Exercices: Probabilités totales

Sur une étagère d'une chambre d'ado se trouvent deux boîtes de jeux vidéo. La boîte A contient 3 jeux d'action et 2 jeux de stratégie. La boîte B contient 2 jeux d'action et 4 jeux de stratégie. On choisit une boîte au hasard en lançant une pièce, puis on tire un jeu sans regarder. Calculer la probabilité que le jeu vidéo choisi soit un jeu d'action.

Un élève de terminale utilise deux applications pour réviser les mathématiques : App Alpha et App Beta. Il utilise Alpha $60 \%$ du temps et Beta le reste du temps. La probabilité qu'il trouve un exercice correctement résolu dans Alpha est de $0,9$, alors que dans Beta elle est de $0,7$. Si l'élève ouvre une application au hasard et sélectionne un exercice, quelle est la probabilité que l'exercice soit correctement résolu ?

Pour aller au lycée, un élève peut prendre le bus ou y aller à pied. Il prend le bus $70 \%$ des jours et y va à pied $30 \%$ des jours. Quand il prend le bus, il arrive en retard $5 \%$ des fois, alors que s'il y va à pied, il n'arrive en retard que $2 \%$ des jours. Calculer la probabilité qu'un jour quelconque l'élève arrive en retard en cours.

Un magasin de vêtements de sport reçoit ses baskets de deux usines. L'usine 1 fournit $40 \%$ de la marchandise et l'usine 2 les $60 \%$ restants. On sait que $1 \%$ des baskets de l'usine 1 présentent un défaut de couture, alors que pour l'usine 2 ce pourcentage est de $3 \%$. L'arbre pondéré résume les données de l'énoncé.

On choisit au hasard une paire de baskets dans l'entrepôt. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ?

Dans un club de tennis, $20 \%$ des membres sont des professionnels et $80 \%$ des amateurs. Lors d'un tournoi interne, la probabilité qu'un professionnel gagne son premier match est de $0,95$, alors que pour un amateur elle est de $0,40$. On choisit un membre au hasard pour observer ses débuts. Quelle est la probabilité qu'il gagne son premier match ?

Un créateur de contenu publie des vidéos sur deux plateformes : YouTube et Instagram. $40 \%$ de ses vidéos sont publiées sur YouTube et $60 \%$ sur Instagram. La probabilité qu'une vidéo YouTube dépasse 10 000 vues est de $0,8$, alors que sur Instagram elle est de $0,3$. On choisit une vidéo au hasard dans son historique. Calculer la probabilité qu'elle compte plus de 10 000 vues.

Dans un centre de recyclage, les déchets arrivent mélangés dans deux camions. Le camion A apporte $55 \%$ des déchets et le camion B $45 \%$. Dans le camion A, $90 \%$ des matériaux sont recyclables, alors que dans le camion B seulement $75 \%$ le sont. On prélève un déchet au hasard parmi l'ensemble reçu. Quelle est la probabilité que ce soit un matériau recyclable ?

D'après les statistiques d'un café proche d'un campus universitaire, $50 \%$ des clients commandent un café, $30 \%$ un thé et $20 \%$ un jus de fruit. La probabilité qu'un client qui commande un café le prenne avec du lait est de $0,8$ ; pour le thé elle est de $0,2$ et pour le jus de fruit de $0$. On choisit un client au hasard. Quelle est la probabilité que sa boisson contienne du lait ?

Dans un atelier de confection textile, on utilise deux machines à coudre, $M_1$ et $M_2$. La machine $M_1$ réalise $70\,\%$ de la production et a un taux de vêtements défectueux de $2\,\%$, alors que la machine $M_2$ réalise les $30\,\%$ restants avec $5\,\%$ de vêtements défectueux. Pour calculer la probabilité qu'un vêtement choisi au hasard soit défectueux ($D$), Lucie a écrit dans sa copie :

1. a) Expliquer en justifiant pourquoi le raisonnement de Lucie est conceptuellement erroné et quelle absurdité mathématique apparaîtrait en suivant sa logique si les deux machines avaient, par exemple, un taux de pièces défectueuses de $60\,\%$.
2. b) Corriger sa résolution en appliquant formellement la formule des probabilités totales et calculer la probabilité réelle qu'un vêtement pris au hasard soit défectueux.

