilité qu'aucun n'ait la tache blanche ?
2. b) Quelle est la probabilité qu'exactement un ait la tache ?

On sait que $15\%$ des ordinateurs portables fabriqués par une marque présentent un léger défaut de pixels à l'écran avant deux ans d'utilisation. Dans une salle d'informatique qui vient de renouveler son parc avec $10$ de ces ordinateurs, calculer la probabilité qu'il y en ait au plus $2$ présentant ce défaut.

Une entreprise de livraison livre correctement $94\%$ de ses colis dans le délai garanti. Un adolescent a passé $12$ commandes en ligne au cours de l'année, expédiées par cette entreprise. Calculer la probabilité qu'au moins un des colis soit arrivé hors délai.

Lors d'un contrôle qualité dans une usine de composants pour trottinettes électriques, on a estimé que $4\%$ des pièces présentent un défaut d'aspect. On analyse des lots de $50$ pièces :

1. a) Quel est le nombre moyen de pièces défectueuses que l'on s'attend à trouver par lot ?
2. b) Calculer l'écart type de la loi.

Une application de langues envoie des notifications quotidiennes à ses utilisateurs. La probabilité qu'un utilisateur ouvre la notification est $p = 0,4$. Si un utilisateur reçoit $7$ notifications au cours d'une semaine :

1. a) Calculer la probabilité qu'il en ouvre exactement $4$.
2. b) Combien de notifications peut-on s'attendre, en moyenne, à ce qu'il ouvre au cours de cette semaine ?

Dans une enquête récente sur les habitudes numériques, on a déterminé que $35\%$ des adolescents français préfèrent utiliser des plateformes de vidéos courtes plutôt que les réseaux sociaux classiques. On choisit au hasard un groupe de $8$ élèves de Terminale et on note $X$ le nombre d'élèves du groupe qui préfèrent les vidéos courtes. La figure montre le diagramme en barres de la loi de probabilité de $X$.

Calculer :

1. a) La probabilité qu'exactement $3$ d'entre eux préfèrent les vidéos courtes.

1. b) L'espérance et l'écart type du nombre d'élèves qui préfèrent ces plateformes dans ce groupe.

Lors d'une campagne de sensibilisation à l'environnement dans un établissement scolaire, on a observé que le nombre moyen d'élèves qui trient correctement leurs emballages dans des groupes de $20$ personnes est $12$. On suppose que le comportement de tri suit une loi binomiale :

1. a) Calculer la probabilité de succès $p$ (probabilité qu'un élève choisi au hasard trie correctement).

1. b) Dans un groupe de $5$ élèves choisis au hasard, quelle est la probabilité qu'exactement $4$ d'entre eux trient correctement ?

D'après les relevés de ponctualité d'une compagnie aérienne dans un aéroport français, la probabilité qu'un vol régulier décolle en retard est $p = 0,15$. Au cours d'une matinée, $12$ vols décollent, leurs départs étant considérés comme des événements indépendants.

1. a) Sans calculer encore de probabilités exactes, déterminer l'espérance ($\mu$) et l'écart type ($\sigma$) du nombre de vols en retard. En vous appuyant sur la valeur de l'espérance, estimer en justifiant quel événement devrait être le plus probable : observer exactement $2$ vols en retard ou exactement $5$ vols en retard. Justifier cette estimation qualitative.
2. b) Calculer maintenant les probabilités exactes $P(X = 2)$ et $P(X = 5)$ en appliquant la formule de la loi binomiale.
3. c) Vérifier si votre estimation préalable était correcte et expliquer, en utilisant la distance à la moyenne exprimée en écarts types $\sigma$, pourquoi $P(X = 5)$ est nettement inférieure à $P(X = 2)$.

Un analyste en cybersécurité a déterminé que la probabilité qu'une tentative d'accès non autorisé à un serveur d'entreprise soit détectée par le pare-feu est $p$. On sait que si l'on effectue $10$ tentatives indépendantes, la probabilité qu'aucune tentative ne soit détectée est $0,0563$.

1. a) Calculer la valeur de la probabilité de détection $p$.
2. b) Si, au cours d'une journée, $20$ tentatives d'accès ont lieu, quelle est la probabilité qu'au moins $18$ d'entre elles soient détectées ?
3. c) Quel est le nombre minimal de tentatives qu'un attaquant devrait effectuer pour que la probabilité qu'au moins l'une d'elles ne soit pas détectée soit supérieure à $0,99$ ?

L'examen final d'une matière est un QCM de $10$ questions, avec $4$ réponses possibles pour chacune, dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard à toutes les questions. Pour réussir, il faut obtenir au moins $5$ comme note, sachant que chaque bonne réponse rapporte $1$ point et chaque mauvaise réponse retire $0,25$ points.

1. a) Définir la variable aléatoire $X$ qui compte les bonnes réponses de l'élève, indiquer sa loi et ses paramètres.

1. b) Déterminer le nombre minimal de bonnes réponses nécessaires pour réussir l'examen.

1. c) Calculer la probabilité que l'élève réussisse l'examen en répondant entièrement au hasard.

Une chaîne de télévision diffuse un jeu où les candidats doivent choisir entre deux boîtes, l'une contenant un prix et l'autre vide. Un candidat participe à l'émission pendant $n$ jours consécutifs. La probabilité qu'il gagne le prix au moins une fois pendant ces $n$ jours est $0,999$.

1. a) Calculer la valeur minimale de $n$.
2. b) Pour cette valeur de $n$, calculer la probabilité qu'il gagne le prix exactement la moitié des jours.
3. c) Si chaque prix a une valeur de $500$ €, calculer le gain espéré du candidat et la probabilité que son gain total dépasse $2000$ €.