Coefficient de corrélation linéaire

Dans une étude sur le rendement de panneaux solaires, on a calculé que la covariance entre le rayonnement solaire reçu ($X$) et l'énergie produite ($Y$) est $\sigma_{xy} = 15,2$. Sachant que les écarts types sont $\sigma_x = 4,0$ et $\sigma_y = 3,9$, calculer le coefficient de corrélation linéaire et interpréter le résultat.

On a mesuré le temps de réaction ($X$, en secondes) et le nombre d'erreurs commises ($Y$) lors d'un test de coordination psychomotrice pour 3 personnes, et obtenu les couples de valeurs suivants : $(1 ; 2)$, $(2 ; 4)$ et $(3 ; 5)$. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de Pearson pour ce petit jeu de données.

Une entreprise de logistique souhaite étudier la relation entre le poids des colis ($X$, en kg) et le coût du transport ($Y$, en euros). Pour cela, elle sélectionne un échantillon de 5 colis et obtient les données suivantes :

• Poids ($X$) : 2, 4, 5, 8, 11

• Coût ($Y$) : 12, 15, 18, 25, 30

Calculer les moyennes, les écarts types marginaux, la covariance et le coefficient de corrélation linéaire. D'après le résultat, le poids est-il un bon prédicteur linéaire du coût du transport ?

Classer la force (forte, modérée ou faible/nulle) et le sens (positive ou négative) de la corrélation linéaire pour chacun des coefficients suivants, obtenus dans différentes études statistiques :

1. a) $r = 0,98$
2. b) $r = -0,12$
3. c) $r = -0,85$
4. d) $r = 0,55$

Observer les trois nuages de points étiquetés A, B et C. Associer chacun d'eux à la valeur du coefficient de corrélation linéaire qui le décrit le mieux, parmi les valeurs suivantes : $r = -0,92$, $r = 0,05$ et $r = 0,95$.

Dans une classe de première, Sergio analyse deux matières pour déterminer dans laquelle la dépendance linéaire par rapport aux heures de travail hebdomadaires est la plus grande. Après calculs, il obtient pour la matière A un coefficient de corrélation $r_A = 0,42$ et pour la matière B (où il mesure le nombre d'erreurs à un contrôle en fonction des heures de travail) un coefficient $r_B = -0,81$. Sergio conclut dans son rapport : « La relation linéaire est beaucoup plus forte dans la matière A que dans la B car $0,42 > -0,81$ ; de plus, le signe négatif en B montre que le modèle linéaire n'est pas valable pour prévoir les erreurs. » Identifier et formuler avec précision les deux erreurs conceptuelles commises par Sergio, expliquer pourquoi ses affirmations sont fausses et déterminer dans laquelle des deux matières la droite de régression expliquera le plus grand pourcentage de la variabilité.

Considérer les couples de variables statistiques suivants. Indiquer, en justifiant, si le coefficient de corrélation linéaire entre elles sera positif, négatif ou proche de zéro :

1. a) Le nombre d'heures d'entraînement hebdomadaire d'un athlète et son temps pour parcourir 100 mètres plat.
2. b) La quantité de pluie tombée au cours d'un mois et les ventes de parapluies ce même mois.
3. c) Le dernier chiffre du numéro de sécurité sociale d'une personne et sa taille en centimètres.

Le nuage de points suivant montre la relation entre les heures de travail hebdomadaires ($X$) et la note obtenue à un contrôle ($Y$) pour un groupe d'élèves.

Analyser visuellement le nuage de points et répondre en justifiant :

1. a) Si l'on ne tenait pas compte du point aberrant situé en bas à droite, comment serait le coefficient de corrélation linéaire ?
2. b) Quel effet produit l'inclusion de ce point aberrant sur la valeur du coefficient de corrélation de Pearson par rapport au cas précédent ?

On étudie la relation entre deux variables $X$ et $Y$ à partir de trois observations expérimentales : $(0 ; 2)$, $(3 ; 8)$ et $(5 ; k)$. On sait au préalable qu'il existe une dépendance fonctionnelle linéaire parfaite et positive entre les deux variables, c'est-à-dire que le coefficient de corrélation est $r = 1$. Sans calculer les écarts types, déterminer la valeur du paramètre $k$.