Dans une grande ville, $80\,\%$ des déplacements quotidiens en transport public se font en métro et $20\,\%$ en bus. D'après des contrôles passés de l'autorité des transports, on sait que $1\,\%$ des usagers du métro et $6\,\%$ des usagers du bus voyagent sans titre de transport valide.

1. a) Avant tout calcul exact, faire une estimation justifiée : indiquer entre quelles deux valeurs en pourcentage se situe nécessairement la probabilité globale qu'un voyageur choisi au hasard n'ait pas de titre de transport, et expliquer pourquoi cette probabilité sera nettement plus proche de $1\,\%$ que de $6\,\%$.
2. b) Appliquer la formule des probabilités totales pour obtenir la valeur exacte de cette probabilité et vérifier formellement si elle valide votre estimation préalable.

Sur une plateforme de streaming, le contenu se répartit en trois genres : Action (45 %), Comédie (35 %) et Documentaires (20 %). On sait que la probabilité qu'un utilisateur regarde un film en entier est de $0,7$ s'il est d'Action, de $0,85$ s'il est de Comédie et de $0,5$ s'il s'agit d'un Documentaire. On choisit un film au hasard sur la plateforme. Calculer la probabilité qu'un utilisateur le regarde jusqu'à la fin.

Un lycée propose trois activités extrascolaires : Robotique, Théâtre et Basket. $25\ \%$ des élèves sont en Robotique, $30\ \%$ en Théâtre et le reste en Basket. Le pourcentage d'élèves qui valident toutes les matières est de $80\ \%$ chez ceux de Robotique, de $90\ \%$ chez ceux de Théâtre et de $70\ \%$ chez ceux de Basket. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ait validé toutes les matières ?

Une entreprise de messagerie utilise trois itinéraires pour livrer des colis dans une ville. Par l'itinéraire A passent $50\ \%$ des envois, par l'itinéraire B $30\ \%$ et par l'itinéraire C les $20\ \%$ restants. À cause de la circulation, la probabilité qu'un colis subisse un retard est de $0,05$ sur l'itinéraire A, $0,12$ sur l'itinéraire B et $0,15$ sur l'itinéraire C. Calculer la probabilité qu'un colis choisi au hasard arrive en retard à destination.

On dispose de deux urnes contenant des tee-shirts d'une marque de streetwear. L'urne 1 contient 6 tee-shirts blancs et 4 noirs. L'urne 2 contient 3 tee-shirts blancs et 7 noirs. On lance un dé équilibré : si on obtient un nombre inférieur à 3, on tire un tee-shirt dans l'urne 1 ; sinon, on le tire dans l'urne 2. Déterminer la probabilité que le tee-shirt tiré soit blanc.

Dans un magasin de high-tech, $60\ \%$ des smartphones vendus sont de la marque X, $30\ \%$ de la marque Y et $10\ \%$ de la marque Z. On estime que $2\ \%$ des téléphones de la marque X tombent en panne avant la fin de la première année, tandis que pour la marque Y la proportion est de $5\ \%$ et pour la marque Z de $8\ \%$. Calculer la probabilité qu'un smartphone acheté dans ce magasin ne présente aucune panne durant la première année.

Une étude sur les habitudes de sommeil des adolescents révèle que $40\ \%$ dorment moins de 7 heures, $50\ \%$ entre 7 et 9 heures, et $10\ \%$ plus de 9 heures. La probabilité d'avoir des difficultés de concentration pendant la journée est de $0,8$ pour ceux qui dorment moins de 7 heures, $0,2$ pour le groupe intermédiaire et $0,1$ pour ceux qui dorment plus de 9 heures. Le diagramme résume ces données. Déterminer la probabilité qu'un adolescent choisi au hasard ait des difficultés de concentration.

