Intégrales définies. Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive

Calculer la valeur de l'intégrale suivante à l'aide d'une primitive ; elle représente l'aire sous la parabole $f(x) = x^2 + 2$ sur l'intervalle $[0, 3]$ :

Déterminer la valeur de l'intégrale de la fonction exponentielle de base entre 0 et 1 :

Remarque : Exprimer le résultat en fonction du nombre $e$.

Calculer la valeur de l'intégrale suivante d'une fonction rationnelle simple :

Rappel : $\ln(e) = 1$ et $\ln(1) = 0$.

Xavier et Lucie calculent en classe l'intégrale $\int_1^3 (4x - 1)\,dx$. Xavier choisit comme primitive $F(x) = 2x^2 - x$ et obtient un résultat numérique. Lucie, elle, décide d'utiliser la primitive $G(x) = 2x^2 - x + 5$ et affirme avec conviction : « Moi, je dois trouver un résultat supérieur de 5 unités au tien, parce que ma primitive vaut exactement 5 unités de plus en tout point ». a) Expliquer en justifiant l'erreur conceptuelle de Lucie en démontrant, à l'aide de l'expression théorique du calcul d'une intégrale avec une constante $+C$ quelconque, pourquoi la constante disparaît toujours. b) Calculer la valeur de l'intégrale en évaluant d'abord la primitive de Xavier puis celle de Lucie, et vérifier que les deux démarches conduisent nécessairement à la même valeur numérique.

Calculer l'aire du domaine plan délimité par la droite $f(x) = 2x - 4$, l'axe $OX$ et les droites verticales $x = 2$ et $x = 5$. Remarquer que sur cet intervalle la fonction est toujours positive ou nulle.

Déterminer la valeur du paramètre positif $k$ pour que l'aire délimitée par la courbe de la fonction $f(x) = kx^2$, l'axe $OX$ et les droites $x = 0$ et $x = 3$ soit exactement égale à $18$ unités d'aire.

Soit une fonction continue $f(x)$ ; on connaît les valeurs suivantes de ses intégrales :

• $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$

• $\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4$

À l'aide des propriétés de l'intégrale, calculer la valeur de $\int_{3}^{5} f(x) \, dx$.

On considère la fonction définie par morceaux :

$f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 5 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Calculer la valeur de l'intégrale $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$ en appliquant la relation de Chasles par rapport à l'intervalle d'intégration.

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction $f(x) = x^3 - x$ et l'axe $OX$. Remarquer que la fonction change de signe sur l'intervalle délimité par ses racines ; il faudra donc déterminer ces racines pour poser les intégrales nécessaires.

Le centre de tri d'une entreprise de commerce en ligne en France surveille le rythme de sortie des commandes au cours d'un poste de 8 heures grâce à la fonction suivante $r(t)$ (exprimée en centaines de colis par heure, avec $t \in [0\,;8]$) : $$r(t) = \begin{cases} a t^2 + b & \text{si } 0 \le t \le 2 \\ 10 - (t - 4)^2 & \text{si } 2 < t \le 8 \end{cases}$$ Pour que les changements de rythme ne provoquent pas d'engorgement opérationnel et qu'il soit légitime de calculer les intégrales à l'aide de primitives, morceau par morceau, sur l'intervalle complet, la fonction $r(t)$ doit être continue. a) Établir et justifier la condition algébrique exacte que doivent vérifier les constantes $a$ et $b$ pour assurer la continuité de $r(t)$ à l'instant de changement de morceau $t = 2$. b) On a constaté que pendant les deux premières heures du poste ($t \in [0\,;2]$), un total cumulé de $800$ colis ($8$ centaines) a été trié. Écrire l'intégrale définie correspondant à ce morceau, la calculer à l'aide d'une primitive et en déduire les valeurs des paramètres $a$ et $b$. c) Avec les valeurs trouvées, calculer le nombre total de colis triés à la fin du poste complet de 8 heures en utilisant la relation de Chasles pour les intégrales, et déterminer à quelle heure précise du poste le rythme de tri maximal a été atteint.

Le flux de clients entrant dans un centre commercial un samedi matin peut être modélisé par la fonction $f(t) = 100 + 20t$ (clients par heure), où $t$ est le temps en heures depuis l'ouverture ($t=0$). Calculer le nombre total de clients entrés entre la deuxième et la quatrième heure après l'ouverture :

Une entreprise de messagerie a estimé que son taux de variation des recettes quotidiennes (en centaines d'euros) est donné par la fonction $I'(t) = 0,3t^2 - 2t + 10$, où $t$ est le temps en heures depuis l'ouverture ($0 \le t \le 8$). Utiliser une primitive pour calculer l'augmentation totale des recettes entre la troisième heure ($t=3$) et la sixième heure ($t=6$) de sa journée.

