Aire sous une courbe
Un graphiste dessine le logo d'une application : une forme délimitée par l'axe des abscisses, la courbe de $f(x)=\mathrm{e}^x$ et les droites $x=0$ et $x=1$. Quelle est l'aire de cette forme ? Aucune formule de géométrie ne s'applique à une frontière courbe. L'intégrale a justement été inventée pour ce type de problème : on approche l'aire par des rectangles, puis on la calcule exactement avec une primitive.
Approcher l'aire par des rectangles
L'idée : découper la région en bandes verticales très étroites, puis additionner leurs aires. Quand la fonction est constante, la région est déjà un rectangle et le calcul est exact.
Cette méthode se programme facilement : voici un algorithme en Python qui calcule la somme des rectangles « à gauche ».
def rectangles(f, a, b, n):
dx = (b - a) / n
S = 0
for i in range(n):
S = S + f(a + i * dx) * dx
return S
Pour encadrer une aire sans calcul exact : si $m\leqslant f\leqslant M$ sur $[a\,;b]$, alors $m(b-a)\leqslant\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\leqslant M(b-a)$. C'est l'aire d'un rectangle inscrit et d'un rectangle circonscrit.
Déterminer l'aire du domaine limité par la fonction constante $f(x) = 4$, l'axe $OX$ et les droites $x = -1$ et $x = 2$. Justifier le résultat graphiquement en calculant…
Déterminer l'aire du domaine limité par la fonction constante $f(x) = 4$, l'axe $OX$ et les droites $x = -1$ et $x = 2$. Justifier le résultat graphiquement en calculant l'aire du rectangle obtenu sans utiliser d'intégrales.
L'accès à un tunnel de ventilation souterrain a un profil parabolique modélisé par la fonction $f(x) = 9 - x^2$ (où $x$ et $f(x)$ sont mesurés en mètres), délimité en…
L'accès à un tunnel de ventilation souterrain a un profil parabolique modélisé par la fonction $f(x) = 9 - x^2$ (où $x$ et $f(x)$ sont mesurés en mètres), délimité en bas par le sol horizontal ($y = 0$). On souhaite déterminer l'aire de la section transversale de cet accès.
- a) Avant d'intégrer, réaliser un encadrement justifié de l'aire entre deux valeurs numériques : calculer l'aire du rectangle circonscrit à la parabole (en utilisant les points d'intersection avec le sol et la hauteur du sommet) et l'aire d'un triangle isocèle inscrit de même base et de même hauteur. Justifier pourquoi l'aire réelle doit se situer dans cet intervalle.
- b) Calculer l'aire exacte à l'aide de l'intégrale en utilisant une primitive.
- c) Vérifier si le résultat obtenu confirme l'encadrement précédent et déterminer quel pourcentage exact de l'aire du rectangle circonscrit la parabole occupe.
Aire sous une courbe positive
Si $f\geqslant0$ sur $[a\,;b]$, l'aire est directement l'intégrale, calculée à l'aide d'une primitive $F$ de $f$.
Primitives utiles : pour $f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$, $F(x)=\dfrac23x^{3/2}$ ; pour $f(x)=\ln x$, $F(x)=x\ln x-x$ (on vérifie : $F'(x)=\ln x+1-1=\ln x$) ; pour $f(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u>0$, $F=\ln u$ ; pour $f(x)=u'\mathrm{e}^{u}$, $F=\mathrm{e}^{u}$ ; pour $f(x)=g(ax+b)$, $F(x)=\dfrac1aG(ax+b)$.
Pour une fraction rationnelle simple, on la transforme d'abord pour faire apparaître la forme $\dfrac{u'}{u}$ : par exemple $\dfrac{2x+5}{x+1}=\dfrac{2(x+1)+3}{x+1}=2+\dfrac{3}{x+1}$, dont une primitive sur $]-1\,;+\infty[$ est $2x+3\ln(x+1)$.
Pourquoi cela marche-t-il ? Parce que $F(b)-F(a)$ est la variation de $F$ entre $a$ et $b$, et que $F'=f$ : l'aire « cumule » les valeurs de $f$.