On dispose de trois machines, $M_1, M_2$ et $M_3$, qui fabriquent des pièces pour trottinettes électriques. $M_1$ produit $45\ \%$ des pièces, $M_2$ produit $30\ \%$ et $M_3$ produit $25\ \%$. Les pourcentages de pièces défectueuses produites par chaque machine sont respectivement de $3\ \%$, $4\ \%$ et $5\ \%$. Si toutes les pièces sont mélangées dans un entrepôt, calculer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse.

Lors d'un festival de musique, $70\ \%$ des spectateurs sont des habitants de la région et $30\ \%$ sont des touristes. On sait que $20\ \%$ des habitants achètent des produits dérivés de l'événement, alors que chez les touristes ce pourcentage monte à $60\ \%$. On choisit une personne au hasard au festival. Quelle est la probabilité qu'elle n'achète pas de produits dérivés ?

Dans une auto-école, les élèves qui se présentent à l'épreuve pratique du permis de conduire sont répartis en trois groupes selon leur préparation : groupe $A$ (plus de 30 leçons de conduite, $50\,\%$ du total), groupe $B$ (entre 15 et 30 leçons, $35\,\%$) et groupe $C$ (moins de 15 leçons, le reste). La probabilité de réussir l'examen du premier coup est de $80\,\%$ pour ceux du groupe $A$, de $60\,\%$ pour ceux du groupe $B$ et de seulement $20\,\%$ pour ceux du groupe $C$. On souhaite connaître la probabilité qu'un élève choisi au hasard échoue à l'examen.

1. a) Exposer et comparer deux stratégies pour calculer cette probabilité :

• Stratégie 1 : Calculer directement la probabilité d'échouer en additionnant les produits des branches des échecs : $P(S) = \sum_{i} P(G_i)\cdot P(S|G_i)$.

• Stratégie 2 : Calculer la probabilité totale de réussir, $P(\text{Admis})$, puis obtenir le résultat grâce à l'événement contraire : $P(S) = 1 - P(\text{Admis})$.

Justifier laquelle des deux stratégies demande le moins d'opérations lorsque les données de l'énoncé sont exprimées en termes de réussites, et énoncer les conditions que doit vérifier le triplet $\{A, B, C\}$ pour former une partition de l'univers.

1. b) Appliquer la stratégie choisie et calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard n'obtienne pas son permis du premier coup.

À partir des rapports de l'INSEE sur le profil des touristes qui passent la nuit dans une zone côtière méditerranéenne, on détermine que $50\,\%$ viennent d'autres régions de France (tourisme national), $35\,\%$ viennent d'autres pays de l'Union européenne et les $15\,\%$ restants viennent de l'extérieur de l'Union européenne (hors UE). Les études sur la consommation indiquent que la probabilité qu'un touriste dépense plus de $150$ euros par jour est de $0,20$ s'il est national, de $0,55$ s'il vient de l'Union européenne et de $0,80$ s'il est hors UE.

1. a) Définir avec précision les événements en jeu, justifier pourquoi les origines forment une partition de l'univers et modéliser la situation en appliquant la formule des probabilités totales pour déterminer la probabilité qu'un visiteur choisi au hasard dépense plus de $150$ euros par jour.
2. b) Le plan de dynamisation commerciale de la commune s'est fixé pour objectif qu'au moins $40\,\%$ des touristes dépassent ce seuil de dépense de $150$ euros par jour. Conclure de manière justifiée si, avec la répartition actuelle des origines, cet objectif est atteint, et expliquer quel impact aurait sur la probabilité globale de dépense le fait que $10\,\%$ de l'ensemble des visiteurs passent du tourisme national au tourisme hors UE.

