Variable centrée réduite

Dans une communauté de créateurs de contenu, le nombre de vues quotidiennes des vidéos suit une loi normale de moyenne $\mu = 1200$ et d'écart type $\sigma = 300$. Si un « influenceur » a obtenu aujourd'hui $1650$ vues, calculer la valeur de la variable centrée réduite $Z$ correspondant à cette donnée.

Soit une variable aléatoire continue $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 50$ et d'écart type $\sigma = 8$. Déterminer la valeur de la variable initiale $X$ sachant que sa valeur centrée réduite est $Z = 2,25$.

Le poids des paquets de pop-corn d'un cinéma suit une loi normale $N(150, 12)$ en grammes. On choisit un paquet au hasard et on sait que sa valeur centrée réduite est $Z = -1,5$. Ce paquet pèse-t-il plus ou moins que la moyenne ? Calculer son poids exact en grammes.

Deux élèves de lycées différents veulent comparer leurs notes à l'examen d'économie.

• Nerea a obtenu $8,2$ dans son établissement, où la moyenne était $\mu = 6,5$ et l'écart type $\sigma = 1,1$.

• Youssef a obtenu $8,5$ dans son établissement, où la moyenne était $\mu = 7,2$ et l'écart type $\sigma = 1,4$.

Calculer la variable centrée réduite pour chacun et déterminer lequel des deux a obtenu la meilleure note par rapport à son propre groupe.

Sur une plateforme de jeux en ligne, le score des joueurs au niveau « Légende » suit une loi normale de moyenne $\mu = 4500$ points et d'écart type $\sigma = 600$ points. Par ailleurs, au niveau « Maître », les scores suivent une loi normale avec $\mu = 3800$ points et $\sigma = 450$ points.

Un joueur a obtenu $5200$ points au niveau « Légende » et son ami a obtenu $4400$ points au niveau « Maître ». Utiliser la variable centrée réduite pour déterminer lequel des deux amis a obtenu le meilleur score par rapport à son groupe de jeu.

Trois élèves de lycées différents veulent comparer leurs résultats à un test d'aptitude linguistique. Les épreuves étant différentes, les scores suivent des lois normales différentes :

• Léa a obtenu $72$ points à un examen avec $N(60, 8)$.

• Hugo a obtenu $80$ points à un examen avec $N(70, 12)$.

• Camille a obtenu $65$ points à un examen avec $N(55, 5)$.

Déterminer, en centrant et réduisant les variables, lequel des trois élèves occupe la meilleure position relative par rapport à son groupe de référence. Justifier la réponse en comparant les valeurs de la variable centrée réduite $Z$.

On a mesuré le temps que mettent les jeunes d'une ville pour se rendre au lycée. Les données suivent une loi normale avec $\mu = 25$ minutes et $\sigma = 5$ minutes. Centrer et réduire la valeur $X = 35$ minutes. Si la table de la loi normale centrée réduite indique que $P(Z < 2) = 0,9772$, quel pourcentage d'élèves met moins de $35$ minutes pour arriver ?

Une étude a été réalisée sur le temps quotidien que les adolescents de 17 ans consacrent au visionnage de contenus sur des plateformes de streaming. Les résultats montrent que ce temps suit une loi normale $X \sim N(110, 25)$, le temps étant mesuré en minutes.

1. a) Calculer la probabilité qu'un jeune choisi au hasard passe plus de $135$ minutes par jour sur ces plateformes.
2. b) Quelle est la probabilité que le temps consacré soit compris entre $90$ et $120$ minutes ?

Les notes finales du baccalauréat dans une certaine région suivent une loi normale de moyenne $6,8$ et d'écart type $1,2$.

L'université a décidé d'attribuer une bourse d'excellence spéciale aux $5\%$ des élèves ayant obtenu les meilleures notes. À l'aide de la table de la loi normale centrée réduite $N(0,1)$, calculer la note minimale nécessaire pour obtenir cette bourse.

Un créateur de contenu sur un réseau social analyse le nombre de « likes » que reçoivent ses publications. Il a observé que le nombre de « likes » suit une loi normale de moyenne $1200$.

1. a) Si l'écart type est $\sigma = 150$, calculer l'intervalle symétrique par rapport à la moyenne qui contient $90\%$ des publications.
2. b) Quelle est la probabilité qu'une publication choisie au hasard ait exactement $1300$ « likes » ? Justifier la réponse en s'appuyant sur les propriétés des variables continues.

Le temps que les adolescents d'une ville consacrent chaque jour aux réseaux sociaux suit une loi normale $X \sim N(120, 20)$, le temps étant mesuré en minutes.

Calculer la probabilité qu'un adolescent choisi au hasard consacre aux réseaux sociaux entre $100$ et $150$ minutes, sachant qu'il y consacre plus de $110$ minutes. (Remarque : utiliser la définition de la probabilité conditionnelle ainsi que la standardisation de la variable).

L'autonomie de la batterie d'un nouveau modèle de smartphone en utilisation intensive suit une loi normale de moyenne $\mu$ heures et d'écart type $\sigma = 1,5$ heures.

On sait que $25,14\%$ des téléphones ont une batterie qui dure moins de $8$ heures. Déterminer la valeur de la moyenne $\mu$ de cette loi en utilisant le processus inverse de la standardisation.

Lors d'une compétition d'athlétisme, le temps en secondes que mettent les participants pour courir le 400 mètres suit une loi $X \sim N(52, \sigma)$.

Sachant que $84,13\%$ des coureurs mettent moins de $55$ secondes pour terminer l'épreuve, calculer l'écart type $\sigma$ du temps des coureurs.

Dans un centre de préparation aux concours d'entrée à l'université, on a observé que les notes d'un examen blanc de mathématiques appliquées suivent une loi normale $N(\mu, \sigma)$. On sait que $15,87\%$ des élèves ont obtenu une note supérieure à $8$ points, tandis que $2,28\%$ n'ont pas atteint $3$ points. Calculer la moyenne $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de cette loi à l'aide de la table de la loi normale centrée réduite $Z \sim N(0, 1)$.