Dans une série statistique à deux variables, on sait que le coefficient directeur de la droite de régression de $Y$ en $X$ est $m_{yx} = 1,25$ et que celui de la droite de régression de $X$ en $Y$ est $m_{xy} = 0,65$. Sachant que la dépendance entre les variables est directe, calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$.

Dans une étude de marché, on a obtenu les deux droites de régression linéaire reliant le prix d'un produit ($X$) et sa demande mensuelle ($Y$). Les équations de ces droites sont :

Droite 1 : $y = -1,5x + 120$

Droite 2 : $x = -0,6y + 75$

Calculer le coefficient de corrélation linéaire et indiquer le degré de liaison entre le prix et la demande.

Dans une étude d'ingénierie sur la résistance de certains matériaux polymères, on a obtenu deux droites de régression dont les équations cartésiennes sont $3x - 2y - 8 = 0$ et $x - 2y + 4 = 0$.

1. a) Identifier en justifiant quelle est la droite de régression de $Y$ en $X$ et quelle est la droite de régression de $X$ en $Y$.
2. b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ entre les deux variables.

Dans une étude d'agronomie, on a calculé que le coefficient de corrélation linéaire entre la température moyenne mensuelle en degrés Celsius ($C$) et la production d'une culture en tonnes ($P$) est $r = 0,82$. Si l'on décide d'exprimer la température en degrés Fahrenheit à l'aide de la formule $F = 1,8C + 32$ et la production en kilogrammes à l'aide de $K = 1000P$, quel sera le nouveau coefficient de corrélation entre $F$ et $K$ ? Justifier la réponse à partir des propriétés mathématiques de ce coefficient.

Soit une série statistique à deux variables $(X, Y)$ où la variable $Y$ s'obtient à partir de la variable $X$ par la transformation affine $Y = -4X + 7$, avec $X$ non constante ($\sigma_x > 0$). Démontrer analytiquement, à l'aide des définitions algébriques de la covariance et de l'écart type, que le coefficient de corrélation linéaire entre $X$ et $Y$ est exactement $-1$.

Étant données deux variables statistiques $X$ et $Y$, on définit leurs variables centrées réduites correspondantes $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ et $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$. Démontrer pas à pas que la covariance entre les variables centrées réduites, $\sigma_{z_x z_y}$, est exactement égale au coefficient de corrélation linéaire $r_{xy}$ des variables d'origine.

Les variables aléatoires $X$ et $Y$ ont pour variances $\sigma_x^2 = 16$ et $\sigma_y^2 = 25$, et leur coefficient de corrélation linéaire est $r_{xy} = 0,4$. On définit une nouvelle variable $W = X + kY$, où $k$ est une constante réelle. Déterminer la valeur exacte de $k$ pour que les variables $X$ et $W$ soient non corrélées (c'est-à-dire $r_{xw} = 0$).

Remarque : vous pouvez utiliser la propriété de linéarité de la covariance : $\sigma_{x, x+ky} = \sigma_x^2 + k\sigma_{xy}$.

Le coefficient de détermination d'un modèle mathématique reliant l'âge d'un véhicule utilitaire ($X$, en années) à sa valeur marchande ($Y$, en euros) est $R^2 = 0,7225$. Sachant que la valeur du véhicule diminue avec l'âge, quelle est la valeur exacte du coefficient de corrélation linéaire $r$ ?

Un entraîneur de basket-ball analyse les minutes jouées ($X$) et les points marqués ($Y$) par 6 de ses joueurs lors d'un match, et obtient les couples de données suivants : $(10 ; 4)$, $(15 ; 8)$, $(20 ; 12)$, $(25 ; 14)$, $(30 ; 20)$, $(35 ; 22)$. Calculer le coefficient de détermination $R^2$ et expliquer quel pourcentage de la variabilité des points marqués est expliqué linéairement par les minutes jouées.

La variance résiduelle (ou erreur quadratique moyenne) de la régression de $Y$ en $X$ fournit une mesure de la dispersion des points autour de la droite d'ajustement, et peut se calculer par l'expression $\sigma_e^2 = \sigma_y^2 (1 - r^2)$. Dans une étude socioéconomique, on sait que la variance de la variable dépendante $Y$ est $36$ et que la droite de régression de $Y$ en $X$ laisse une variance résiduelle de $6,25$. Sachant que le coefficient directeur de cette droite de régression est négatif, déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r$ et interpréter statistiquement sa signification.