Droite de régression de y en x
Lucas a relevé, pour cinq stations du Massif central, l'altitude et la température moyenne annuelle. Le nuage de points a une allure presque alignée. Peut-on résumer ce nuage par une droite, et s'en servir pour prévoir la température à une altitude où l'on n'a pas de station ? Il faut aussi se méfier : prédire $y$ à partir de $x$, ou $x$ à partir de $y$, ne donne pas la même droite.
La droite de régression de y en x
Quand un nuage de points a une forme allongée, on cherche la droite qui passe « au plus près » des points. Pour chaque point $M_i(x_i ; y_i)$, on mesure l'écart vertical $y_i-\hat y_i$ avec le point de la droite de même abscisse. Cet écart s'appelle le résidu. La variance résiduelle est la moyenne des carrés des résidus : $V_{\text{rés}}=\dfrac{1}{N}\sum (y_i-\hat y_i)^2$. On admet que $V_{\text{rés}}=\sigma_y^2\,(1-r^2)$, donc $\sum (y_i-\hat y_i)^2=N\,\sigma_y^2\,(1-r^2)$ et $r^2=1-\dfrac{V_{\text{rés}}}{\sigma_y^2}$. Ainsi, plus les résidus sont petits, plus $r^2$ est proche de $1$.
Le point moyen est sur la droite car la somme des résidus est nulle : la droite n'a pas d'erreur systématique « vers le haut » ou « vers le bas ». Et $m$ est du signe de $\sigma_{xy}$ : si les deux variables varient dans le même sens, la droite monte.
Quand on part des données brutes, on calcule d'abord $\bar x=\dfrac{\sum x_i}{N}$, $\bar y=\dfrac{\sum y_i}{N}$, puis $\sigma_x^2=\dfrac{\sum x_i^2}{N}-\bar x^2$ et $\sigma_{xy}=\dfrac{\sum x_iy_i}{N}-\bar x\,\bar y$. Avec la calculatrice ou un tableur, on obtient directement $m$ et $p$.
Exemple : si $N=50$, $\sigma_y^2=9$ et $\sum (y_i-\hat y_i)^2=90$, alors $V_{\text{rés}}=\dfrac{90}{50}=1{,}8$ et $r^2=1-\dfrac{1{,}8}{9}=0{,}8$.
On connaît les paramètres statistiques d'une série à deux variables : moyenne de $X$ égale à $4$, moyenne de $Y$ égale à $6$, variance de $X$ égale à $1,5$ et covariance…
On connaît les paramètres statistiques d'une série à deux variables : moyenne de $X$ égale à $4$, moyenne de $Y$ égale à $6$, variance de $X$ égale à $1,5$ et covariance égale à $3$. Déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.
La droite de régression de $Y$ en $X$ d'une série à deux variables est $y = 1,2x - 0,5$. Sachant que la moyenne marginale de la variable $X$ est $\bar{x} = 3$, quelle…
La droite de régression de $Y$ en $X$ d'une série à deux variables est $y = 1,2x - 0,5$. Sachant que la moyenne marginale de la variable $X$ est $\bar{x} = 3$, quelle est la valeur exacte de la moyenne marginale $\bar{y}$ ?
Une entreprise de marketing numérique a recueilli des données sur l'investissement dans des campagnes sur les réseaux sociaux ($X$, en milliers d'euros) et sur les…
Une entreprise de marketing numérique a recueilli des données sur l'investissement dans des campagnes sur les réseaux sociaux ($X$, en milliers d'euros) et sur les revenus générés par les ventes ($Y$, en dizaines de milliers d'euros) pendant $5$ mois consécutifs :
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$X$ : $2,5 \quad 3,0 \quad 3,5 \quad 4,0 \quad 4,5$
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$Y$ : $12 \quad 14 \quad 15 \quad 18 \quad 19$
Déterminer la droite de régression des revenus en fonction de l'investissement et estimer les revenus attendus si l'on investit $5000$ euros.