Dans un laboratoire de biotechnologie, on étudie trois souches bactériennes différentes : $A$, $B$ et $C$. On sait que $40\,\%$ des échantillons contiennent la souche $A$, $35\,\%$ la souche $B$ et le reste la souche $C$. La probabilité qu'un antibiotique donné élimine la bactérie est de $0,8$ pour la souche $A$ et de $0,5$ pour la souche $B$. Sachant que la probabilité totale que l'antibiotique élimine une bactérie choisie au hasard est de $62\,\%$, calculer en justifiant la probabilité que l'antibiotique soit efficace contre la souche $C$.

Un algorithme de réseau social classe les vidéos en trois catégories selon leur contenu : « Gaming » ($G$), « Musique » ($M$) et « Humour » ($H$). $50\,\%$ des vidéos sont du Gaming, $30\,\%$ de la Musique et $20\,\%$ de l'Humour. La probabilité qu'un utilisateur arrête de faire défiler et regarde une vidéo en entier est de $0,3$ si elle est du Gaming et de $0,6$ si elle est de la Musique. On a observé que les vidéos d'Humour sont particulièrement virales : la probabilité d'être regardées en entier est le double de celle des vidéos de Gaming. Calculer la probabilité qu'un utilisateur choisi au hasard regarde une vidéo en entier, quelle que soit sa catégorie.

On dispose de deux urnes de compositions différentes. L'urne 1 contient 4 boules rouges et 6 bleues. L'urne 2 contient 7 boules rouges et 3 bleues. On lance un dé équilibré : si on obtient un nombre premier, on tire une boule de l'urne 1 et on la place dans l'urne 2, puis on tire une boule définitive dans cette seconde urne. Si on obtient un nombre non premier, on tire une boule de l'urne 2 et on la place dans l'urne 1, puis on tire la boule définitive dans l'urne 1. Calculer la probabilité que la boule tirée à la fin de tout le processus soit rouge.

Dans une usine de composants pour smartphones, $5\,\%$ des écrans produits le matin sont défectueux, tandis que l'après-midi le pourcentage de défauts monte à $8\,\%$. Le volume de production est constant tout au long de la journée, mais à cause d'une panne du système de stockage, les lots de trois jours consécutifs sont mélangés. Le troisième jour, une nouvelle machine a amélioré le rendement, de sorte que seuls $2\,\%$ des écrans de ce jour étaient défectueux. On choisit un écran au hasard dans l'entrepôt (qui contient la production totale des trois jours). Calculer la probabilité que l'écran ne soit pas défectueux.

Un élève de terminale passe un examen sous forme de QCM. Pour chaque question, l'élève connaît la réponse, ou bien l'ignore et en choisit une au hasard parmi les 4 possibles. On estime que l'élève connaît la réponse à $70\,\%$ des questions du programme. Cependant, l'examen est mal conçu et $10\,\%$ des questions que l'élève « connaît » ont une formulation ambiguë qui le fait échouer alors qu'il maîtrise la notion. Calculer la probabilité que l'élève réponde correctement à une question choisie au hasard.

Une entreprise de logistique utilise trois itinéraires pour livrer des colis dans une grande ville : Nord ($R_1$), Centre ($R_2$) et Sud ($R_3$). $30\,\%$ des envois passent par $R_1$, $50\,\%$ par $R_2$ et $20\,\%$ par $R_3$. Les retards sont fréquents à cause de la circulation : sur $R_1$ il y a du retard $15\,\%$ des fois et sur $R_3$ $25\,\%$. On sait que la probabilité qu'un colis arrive à l'heure est de $0,82$. Déterminer le pourcentage de colis qui subissent un retard lorsqu'ils passent par l'itinéraire Centre ($R_2$).

Lors d'un tournoi d'e-sport, un joueur professionnel doit affronter trois niveaux de difficulté : Facile, Normal et Légende. Au départ, un niveau lui est attribué au hasard par tirage au sort, où le niveau Facile a pour probabilité $p$, le Normal $2p$ et le Légende $0,1$. Si le joueur réussit le niveau attribué, il gagne le tournoi. Les probabilités de gagner sont $0,9$ en Facile, $0,6$ en Normal et $0,2$ en Légende.

