Lois uniforme et exponentielle
À Nantes, un tram passe « n'importe quand » entre 8 h 00 et 8 h 20. Une ampoule peut griller n'importe quand, elle aussi. Dans les deux cas, le temps est une variable qui peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle. Comment calculer la probabilité d'attendre moins de 5 minutes, ou celle qu'une ampoule dure plus de 3 ans ? Il faut des lois de probabilité adaptées : les lois à densité.
Densité de probabilité
Pour une durée mesurée en minutes, la probabilité d'obtenir exactement $7{,}2514\ldots$ minutes est nulle. On ne calcule donc des probabilités que pour des intervalles, et on les représente par des aires.
C'est le même principe qu'un histogramme dont l'aire totale vaut $1$ : plus la courbe est haute au-dessus d'une zone, plus cette zone est probable.
Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; 4]$ par $f(x) = \dfrac{x}{8}$ et nulle ailleurs. a) Montrer que $f$ est une densité de probabilité. b) Soit $X$ de densité $f$.…
Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; 4]$ par $f(x) = \dfrac{x}{8}$ et nulle ailleurs.
- a) Montrer que $f$ est une densité de probabilité.
- b) Soit $X$ de densité $f$. Calculer $P(1 \leqslant X \leqslant 3)$.
- c) Calculer l'espérance $E(X) = \int_0^4 x f(x)\,dx$.
Loi uniforme sur $[a ; b]$
Un tram passe à un instant « au hasard » entre deux bornes : aucune zone de l'intervalle n'est favorisée. La densité est donc constante.
Pourquoi $\frac{1}{b-a}$ ? Le rectangle a pour largeur $b-a$ ; pour que son aire vaille $1$, sa hauteur doit être $\frac{1}{b-a}$.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[2 ; 10]$. Calculer $P(X \leqslant 5)$ et $P(4 \leqslant X \leqslant 7)$.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[2 ; 10]$. Calculer $P(X \leqslant 5)$ et $P(4 \leqslant X \leqslant 7)$.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0 ; 1]$. Donner son espérance, puis calculer $P(X > 0,35)$.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0 ; 1]$. Donner son espérance, puis calculer $P(X > 0,35)$.
Un bus arrive à un arrêt de Bordeaux à un instant aléatoire entre $8$ h $00$ et $8$ h $20$, de façon uniforme. Léa arrive à l'arrêt à $8$ h $00$. a) Quelle est la…
Un bus arrive à un arrêt de Bordeaux à un instant aléatoire entre $8$ h $00$ et $8$ h $20$, de façon uniforme. Léa arrive à l'arrêt à $8$ h $00$.
- a) Quelle est la probabilité que Léa attende moins de $5$ minutes ?
- b) Quelle est la probabilité qu'elle attende plus de $12$ minutes ?
- c) Quel est le temps d'attente moyen ?
Espérance d'une loi à densité
Pour une variable discrète, $E(X) = \sum x_i p_i$. Pour une variable à densité, la somme devient une intégrale.
L'espérance est la « position d'équilibre » de l'aire sous la courbe. Pour un rectangle, c'est le milieu de l'intervalle : on s'attend donc à trouver $\frac{a+b}{2}$.
Variance
C'est la même idée que pour une variable discrète : la variance mesure l'écart quadratique moyen à l'espérance.
Une usine de Lille fabrique des tiges dont la longueur $X$ (en cm), à partir d'une valeur nominale, est modélisée par la loi uniforme sur $[a ; b]$. a) Montrer que…
Une usine de Lille fabrique des tiges dont la longueur $X$ (en cm), à partir d'une valeur nominale, est modélisée par la loi uniforme sur $[a ; b]$.
- a) Montrer que l'espérance de $X$ vaut $\dfrac{a+b}{2}$ en calculant $\int_a^b \dfrac{x}{b-a}\,dx$.
- b) On sait que $E(X) = 20$ et que $P(X \leqslant 19) = 0,25$. Déterminer $a$ et $b$.
- c) Une tige est conforme si sa longueur est dans $[19,5 ; 21]$. Calculer la probabilité qu'une tige soit conforme, puis la probabilité que, sur $10$ tiges indépendantes, exactement $8$ soient conformes (arrondir au millième).