Lire et interpréter la droite
Le coefficient directeur $m$ indique de combien varie $y$, en moyenne, quand $x$ augmente de $1$ unité. L'ordonnée à l'origine $p$ est la valeur prévue pour $x=0$ : elle n'a pas toujours de sens concret.
Pour estimer une valeur, on remplace $x$ dans l'équation. Avec $y=0{,}4x+2{,}1$ (engrais en kg/ha, production en t/ha), pour $x=15$ : $y=0{,}4\times 15+2{,}1=8{,}1$ tonnes par hectare.
Dans une étude sur la relation entre la quantité d'engrais appliquée ($X$, en kg/ha) et la production obtenue ($Y$, en tonnes/ha), on a calculé la droite de régression…
Dans une étude sur la relation entre la quantité d'engrais appliquée ($X$, en kg/ha) et la production obtenue ($Y$, en tonnes/ha), on a calculé la droite de régression de $Y$ en $X$ et on a trouvé $y = 0,4x + 2,1$. Estimer la production obtenue si l'on applique $15$ kg/ha d'engrais.
Les variables $X$ et $Y$ représentent respectivement le nombre d'heures d'entraînement hebdomadaire et le temps en secondes mis pour parcourir $100$ mètres plat par un…
Les variables $X$ et $Y$ représentent respectivement le nombre d'heures d'entraînement hebdomadaire et le temps en secondes mis pour parcourir $100$ mètres plat par un groupe d'athlètes. Si la droite de régression de $Y$ en $X$ est $y = -0,5x + 14$, interpréter la signification physique du coefficient directeur de cette droite dans le contexte du problème.
À partir des microdonnées de l'enquête Budget de famille de l'INSEE, on extrait un échantillon de $5$ ménages pour analyser la dépense mensuelle en alimentation ($Y$, en…
À partir des microdonnées de l'enquête Budget de famille de l'INSEE, on extrait un échantillon de $5$ ménages pour analyser la dépense mensuelle en alimentation ($Y$, en centaines d'euros) en fonction des revenus nets mensuels du ménage ($X$, en milliers d'euros) :
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Ménage A : $(1,5; 3,0)$
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Ménage B : $(2,0; 3,8)$
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Ménage C : $(2,5; 4,5)$
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Ménage D : $(3,0; 5,1)$
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Ménage E : $(3,5; 6,1)$
- a) Modéliser la relation linéaire entre les deux variables en calculant la droite de régression de $Y$ en $X$ (détailler le calcul de $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x^2$ et $\sigma_{xy}$).
- b) Interpréter la signification socioéconomique du coefficient directeur $m_{yx} = 1,5$ et de l'ordonnée à l'origine $n = 0,75$ dans le contexte réel, en portant une attention particulière aux unités de mesure de chaque variable.
- c) Estimer la dépense en alimentation pour un ménage ayant $2800$ euros de revenus mensuels et pour un autre ayant $8500$ euros de revenus mensuels. Justifier laquelle des deux estimations offre la meilleure garantie statistique en s'appuyant sur l'étendue des données observées.
Autres façons de la déterminer
Si l'on connaît les écarts types et $r$, on utilise $m=r\,\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}$ : par exemple avec $\sigma_x=2$, $\sigma_y=5$, $r=-0{,}8$, on obtient $m=-0{,}8\times\dfrac{5}{2}=-2$.
Sur un graphique, on lit les coordonnées de deux points de la droite, on calcule $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ puis $p$.
Soit le tableau suivant donnant trois couples de valeurs d'une série à deux variables : $X$ : $1 \quad 2 \quad 3$ $Y$ : $2 \quad 4 \quad 5$ Calculer le coefficient…
Soit le tableau suivant donnant trois couples de valeurs d'une série à deux variables :
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$X$ : $1 \quad 2 \quad 3$
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$Y$ : $2 \quad 4 \quad 5$
Calculer le coefficient directeur de la droite de régression de $Y$ en $X$.