1. a) Déterminer la valeur de $p$ pour que la répartition des niveaux soit une loi de probabilité valide.
2. b) Calculer la probabilité que le joueur gagne le tournoi.

On dispose d'un jeu de 40 cartes (jeu espagnol) et d'un dé à six faces. On tire une carte du jeu. Si c'est une figure, on lance le dé une fois. Si la carte n'est pas une figure, on lance le dé deux fois et on additionne les points.

1. a) Calculer la probabilité que la somme des points obtenus soit égale à 6.
2. b) Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 5 sur l'ensemble des lancers effectués (un ou deux lancers) ?

Le service de contrôle des risques d'une banque classe les demandes de prêt immobilier en trois profils de solvabilité : Favorable ($N_1$), Intermédiaire ($N_2$) et Défavorable ($N_3$). Dans son portefeuille actuel, $55\,\%$ des demandes correspondent à $N_1$ et $30\,\%$ à $N_2$. D'après les données historiques, on estime que la probabilité de défaut de paiement est de $0,01$ pour $N_1$ et de $0,05$ pour $N_2$.

1. a) Le superviseur bancaire impose que la probabilité globale de défaut du portefeuille ne dépasse pas $3\,\%$. Déterminer algébriquement la valeur maximale que peut avoir la probabilité conditionnelle de défaut du groupe Défavorable, $P(\text{Défaut}|N_3)$, pour que la banque respecte la réglementation sans avoir à refuser ni à modifier les proportions actuelles de clients de chaque groupe.
2. b) On suppose que, après une dégradation économique générale, la probabilité de défaut du profil Défavorable passe à $0,12$. Pour maintenir le taux global de défaut exactement à $3\,\%$, la banque décide de restructurer le portefeuille en modifiant la part des demandes acceptées de $N_1$ et de $N_3$, mais en conservant inchangée la part du groupe Intermédiaire $N_2$ à $30\,\%$. Écrire l'équation de la formule des probabilités totales en fonction de la nouvelle proportion $p$ de clients de type $N_1$ et en déduire, en justifiant, le pourcentage minimal de demandes favorables que l'établissement doit obtenir.

Une huilerie de Jaén classe les olives qui entrent dans ses installations en deux catégories : Récolte précoce ($T$) et Récolte traditionnelle ($R$). Une proportion $p$ des olives est récoltée de manière précoce ($0 < p < 1$) et le reste par récolte traditionnelle. Compte tenu des caractéristiques du fruit, la probabilité qu'un lot atteigne la meilleure qualité d'huile d'olive vierge extra (HOVE) est de $0,90$ s'il provient de la récolte précoce et de $0,55$ s'il provient de la récolte traditionnelle.

1. a) Exprimer la probabilité totale qu'un lot quelconque obtienne la qualité HOVE comme une fonction affine de $p$, $f(p)$. Interpréter la signification agronomique et mathématique du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine de cette droite dans le contexte du problème.
2. b) Pour la campagne suivante, la direction technique étudie deux plans d'amélioration de même coût budgétaire :

• Plan 1 : Maintenir la proportion actuelle de récolte précoce à $p = 0,20$, mais installer un système de refroidissement lors du battage qui fait passer la probabilité d'obtenir de l'HOVE à partir de la récolte traditionnelle de $0,55$ à $0,70$.

• Plan 2 : Conserver le matériel actuel (efficacités inchangées à $0,90$ et $0,55$), mais inciter financièrement les agriculteurs à avancer la récolte, en faisant passer la proportion de récolte précoce de $p = 0,20$ à $p = 0,60$.

Calculer à l'aide de la formule des probabilités totales la proportion finale d'HOVE obtenue avec chaque plan, les comparer en justifiant lequel est le plus avantageux pour maximiser la production de qualité maximale, et réfléchir au risque opérationnel que prendrait la coopérative en choisissant le Plan 2 plutôt que le Plan 1.