Coefficients binomiaux

Calculer et simplifier la valeur des expressions suivantes sans utiliser la calculatrice, en appliquant les propriétés des factorielles :

1. a) $\frac{8!}{6!}$

1. b) $\binom{7}{2}$

1. c) $5! - 4!$

Pour organiser la fête de fin d'année de terminale, on doit choisir un comité des fêtes composé de $3$ élèves. Si la classe compte $20$ élèves volontaires, de combien de façons différentes peut-on choisir ce groupe ? (L'ordre dans lequel on choisit les élèves n'importe pas : seule compte la composition du comité.) Utiliser la formule des coefficients binomiaux :

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Mathis résout un exercice sur l'organisation d'activités scolaires : il doit calculer combien de comités de 3 élèves on peut former à partir d'un groupe de 8 délégués de classe. Dans son cahier, il écrit :

$$\binom{8}{3} = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$$

Sa camarade Léa vérifie le calcul et lui signale que le résultat est faux.

1. a) Expliquer en détail l'erreur de raisonnement commise par Mathis. Quelle quantité a-t-il réellement calculée et pourquoi ne correspond-elle pas à la formation d'un comité sans rôles distincts ?
2. b) Justifier quel facteur manque au dénominateur de sa formule, quel rôle joue ce facteur pour éviter les répétitions, puis calculer la valeur correcte de $\binom{8}{3}$.

Résoudre les questions suivantes relatives au dénombrement et aux factorielles :

1. a) Déterminer la valeur de $n$ dans l'égalité suivante :

$$\binom{n}{2} = 21$$

1. b) Simplifier l'expression suivante en laissant le résultat en fonction de $n$ :

$$\frac{(n+1)! + n!}{(n-1)!}$$

1. c) Combien de nombres à 5 chiffres peut-on former en utilisant uniquement les chiffres $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ si l'on n'autorise aucune répétition de chiffre ? Comment le résultat changerait-il si l'on autorisait les répétitions ?

Dans le département de mathématiques d'un lycée, on veut former un comité de remise des diplômes. Il y a $12$ élèves de filière scientifique et $10$ de filière sciences sociales.

1. a) De combien de façons peut-on choisir un comité de $6$ personnes s'il doit y avoir au moins $4$ élèves de sciences sociales ? Utiliser les propriétés des coefficients binomiaux pour simplifier les calculs à la main.

1. b) Si le processus de sélection de chaque membre était indépendant et que la probabilité de choisir un élève de sciences sociales était la proportion réelle dans le groupe ($10/22$), quelle serait la probabilité que, dans un comité de $6$ personnes choisies avec remise, il y ait exactement $3$ de chaque filière ?

Dans le cadre des coefficients binomiaux, il existe une propriété de symétrie qui affirme que $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.

Vérifier cette propriété en calculant les valeurs de $\binom{10}{8}$ et $\binom{10}{2}$. Quelle conclusion en tirez-vous concernant l'effort de calcul lorsque $r$ est un nombre proche de $n$ ?

Pour une étude sur les enseignements de spécialité au lycée, vous devez calculer à la main la valeur du coefficient binomial $\binom{25}{23}$. Votre professeure vous suggère d'envisager trois méthodes avant de vous lancer dans les calculs :

• Méthode A : appliquer strictement la définition en développant les factorielles complètes : $\dfrac{25!}{23! \cdot 2!}$, en calculant d'abord les produits du numérateur et du dénominateur.

• Méthode B : utiliser la propriété de symétrie $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ pour transformer le coefficient binomial en $\binom{25}{2}$ et simplifier les facteurs avant de multiplier.

• Méthode C : construire le triangle de Pascal ligne par ligne de la ligne 0 à la ligne 25, en additionnant les valeurs successives grâce à la relation de Pascal.

1. a) Comparer les trois méthodes et justifier laquelle est la plus efficace dans ce cas précis, et pourquoi les deux autres sont déconseillées lors d'une épreuve écrite à durée limitée.
2. b) Appliquer la méthode choisie pour calculer le résultat final en détaillant toutes les étapes de la simplification.