Dans une série à deux variables, on sait que les écarts types sont $\sigma_x = 2$ et $\sigma_y = 5$, et que le coefficient de corrélation linéaire est $r = -0,8$.…
Dans une série à deux variables, on sait que les écarts types sont $\sigma_x = 2$ et $\sigma_y = 5$, et que le coefficient de corrélation linéaire est $r = -0,8$. Déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ sachant que le point moyen de la série est le point $(10\,;\,20)$.
Dans une étude de biomécanique, on analyse la relation entre la longueur du fémur ($X$, en cm) et la taille d'un individu ($Y$, en cm). On dispose des résumés…
Dans une étude de biomécanique, on analyse la relation entre la longueur du fémur ($X$, en cm) et la taille d'un individu ($Y$, en cm). On dispose des résumés statistiques suivants pour un échantillon de $50$ personnes :
$\bar{x} = 45$, $\bar{y} = 170$, $\sigma_x = 3,2$, $\sigma_y = 8,5$, $r = 0,92$.
Déterminer la droite de régression de $Y$ en $X$ et estimer la taille d'une personne dont le fémur mesure $48$ cm. Justifier brièvement la fiabilité de cette estimation.
La droite de x en y
Si l'on veut prédire $x$ à partir de $y$, on minimise les écarts horizontaux : on obtient une autre droite.
On en déduit $0\leqslant m\,m'\leqslant 1$. En écrivant la droite de $x$ en $y$ sous la forme $y=\dots$, son coefficient directeur est $\dfrac{1}{m'}$ ; comme $m\,m'=r^2\leqslant 1$, on a $|m|\leqslant\left|\dfrac1{m'}\right|$ : la droite de $y$ en $x$ est la moins pentue des deux.
Les droites de régression d'une série à deux variables ont pour équations $y = 0,5x + 4$ et $x = 1,6y - 2$. Déterminer les coordonnées du point moyen de la série et le…
Les droites de régression d'une série à deux variables ont pour équations $y = 0,5x + 4$ et $x = 1,6y - 2$. Déterminer les coordonnées du point moyen de la série et le coefficient de corrélation linéaire $r$, en justifiant son signe.
La droite de régression de $Y$ en $X$ d'une série à deux variables est $y = 3x - 2$. Si l'on ajoute $4$ unités à toutes les valeurs observées de la variable $X$ et que…
La droite de régression de $Y$ en $X$ d'une série à deux variables est $y = 3x - 2$. Si l'on ajoute $4$ unités à toutes les valeurs observées de la variable $X$ et que l'on multiplie par $2$ toutes les valeurs de la variable $Y$, quelle sera la nouvelle équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ ?
Dans un centre météorologique, on relie la pression atmosphérique ($X$, en hPa) à la probabilité de précipitations ($Y$, en $\%$). Sachant que le point moyen de la série…
Dans un centre météorologique, on relie la pression atmosphérique ($X$, en hPa) à la probabilité de précipitations ($Y$, en $\%$). Sachant que le point moyen de la série est le point $(1013 ; 40)$, que l'écart type de la pression est $5$ hPa, que celui de la probabilité est $20\%$, et que le coefficient de corrélation linéaire est $-0,85$, déterminer l'équation de la droite de régression permettant d'estimer la probabilité de pluie connaissant la pression atmosphérique.
Dans une analyse macroéconomique, on relie le taux d'inflation ($X$, en $\%$ ) au taux de chômage ($Y$, en $\%$). La droite de régression de $Y$ en $X$ est…
Dans une analyse macroéconomique, on relie le taux d'inflation ($X$, en $\%$ ) au taux de chômage ($Y$, en $\%$). La droite de régression de $Y$ en $X$ est $y = -0,6x + 8$. Si la variance marginale de l'inflation est $\sigma_x^2 = 4$ et la variance marginale du chômage est $\sigma_y^2 = 2,25$, déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r$ et le pourcentage de la variabilité du chômage qui est expliqué par le modèle de régression linéaire.
