Probabilités d'une loi normale centrée réduite 𝒩(0 ; 1)

Une étude sur le temps que les jeunes passent sur un célèbre réseau social de vidéos courtes établit que, une fois les données centrées réduites, la variable suit la loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$. On choisit un utilisateur au hasard. Calculer la probabilité que son temps d'utilisation soit inférieur ou égal à $1,45$ unités standardisées. Utiliser la représentation graphique pour identifier l'aire demandée.

Dans une étude sur les performances d'une nouvelle intelligence artificielle, les temps de réponse ont été standardisés et suivent une loi normale $N(0,1)$. Calculer les probabilités suivantes à l'aide de la table de la loi normale :

1. La probabilité qu'un temps standardisé soit supérieur à $1,32$ ; c'est-à-dire $P(Z > 1,32)$.

2. La probabilité que le temps soit inférieur à $-0,45$ ; c'est-à-dire $P(Z < -0,45)$.

Lors d'un tournoi d'e-sport, le temps de réaction des joueurs professionnels a été normalisé de sorte à suivre une loi $N(0,1)$. On considère qu'un « temps de réaction lent » correspond à toute valeur supérieure à $0,82$. Déterminer la probabilité qu'un joueur choisi au hasard ait un temps de réaction lent, c'est-à-dire calculer $P(Z > 0,82)$.

Le score à un test d'aptitude musicale pour adolescents suit la loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$. Le département de musique d'un lycée décide de renforcer l'accompagnement des élèves dont le score standardisé est inférieur à $-1,2$. Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait besoin de ce soutien ?

En utilisant les propriétés de symétrie de la courbe en cloche de Gauss pour la loi normale centrée réduite $Z$, calculer les probabilités suivantes sans lire de valeurs négatives dans la table :

1. $P(Z > -1,5)$

2. $P(-0,8 \leq Z \leq 0)$

Une application de langues enregistre la progression quotidienne des utilisateurs. L'amélioration du vocabulaire, après centrage et réduction des données, suit une loi normale $N(0,1)$. Calculer la probabilité qu'un utilisateur améliore son vocabulaire d'une valeur comprise entre $0,5$ et $1,5$ unités standardisées.

Soit une variable aléatoire continue qui suit la loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$. Calculer la probabilité que la variable prenne ses valeurs dans l'intervalle $[-1,1 ; 0,4]$. Pour résoudre ce type d'intervalles, il faut appliquer la formule :

Les scores d'un test d'aptitude pour des jeunes de 18 ans ont été normalisés de sorte à suivre une loi $N(0,1)$. On choisit un candidat au hasard. Déterminer la probabilité que son score standardisé appartienne à l'intervalle $[-1,24 ; 2,13]$.

Dans une usine de chaussures de sport, le contrôle qualité de la résistance de la semelle s'effectue à l'aide d'une variable centrée réduite $Z \sim N(0,1)$. Les ingénieurs veulent identifier la valeur positive $k$ telle que la probabilité qu'une semelle ait une résistance inférieure ou égale à $k$ soit égale à $0,975$. Chercher dans la table de la loi normale centrée réduite cette valeur de $k$.

Un algorithme de réseau social classe la pertinence des publications à l'aide d'une variable $Z \sim N(0,1)$. On sait que les $10\%$ des publications les plus pertinentes reçoivent une mention spéciale. À partir de quelle valeur de $Z$ une publication fait-elle partie de ces $10\%$ supérieurs ? (Déterminer la valeur critique $z_{\alpha}$ telle que $P(Z > z_{\alpha}) = 0,10$).

Dans une étude sur l'efficacité d'un nouvel algorithme de recommandation d'un réseau social, on a déterminé que le temps de présence supplémentaire des utilisateurs suit une loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$. Si la plateforme souhaite identifier le groupe d'utilisateurs « ultra-actifs », c'est-à-dire ceux dont le temps centré réduit appartient à un intervalle symétrique par rapport à la moyenne contenant exactement 88,82 % de la population, calculer la valeur critique $k$ qui définit les bornes de cet intervalle.

Calculer la valeur de la constante positive $a$ sachant que, pour une loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$, la probabilité que la variable prenne des valeurs dans l'intervalle compris entre $-a$ et $a$ est le triple de la probabilité qu'elle prenne des valeurs supérieures à $a$. Utiliser les propriétés de symétrie de la courbe en cloche pour poser une équation avant de consulter la table.

Soit une variable aléatoire continue $Z$ qui suit une loi normale de moyenne $0$ et d'écart type $1$. Déterminer la valeur de $k$ telle que l'égalité suivante soit vérifiée :

Expliquer en justifiant la démarche, en indiquant comment vous utilisez la propriété de l'événement contraire et la symétrie de la loi.

Soit $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Déterminer la valeur de la constante $c > 0$ pour que la condition suivante portant sur la valeur absolue de la variable soit vérifiée :

Ensuite, en utilisant la valeur de $c$ trouvée, calculer la probabilité conditionnelle $P(Z > -c \text{ | } Z < c)$.