Dérivées de f(ax + b), e^u, ln u et u²

Calculer la dérivée des fonctions polynômes composées suivantes, en simplifiant le résultat au maximum :

1. a) $f(x) = (1 - x)^5$
2. b) $g(x) = (2x + 3)^2$

La formule de dérivation d'une fonction composée nous dit que, pour une composée de fonctions $y = f(g(x))$, sa dérivée est $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Appliquer ce principe pour dériver la fonction trigonométrique :

$f(x) = \sin(4x - 1)$

Soit la fonction $f(x) = (3x^2 - 5)^4$. Identifier la fonction « externe » et la fonction « interne ». Une fois celles-ci identifiées, appliquer la formule de dérivation d'une fonction composée pour déterminer sa fonction dérivée $f'(x)$.

Dans le service marketing d'une start-up de mode, on a estimé que le nombre d'utilisateurs inscrits sur son site suit la fonction :

$U(t) = e^{0,5t + 2}$

où $t$ est le temps en mois. Déterminer l'expression du taux de croissance instantané du nombre d'utilisateurs (c'est-à-dire la dérivée $U'(t)$).

Déterminer la fonction dérivée de $h(x) = \ln(x^2 + 3x)$. Pour cela, rappeler que si $y = \ln(u)$, alors $y' = \frac{u'}{u}$.

Soit la fonction exponentielle composée $g(x) = e^{x^2 - 4x + 1}$. Déterminer les points de la courbe où la tangente est horizontale.

Un fabricant de composants électroniques détermine que le coût total (en euros) de production de $x$ unités d'un nouveau capteur est donné par :

$C(x) = (x + 10)^{3}$

Calculer le coût marginal lorsque l'on produit $x$ unités (c'est-à-dire déterminer $C'(x)$).

Calculer la fonction dérivée de la fonction polynôme composée suivante et déterminer le coefficient directeur de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $x = 1$ :

$f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^5$

Le nombre d'abonnés d'une influenceuse connue sur un réseau social, exprimé en milliers de personnes, suit un modèle de croissance donné par la fonction :

$S(t) = 50 \cdot \ln(t^2 + 4t + 5)$

où $t$ est le temps en mois depuis le lancement de sa campagne publicitaire. Le graphique représente la fonction et le point correspondant à $t = 3$.

Calculer le rythme de croissance du nombre d'abonnés (la dérivée) au troisième mois ($t = 3$).

Déterminer la dérivée de la fonction suivante, qui associe la dérivée d'un quotient et celle d'une fonction composée :

$h(x) = \frac{(3x - 1)^2}{x^2 + 1}$

Simplifier le résultat final autant que possible.

On souhaite calculer la fonction dérivée de $f(x) = \ln\left(\frac{2x + 1}{x + 3}\right)$ pour toute valeur de l'ensemble de définition où $x > -0,5$. Pour cela, on propose deux méthodes différentes :

• Méthode A (dérivée directe d'une fonction composée) : considérer $u(x) = \frac{2x + 1}{x + 3}$, calculer la dérivée du quotient $u'(x)$ puis appliquer $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.

• Méthode B (propriétés des logarithmes) : appliquer au préalable la propriété $\ln\left(\frac{A}{B}\right) = \ln A - \ln B$ pour transformer la fonction en une différence de deux logarithmes simples, puis dériver terme à terme.

1. a) Développer la dérivée en suivant les deux méthodes et vérifier que l'on obtient la même expression simplifiée dans les deux cas.
2. b) Comparer la quantité d'opérations algébriques de chaque procédé et justifier laquelle des deux méthodes vous recommanderiez à un camarade pour minimiser le risque d'erreurs de calcul.

Étudier l'existence de points à tangente horizontale pour la fonction $f(x) = (x^2 - 4)^2 \cdot e^{-x^2}$. Pour cela, calculer la dérivée première en appliquant la dérivée d'une fonction composée et celle d'un produit, puis l'égaler à zéro pour déterminer toutes les solutions possibles dans l'ensemble des réels.

Une entreprise de fabrication de composants électroniques a estimé que le coût total (en milliers d'euros) de production de $x$ unités d'un nouveau modèle de processeur est donné par la fonction :

$C(x) = \sqrt{2x^2 + 5x + 100}$

Déterminer l'expression du coût marginal $C'(x)$ en utilisant la dérivée d'une fonction composée, puis calculer ce coût lorsque l'on produit exactement $10$ unités.

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables. On connaît les valeurs suivantes :

• $g(2) = 5$

• $g'(2) = 3$

• $f'(5) = -4$

Utiliser la formule de dérivation d'une fonction composée pour calculer la valeur de la dérivée de la fonction composée $H(x) = (f \circ g)(x)$ au point $x = 2$, c'est-à-dire déterminer $H'(2)$.

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dont on connaît les données suivantes :

• $g(1) = 2$ et $g'(1) = 3$

• $f(2) = -1$ et $f'(2) = 5$

On définit une nouvelle fonction $H(x) = \sqrt{f(g(x)) + 5}$. Calculer la valeur de $H'(1)$ en appliquant rigoureusement la formule de dérivation d'une fonction composée. Commenter ce qui se passerait pour la dérivée si la valeur sous la racine était négative.