Quand les deux droites sont confondues
Démonstration. Si $r^2=1$, alors $\sigma_{xy}^2=\sigma_x^2\sigma_y^2$. Le coefficient directeur de la droite de $y$ en $x$ est $m=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}$. La droite de $x$ en $y$, écrite $y=\dots$, a pour coefficient directeur $\dfrac{\sigma_y^2}{\sigma_{xy}}$. Or
$$\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}=\frac{\sigma_y^2}{\sigma_{xy}}\iff \sigma_{xy}^2=\sigma_x^2\sigma_y^2,$$ce qui est vrai. Les deux droites ont le même coefficient directeur et passent toutes deux par $G$ : elles sont confondues.
Plus $|r|$ est proche de $1$, plus les deux droites sont proches ; plus $r$ est proche de $0$, plus l'angle qu'elles forment est grand.
Changement de variable affine
Si l'on remplace $x$ par $x'=x+a$ et $y$ par $y'=by$ (avec $b\neq 0$), on transforme aussi le point moyen : $\bar x'=\bar x+a$ et $\bar y'=b\,\bar y$. La covariance devient $\sigma_{x'y'}=b\,\sigma_{xy}$ et la variance $\sigma_{x'}^2=\sigma_x^2$. Le nouveau coefficient directeur est donc $m'=b\,m$, et la droite passe par le nouveau point moyen.
Cas des variables centrées réduites $Z_x=\dfrac{X-\bar x}{\sigma_x}$ et $Z_y=\dfrac{Y-\bar y}{\sigma_y}$ : leurs moyennes sont nulles et leurs écarts types valent $1$. La covariance de $Z_x$ et $Z_y$ vaut $\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}=r$. La droite de $Z_y$ en $Z_x$ est donc $z_y=r\,z_x$ : elle passe par l'origine et son coefficient directeur est $r$.
Démontrer analytiquement que si les variables $X$ et $Y$ ont une corrélation linéaire parfaite ($r = 1$ ou $r = -1$), alors la droite de régression de $Y$ en $X$…
Démontrer analytiquement que si les variables $X$ et $Y$ ont une corrélation linéaire parfaite ($r = 1$ ou $r = -1$), alors la droite de régression de $Y$ en $X$ coïncide exactement avec la droite de régression de $X$ en $Y$. Expliquer brièvement quelle implication géométrique cela a sur l'angle formé par les deux droites dans le plan.
Dans une étude sur le rendement de panneaux solaires, la variable $X$ représente l'irradiance solaire ($W/m^2$) et la variable $Y$ la puissance électrique générée ($W$).…
Dans une étude sur le rendement de panneaux solaires, la variable $X$ représente l'irradiance solaire ($W/m^2$) et la variable $Y$ la puissance électrique générée ($W$). On sait que la droite de régression de $Y$ en $X$ est donnée par $y = 0,18x + 5$, et la droite de régression de $X$ en $Y$ par $x = 5y - 10$. Calculer les moyennes marginales $\bar{x}$ et $\bar{y}$, et déterminer le pourcentage exact de la variabilité de la puissance électrique qui est expliqué par l'irradiance solaire.
Dans une étude pharmaceutique, on modélise la concentration d'un principe actif dans le sang ($Y$, en mg/L) en fonction de la dose administrée ($X$, en mg). On effectue…
Dans une étude pharmaceutique, on modélise la concentration d'un principe actif dans le sang ($Y$, en mg/L) en fonction de la dose administrée ($X$, en mg). On effectue un changement de variable en standardisant les deux variables, c'est-à-dire que l'on pose $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ et $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$. Démontrer algébriquement que la droite de régression de $Z_y$ en $Z_x$ passe par l'origine du repère et que son coefficient directeur est exactement le coefficient de corrélation linéaire $r$.
Interpolation et extrapolation
On appelle interpolation l'estimation pour une valeur de $x$ située dans l'intervalle des données observées, et extrapolation l'estimation hors de cet intervalle.
Une droite est d'autant plus fiable que $|r|$ est proche de $1$ (et que l'on interpole). Vérifie toujours que le résultat a un sens dans le contexte.