Loi exponentielle
Une ampoule, un composant électronique ou un noyau radioactif ne « vieillissent » pas : le risque de panne dans la prochaine heure ne dépend pas de l'âge. La loi de leur durée de vie est la loi exponentielle.
Cette figure montre la densité pour $\lambda = 1$ : elle est maximale en $0$ et décroît vers $0$. Les petites valeurs sont les plus probables.
Justification : $\displaystyle\int_0^t \lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = \left[-\mathrm{e}^{-\lambda x}\right]_0^t = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda t}$. Et $\lambda$ est l'inverse d'une durée : plus $\lambda$ est grand, plus les durées sont courtes, d'où $E(X) = \frac{1}{\lambda}$.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,5$. Calculer $P(X \leqslant 2)$ et $P(X > 3)$ (arrondir au millième), puis donner…
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,5$. Calculer $P(X \leqslant 2)$ et $P(X > 3)$ (arrondir au millième), puis donner $E(X)$.
La durée de vie $X$, en années, d'un composant électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$. a) Calculer la probabilité que le composant dure…
La durée de vie $X$, en années, d'un composant électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$.
- a) Calculer la probabilité que le composant dure moins de $3$ ans (arrondir au centième).
- b) Calculer la probabilité qu'il dure plus de $5$ ans.
- c) Calculer la durée de vie moyenne.
- d) Déterminer $t$ tel que $P(X \leqslant t) = 0,5$ (arrondir au centième).
Soit $X$ de loi exponentielle de paramètre $\lambda$ et $F(x) = P(X \leqslant x)$ sa fonction de répartition. a) Montrer que…
Soit $X$ de loi exponentielle de paramètre $\lambda$ et $F(x) = P(X \leqslant x)$ sa fonction de répartition.
- a) Montrer que $\displaystyle\int_0^A \lambda x e^{-\lambda x}\,dx = \dfrac{1}{\lambda} - \left(A + \dfrac{1}{\lambda}\right)e^{-\lambda A}$ et en déduire $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
- b) Pour $\lambda = 0,02$, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X > n) \leqslant 0,01$.
- c) Soit $Y$ la variable aléatoire égale à $\lceil X \rceil$ (partie entière supérieure). Montrer que, pour tout entier $k \geqslant 1$, $P(Y = k) = e^{-\lambda(k-1)}(1 - e^{-\lambda})$, et reconnaître la loi de $Y$.
Absence de mémoire
Un composant a déjà fonctionné $500$ heures. A-t-il autant de chances de tenir encore $1\,000$ heures qu'un composant neuf ? Pour la loi exponentielle, oui.
Preuve : $P_{X > s}(X > s+t) = \dfrac{P(X > s+t)}{P(X > s)} = \dfrac{\mathrm{e}^{-\lambda(s+t)}}{\mathrm{e}^{-\lambda s}} = \mathrm{e}^{-\lambda t} = P(X > t)$. On utilise que $\{X > s+t\} \subset \{X > s\}$, donc $P(X > s \text{ et } X > s+t) = P(X > s+t)$.
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$. a) Montrer que, pour tous réels $s, t \geqslant 0$,…
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.
- a) Montrer que, pour tous réels $s, t \geqslant 0$, $P_{X > s}(X > s + t) = P(X > t)$ (absence de mémoire).
- b) Un serveur informatique a une durée de fonctionnement avant panne, en heures, suivant une loi exponentielle avec $E(X) = 1\,000$. Sachant qu'il a fonctionné $500$ heures, calculer la probabilité qu'il fonctionne encore au moins $1\,000$ heures (arrondir au millième).
- c) Déterminer la durée $t$ telle que la probabilité de panne avant $t$ soit égale à $0,9$ (arrondir à l'heure).
Reviens à ton tram : si l'arrivée est uniforme sur $[0 ; 20]$, l'attente moyenne est $10$ minutes et $P(X < 5) = \frac{1}{4}$. Pour la durée de vie d'une ampoule, la loi exponentielle donne $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ et une probabilité de durer plus de $t$ égale à $\mathrm{e}^{-\lambda t}$.