Démontrer, à l'aide de la définition du coefficient binomial avec les factorielles, l'identité suivante (connue sous le nom de formule de Pascal) :

$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$$

Appliquer ce résultat pour calculer la valeur de $\displaystyle \binom{10}{4} + \binom{10}{3}$ sans calculer chaque terme séparément.

Avant d'étudier la loi binomiale, il est essentiel de distinguer le type de variable. Classer les variables aléatoires suivantes en discrètes ou continues :

1. Le nombre de « likes » que reçoit une publication Instagram en une heure.

2. Le temps exact que met un élève pour arriver au lycée.

3. Le nombre de personnes dont le test antigénique est positif dans un échantillon de $50$ individus.

4. La taille des joueurs de l'équipe de France de basket-ball.

Une étude affirme que $70\%$ des adolescents français utilisent TikTok quotidiennement. Si l'on choisit au hasard un groupe de $8$ adolescents d'un lycée :

1. a) Identifier les paramètres $n$ et $p$ de la loi binomiale que suit cette situation.
2. b) Définir la variable aléatoire $X$ associée à cette expérience.
3. c) Quelle est la probabilité que exactement les $8$ adolescents utilisent l'application ? (Écrire seulement la mise en place de la formule).

Sachant que, pour une loi binomiale $B(n, p)$, la probabilité d'obtenir $k$ succès est :

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

Calculer la probabilité d'obtenir exactement $2$ fois « pile » en lançant une pièce équilibrée $4$ fois.

Un QCM comporte 12 questions, chacune avec 4 propositions de réponse dont une seule est correcte. Un élève qui n'a rien révisé décide de répondre à toutes les questions au hasard.

1. a) Calculer le nombre attendu de réponses correctes (espérance) et l'écart type de cette loi.
2. b) Quelle est la probabilité que l'élève réussisse l'examen (obtienne au moins 6 bonnes réponses) ?
3. c) Si l'examen comportait 100 questions, quels seraient les paramètres de la loi binomiale obtenue ? (Ne pas effectuer les calculs de probabilité).

Un examen de rattrapage consiste en $80$ questions de type QCM avec $4$ options chacune, dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard aux $12$ questions qu'il ne savait pas.

1. a) Soit $X$ la variable « nombre de bonnes réponses aux $12$ questions ». Définir les paramètres de la loi.

1. b) Calculer la probabilité qu'il ait plus de bonnes réponses que de mauvaises.

1. c) S'il a besoin d'au moins une bonne réponse pour valider cette partie, calculer la probabilité qu'il échoue.

Un examen de type QCM comporte $5$ questions de type vrai ou faux, et les réponses à certaines questions n'influencent pas celles aux autres (ce sont des événements indépendants). Un élève répond à toutes au hasard, de sorte que, pour chaque question, la probabilité de répondre correctement est $p=0,5$. Soit $X$ le nombre de questions auxquelles il répond correctement.

1. a) Quelle est la probabilité que l'élève ne réponde correctement à aucune question, c'est-à-dire $P(X=0)$ ?

1. b) En utilisant l'événement contraire, expliquer comment calculer la probabilité que l'élève réponde correctement à au moins une question, $P(X \geq 1)$.

Dans un centre sportif de haut niveau, on veut sélectionner un groupe de 4 athlètes pour représenter la France lors d'une compétition internationale de relais. S'il y a 12 athlètes disponibles dans le centre (7 hommes et 5 femmes), calculer :

1. a) Le nombre total de façons différentes de choisir l'équipe de 4 personnes.

1. b) Dans combien de ces combinaisons l'équipe serait-elle composée d'exactement 2 hommes et 2 femmes ?

1. c) Utiliser les propriétés des coefficients binomiaux pour démontrer, sans calculer la valeur numérique, que :

$$\binom{12}{4} = \binom{11}{3} + \binom{11}{4}$$