Retour au début : pour les stations du Massif central, la droite de régression permet d'estimer la température à une altitude comprise entre les stations (interpolation) ; au sommet d'un très haut sommet, on n'a plus de garantie.
Une direction territoriale de Météo-France étudie la relation entre l'altitude ($X$, en centaines de mètres) et la température moyenne annuelle ($Y$, en…
Une direction territoriale de Météo-France étudie la relation entre l'altitude ($X$, en centaines de mètres) et la température moyenne annuelle ($Y$, en $^\circ\text{C}$) dans cinq stations d'observation du Massif central :
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Station 1 : $(4; 14,3)$
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Station 2 : $(6; 13,3)$
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Station 3 : $(8; 12,0)$
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Station 4 : $(10; 10,9)$
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Station 5 : $(12; 9,5)$
- a) Avant tout calcul algébrique, estimer en justifiant le signe que doivent avoir la covariance et le coefficient directeur de la droite de régression de $Y$ en $X$. Estimer aussi approximativement de combien de degrés la température diminue pour chaque $100\text{ m}$ d'élévation.
- b) Vérifier cette estimation en calculant les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$, la variance $\sigma_x^2$ et la covariance $\sigma_{xy}$, et déterminer l'équation exacte de la droite de régression de $Y$ en $X$.
- c) Utiliser la droite pour prédire la température attendue à $900\text{ m}$ ($x = 9$) et à $3000\text{ m}$ ($x = 30$). Apprécier si les deux prédictions sont raisonnables en distinguant interpolation et extrapolation.
Lors d'une expérience de thermodynamique, on mesure la température d'un liquide ($Y$, en °C) en fonction du temps écoulé ($X$, en minutes). La droite de régression…
Lors d'une expérience de thermodynamique, on mesure la température d'un liquide ($Y$, en °C) en fonction du temps écoulé ($X$, en minutes). La droite de régression obtenue est $y = -1,5x + 85$. Sachant que le coefficient de détermination est $R^2 = 0,95$ et que l'expérience a duré $30$ minutes au total, est-il fiable d'estimer la température à $45$ minutes à l'aide de cette droite ? Justifier la réponse en s'appuyant sur les notions d'interpolation et d'extrapolation.
Un analyste sportif d'un club de football étudie la relation entre les kilomètres parcourus à haute intensité par match ($X$, en km) et les récupérations de balle dans…
Un analyste sportif d'un club de football étudie la relation entre les kilomètres parcourus à haute intensité par match ($X$, en km) et les récupérations de balle dans le camp adverse ($Y$) des joueurs. Après avoir saisi les données dans un logiciel, il présente un rapport avec les résultats suivants :
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Droite de régression de $Y$ en $X$ : $y = 0,8x - 1,2$
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Droite de régression de $X$ en $Y$ : $x = 1,5y + 2,1$
Le rapport contient trois affirmations de l'analyste :
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« Comme les deux coefficients directeurs sont positifs, il existe une corrélation linéaire positive et très forte entre les deux variables ».
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« Pour estimer la distance qu'un joueur devrait courir pour réaliser $y = 5$ récupérations, il suffit d'isoler la variable $x$ dans la première droite, ce qui donne $x = 7,75\text{ km}$ ».
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« Si l'on change l'unité de mesure de la distance $X$ des kilomètres aux mètres ($X' = 1000X$), la covariance $\sigma_{x'y}$ comme le coefficient directeur $m_{yx}'$ de la droite de régression de $Y$ en $X$ seront multipliés par $1000$ ».
Évaluer de façon critique ce rapport :
- a) Démontrer analytiquement que les deux équations fournies contiennent une contradiction statistique irréductible qui invalide le modèle.
- b) Expliquer l'erreur de raisonnement commise par l'analyste dans l'affirmation 2.
- c) Analyser algébriquement l'affirmation 3 à partir des définitions de la covariance et de la variance : déduire comment varient réellement $\sigma_{x'y}$ et le coefficient directeur $m_{yx}'$ lors du changement d'échelle $X' = k\cdot X$ et déterminer si l'affirmation est vraie ou fausse.