Le taux de variation du bénéfice net d'une startup technologique (en milliers d'euros par mois) est donné par la fonction $B'(t) = 20 - 10e^{-0,2t}$, où $t$ est le temps en mois écoulé depuis le lancement de son produit phare.

1. a) Si au moment du lancement ($t=0$) le bénéfice cumulé était de $0$ euros, déterminer l'expression de la fonction de bénéfice cumulé $B(t)$.
2. b) Calculer, à l'aide d'une primitive, le bénéfice net total obtenu par l'entreprise entre le mois 5 et le mois 10. Exprimer le résultat en euros, arrondi à l'unité.

On considère la fonction définie par une intégrale $F(x) = \int_2^x (t^3 - 6t^2 + 9t)\,dt$, définie pour tout $x \in \mathbb{R}$. Pour déterminer les intervalles de monotonie et les extrema de $F(x)$, deux élèves proposent deux démarches différentes : la méthode A consiste à calculer d'abord l'expression explicite de $F(x)$ en déterminant une primitive et en calculant l'intégrale à l'aide de celle-ci, puis à dériver par rapport à $x$ ; la méthode B propose d'appliquer directement le théorème fondamental de l'analyse pour écrire $F'(x)$ sans calculer aucune primitive au préalable. a) Développer entièrement la méthode A (en calculant la primitive, en l'appliquant sur $[2\,;\,x]$ puis en dérivant le polynôme obtenu) et vérifier que le résultat coïncide avec celui, immédiat, de la méthode B. b) Comparer les deux démarches : laquelle est la plus efficace ? Justifier pourquoi la méthode A serait impraticable pour un élève de lycée si la fonction sous l'intégrale était $g(t) = e^{-t^2}$, alors que la méthode B permettrait toujours de résoudre le problème. c) À partir de la dérivée $F'(x)$, déterminer les points critiques de $F(x)$, ses intervalles de croissance et de décroissance, et classer en justifiant ses extrema.

Soit la fonction définie par une intégrale $F(x) = \int_{1}^{x^2} \ln(t) \, dt$, définie pour $x \geq 1$ :

1. a) Utiliser le théorème fondamental de l'analyse et la dérivée d'une fonction composée pour déterminer la fonction dérivée $F'(x)$.
2. b) Sans calculer explicitement l'intégrale, déterminer si la fonction $F(x)$ est croissante ou décroissante sur son ensemble de définition et justifier si elle admet un point d'inflexion.
3. c) Calculer la valeur exacte de $F(e)$ à l'aide d'une intégration par parties.

Calculer l'aire du domaine du plan délimité par la courbe de la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 2$. Tenir compte de la position de la courbe par rapport à l'axe sur l'intervalle donné pour mener correctement le calcul.

Déterminer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = -x^2 + 4x$ et $g(x) = x$. Pour cela, déterminer d'abord les points d'intersection des deux courbes et esquisser le domaine afin d'identifier laquelle des fonctions est au-dessus sur l'intervalle d'intégration.

Déterminer l'aire du domaine fini délimité par la courbe $y = \frac{1}{x}$, l'axe des abscisses et les droites $x = 1$ et $x = e^2$. Exprimer le résultat en unités d'aire, sous forme exacte, à l'aide de logarithmes.

On considère les fonctions $f(x) = x^3 - 3x$ et $g(x) = x$. Leurs courbes représentatives sont données sur la figure.

1. a) Déterminer tous les points d'intersection des deux courbes.

1. b) Calculer l'aire totale des domaines finis délimités par les courbes de $f(x)$ et $g(x)$. Attention : les positions relatives des courbes (laquelle est au-dessus) peuvent changer selon les intervalles trouvés.

Calculer l'aire du domaine colorié de la figure, qui représente le logo d'une nouvelle marque de mode. Le logo est délimité par la courbe de la fonction $f(x) = \sqrt{x+4}$, l'axe des ordonnées $OY$ et la droite $y = \frac{1}{2}x + 1$.

Remarque : Vous devez d'abord trouver le point d'intersection des deux courbes dans le premier quadrant afin de déterminer correctement les bornes d'intégration.

Soit la fonction $f(x) = \frac{k}{x^2}$ définie pour $x > 0$. On sait que l'aire du domaine délimité par la courbe de cette fonction, l'axe $OX$ et les droites verticales $x = 1$ et $x = k$ (avec $k > 1$) est égale à $0,75$ unités d'aire.

1. a) Calculer, en justifiant, la valeur du paramètre positif $k$.
2. b) Pour la valeur de $k$ trouvée, déterminer l'équation de la tangente à la courbe en $x = 2$.