Aire entre deux courbes
Si $f\geqslant g$ sur $[a\,;b]$, l'aire entre les deux courbes est $\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,\mathrm{d}x$. Les bornes sont les abscisses des points d'intersection, solutions de $f(x)=g(x)$. Si les courbes se croisent dans l'intervalle, on découpe avec la relation de Chasles.
Aire et axe des ordonnées
Parfois il est plus simple d'intégrer par rapport à $y$ : on exprime $x$ en fonction de $y$ et on intègre sur un intervalle de valeurs de $y$. On peut aussi soustraire l'aire d'un rectangle connu.
Courbe de Lorenz et indice de Gini
La courbe de Lorenz $L$ vérifie $L(x)\leqslant x$ sur $[0\,;1]$ : elle est sous la bissectrice $y=x$ (égalité parfaite). L'aire entre la bissectrice et la courbe est $\displaystyle\int_0^1\big(x-L(x)\big)\,\mathrm{d}x$, et l'indice de Gini est le double de cette aire : $G=2\displaystyle\int_0^1\big(x-L(x)\big)\,\mathrm{d}x$. Plus cette aire est grande, plus les inégalités sont fortes.
Tangente et aire
La tangente en $x=a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Elle sert de frontière : on calcule l'aire d'un triangle (base × hauteur ÷ 2) ou on intègre la différence avec la courbe.
Un athlète s'entraîne pour un marathon. Sa vitesse sur un tronçon de 15 minutes est constante et donnée par la fonction $v(t) = 12$ km/h, où $t$ est le temps en heures.…
Un athlète s'entraîne pour un marathon. Sa vitesse sur un tronçon de 15 minutes est constante et donnée par la fonction $v(t) = 12$ km/h, où $t$ est le temps en heures. Utiliser l'intégrale pour calculer la distance parcourue (l'aire sous la courbe de vitesse) entre les instants $t = 0$ et $t = 0,25$ heures. Vérifier le résultat à l'aide de la formule géométrique de l'aire d'un rectangle.
Calculer l'aire de la région du plan comprise entre la courbe représentative de la fonction $f(x) = -x^2 + 4x$ et la droite $g(x) = x$. Pour cela, déterminer d'abord les…
Calculer l'aire de la région du plan comprise entre la courbe représentative de la fonction $f(x) = -x^2 + 4x$ et la droite $g(x) = x$. Pour cela, déterminer d'abord les points d'intersection des deux courbes et réaliser un schéma du domaine.
On considère la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x + 5}{x + 1}$ définie pour $x > -1$. a) Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x)$, l'axe $OX$ et…
On considère la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x + 5}{x + 1}$ définie pour $x > -1$.
- a) Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x)$, l'axe $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 3$.
- b) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x = 0$.
- c) Calculer l'aire du triangle formé par cette tangente, l'axe $OX$ et l'axe $OY$, et la comparer à l'aire obtenue à la question a).
Calculer l'aire de la région plane limitée par la parabole $f(x) = x^2 + 2$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 2$. La fonction étant toujours positive…
Calculer l'aire de la région plane limitée par la parabole $f(x) = x^2 + 2$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 2$. La fonction étant toujours positive sur cet intervalle, poser directement l'intégrale en utilisant une primitive.
Soit la fonction polynôme $f(x) = 3x^2 + 2x$. Déterminer l'aire limitée par sa courbe représentative et l'axe $OX$ sur l'intervalle $[1 ; 2]$. Vérifier que, sur cet…
Soit la fonction polynôme $f(x) = 3x^2 + 2x$. Déterminer l'aire limitée par sa courbe représentative et l'axe $OX$ sur l'intervalle $[1 ; 2]$. Vérifier que, sur cet intervalle, la fonction ne coupe pas l'axe $OX$ (c'est-à-dire qu'elle est toujours positive), ce qui facilite le calcul direct.
Quand la fonction change de signe
Si $f\leqslant0$ sur $[a\,;b]$, l'intégrale est négative et l'aire vaut $-\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$. Si $f$ change de signe, il faut séparer les parties au-dessus et en dessous de l'axe.
