Équations différentielles y' = ay + b et modélisation

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Résoudre une équation différentielle, c'est trouver des fonctions (et non des nombres) qui vérifient une relation entre la fonction $y$ et sa dérivée $y'$.

Pour vérifier qu'une fonction est solution, on calcule $f'$, puis on compare $f'(x)$ et $a f(x) + b$.

Résoudre y' = ay

Quelle fonction est proportionnelle à sa dérivée ? La fonction exponentielle : $(e^{ax})' = a\,e^{ax}$. Donc $x \mapsto e^{ax}$ est solution de $y' = ay$, et les $x \mapsto Ce^{ax}$ aussi.

Pourquoi il n'y en a pas d'autres ? Soit $f$ une solution. Posons $h(x) = f(x)e^{-ax}$. Alors $h'(x) = f'(x)e^{-ax} - af(x)e^{-ax} = (f'(x) - af(x))e^{-ax} = 0$. Donc $h$ est constante, égale à $C$, et $f(x) = Ce^{ax}$.

Allure des courbes : si $a > 0$ et $C > 0$, la courbe croît très vite (croissance exponentielle) ; si $a < 0$ et $C > 0$, elle décroît vers $0$.

Attention à la forme de l'équation : $u'(t) + 2u(t) = 0$ se réécrit $u' = -2u$.

Résoudre y' = ay + b

Quand $b \neq 0$ (et $a \neq 0$), on cherche d'abord une solution constante. Si $y = k$ est constante, $y' = 0$, donc $0 = ak + b$, soit $k = -\dfrac{b}{a}$.

Pourquoi ? Si $f$ est solution et $k = -\frac{b}{a}$, alors $g = f - k$ vérifie $g' = f' = af + b = a(g + k) + b = ag + (ak + b) = ag$. Donc $g(x) = Ce^{ax}$ et $f = g + k$.

Modéliser avec une équation différentielle

Refroidissement de Newton. La température $T$ d'un objet dans une pièce à température constante $T_e$ vérifie $T' = -k(T - T_e)$ avec $k > 0$, soit $T' = -kT + kT_e$. La solution tend vers $T_e$.

Voilà la réponse à la question du début : le café refroidit en tendant vers $20\,°\mathrm{C}$.

Décharge d'un condensateur. $u' + \dfrac{1}{RC}u = 0$ donne $u(t) = u_0 e^{-t/(RC)}$.

Population (Verhulst). Le modèle $N' = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)$ n'est pas linéaire, mais le changement de fonction $y = \frac{1}{N}$ le ramène à $y' = ay + b$. Pour retrouver $N$, on revient à $N = \frac{1}{y}$.

La méthode d'Euler

Comment approcher une solution sans la connaître ? On remplace la courbe par de petits segments de tangente. Si $y' = F(y)$ et si le pas est $h$, on pose

Pour $y' = y$ et $y(0) = 1$ : $y_{k+1} = y_k + hy_k = (1 + h)y_k$. La suite $(y_k)$ est géométrique de raison $1 + h$, donc $y_k = (1 + h)^k$.

Avec $h = \frac{1}{n}$, on obtient $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, qui tend vers $\mathrm{e}$ quand $n \to +\infty$ : plus le pas est petit, meilleure est l'approximation. Pour le justifier, on écrit $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e^{\,n\ln(1 + 1/n)}$ et on utilise $\ln(1 + h) \sim h$ (nombre dérivé de $\ln$ en $1$ égal à $1$).

L'essentiel

• Une solution de $y' = ay + b$ est une fonction dérivable $f$ telle que $f' = af + b$ ; on la vérifie en calculant les deux membres.

• Les solutions de $y' = ay$ sont $Ce^{ax}$.

• Si $a \neq 0$, les solutions de $y' = ay + b$ sont $Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ ; $-\frac{b}{a}$ est la solution constante. Si $a = 0$, les solutions de $y' = b$ sont $bx + C$.

• Une condition initiale fixe $C$ : il y a alors une unique solution.

• Pour $a < 0$, les solutions tendent vers $-\frac{b}{a}$ : refroidissement, décharge, état d'équilibre.

• Méthode d'Euler : $y_{k+1} = y_k + h\,F(y_k)$, approximation qui s'améliore quand $h$ diminue.