Méthode : (1) résoudre $f(x)=0$ ; (2) dresser le tableau de signes de $f$ sur $[a\,;b]$ ; (3) découper l'intégrale aux zéros ; (4) ajouter les aires, chacune prise positive.
Déterminer l'aire du domaine limité par la courbe $f(x) = x^3 - 4x$ et l'axe des abscisses. Attention : la fonction peut prendre des valeurs positives et négatives ; il…
Déterminer l'aire du domaine limité par la courbe $f(x) = x^3 - 4x$ et l'axe des abscisses. Attention : la fonction peut prendre des valeurs positives et négatives ; il faut donc calculer séparément l'aire de chaque région puis les additionner en valeur absolue.
Soit la fonction définie par morceaux : $f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & \text{si } 1 < x \le 3 \end{cases}$ Calculer l'aire de la région…
Soit la fonction définie par morceaux :
$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & \text{si } 1 < x \le 3 \end{cases}$
Calculer l'aire de la région limitée par la courbe représentative de $f(x)$ et l'axe des abscisses sur l'intervalle $[0, 3]$.
Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction $f(x) = |x^2 - 4|$, l'axe des abscisses et les droites $x = -1$ et $x = 3$. Conseil : Identifier les…
Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction $f(x) = |x^2 - 4|$, l'axe des abscisses et les droites $x = -1$ et $x = 3$.
Conseil : Identifier les intervalles sur lesquels l'expression à l'intérieur de la valeur absolue change de signe et décomposer l'intégrale en une somme de plusieurs intégrales selon le cas.
Applications : grandeurs cumulées et paramètres
Quand $f$ représente un taux (recette marginale, vitesse, puissance), l'aire sous sa courbe est la grandeur cumulée : une distance pour une vitesse, une énergie pour une puissance, une recette totale pour une recette marginale.
Le service marketing d'une nouvelle application de musique a déterminé que le revenu marginal pour chaque millier de nouveaux abonnés est $I'(x) = 10 - x$ (en centaines…
Le service marketing d'une nouvelle application de musique a déterminé que le revenu marginal pour chaque millier de nouveaux abonnés est $I'(x) = 10 - x$ (en centaines d'euros), où $x$ est le nombre de milliers d'abonnés. Calculer le bénéfice total cumulé (aire sous la courbe) lorsque le nombre d'abonnés passe de $x = 1$ à $x = 4$ mille.
Déterminer la valeur d'un paramètre positif $k$ pour que l'aire du domaine limité par la fonction $f(x) = kx^2$, l'axe $OX$ et la droite verticale $x=3$ soit égale à 18…
Déterminer la valeur d'un paramètre positif $k$ pour que l'aire du domaine limité par la fonction $f(x) = kx^2$, l'axe $OX$ et la droite verticale $x=3$ soit égale à 18 unités d'aire.
La fonction de recette marginale d'une coopérative agricole est donnée par $I'(x) = 100 - 0,2x^2$ (en euros par unité vendue), où $x$ représente le nombre de tonnes de…
La fonction de recette marginale d'une coopérative agricole est donnée par $I'(x) = 100 - 0,2x^2$ (en euros par unité vendue), où $x$ représente le nombre de tonnes de produit.
- a) Calculer la fonction de recette totale $I(x)$ sachant que pour une vente nulle, la recette est nulle.
- b) Déterminer l'aire délimitée par la courbe $I'(x)$ et l'axe des abscisses sur l'intervalle où la recette marginale est positive. Expliquer la signification économique de cette valeur.
Pour une intégrale comme $\int t\,\mathrm{e}^{-t/4}\,\mathrm{d}t$, on cherche une primitive de la forme $(at+b)\mathrm{e}^{-t/4}$ : on dérive, $\left(a-\frac{at+b}{4}\right)\mathrm{e}^{-t/4}$, et on identifie à $t\,\mathrm{e}^{-t/4}$ pour trouver $a$ et $b$.
Retour au début : l'aire exacte du logo est $\displaystyle\int_0^1\mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x=\left[\mathrm{e}^x\right]_0^1=\mathrm{e}-1\approx1{,}72$ u.a.