Aire entre deux courbes

Dans un parc de sports extrêmes, on souhaite installer une rampe de skate. Le profil latéral de la rampe est défini par la courbe $f(x) = x^2$ et on veut la recouvrir d'une bâche de sécurité allant jusqu'à la plateforme horizontale définie par la droite $g(x) = 4$.

Calculer l'aire de la section latérale comprise entre la rampe et la plateforme horizontale (unités en mètres).

Dans un projet d'ingénierie environnementale, on étudie la section transversale d'un canal d'irrigation. Le profil du canal est donné par la courbe $f(x) = x^2 - 1$ et le niveau maximal de l'eau est limité par la droite $g(x) = 3$.

Calculer l'aire de la section transversale du canal située sous le niveau de l'eau.

Deux entreprises technologiques comparent la croissance de leurs utilisateurs durant la première année. Le nombre d'utilisateurs (en milliers) de l'entreprise A suit la fonction $f(x) = x^2$, tandis que celui de l'entreprise B suit la fonction $g(x) = x$.

Calculer l'aire du domaine compris entre les deux courbes sur l'intervalle $[0 ; 1]$ afin de visualiser la différence totale cumulée d'utilisateurs durant cette première année.

Déterminer l'aire du domaine délimité par la droite $y = 2x$ et la courbe $y = x^2 - 3$.

Pour cela, déterminer d'abord les points d'intersection en égalant les deux fonctions, puis calculer l'intégrale de la fonction différence à l'aide d'une primitive.

Déterminer l'aire du domaine limité par les courbes représentatives des fonctions $f(x) = x^2 - 2x + 1$ et $g(x) = -x^2 + 4x + 1$. Déterminer laquelle des deux fonctions est au-dessus de l'autre sur l'intervalle d'intégration en étudiant le signe de la fonction différence $h(x) = f(x) - g(x)$.

Déterminer l'aire du domaine délimité par la fonction cubique $f(x) = x^3 - 4x$ et la droite $g(x) = 0$ (l'axe des abscisses). Remarquer que le domaine est composé de deux parties distinctes et qu'il faudra calculer l'aire de chacune séparément, en utilisant des valeurs absolues si nécessaire.

On considère deux fonctions qui représentent le flux d'air dans une soufflerie pendant une expérience de 10 secondes : $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ et $g(x) = x^2 - 3x$. Les ingénieurs ont besoin de connaître le « volume d'interférence » total, qui correspond à l'aire comprise entre les deux courbes sur tout leur ensemble de définition. Déterminer les points d'intersection des deux fonctions et calculer l'aire totale des domaines qu'elles délimitent, en tenant compte du fait que les fonctions peuvent échanger leur position (laquelle est au-dessus de l'autre) selon les intervalles.

Un architecte projette une fenêtre décorative dont la silhouette est délimitée par la fonction avec valeur absolue $f(x) = |x^2 - 4|$ et la droite horizontale $g(x) = 2$. En raison de la complexité de la forme, le verre doit être découpé en plusieurs morceaux. Calculer l'aire totale de la fenêtre en identifiant correctement les bornes d'intégration et les fonctions qui constituent la frontière supérieure et inférieure sur chaque intervalle.

Soit la fonction $f(x) = x^2 - 4$. Déterminer l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $x = 3$. Ensuite, calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x)$, la tangente obtenue et l'axe des ordonnées ($OY$).

Calculer la valeur du paramètre réel positif $k$ pour que l'aire du domaine délimité par la parabole $y = x^2$ et la droite $y = kx$ soit égale à $36$ unités d'aire. Indice : exprimer l'aire en fonction de $k$ et égaler le résultat à la valeur donnée pour déterminer l'inconnue.

On conçoit la section transversale d'un canal d'irrigation. Le fond du canal est défini par la parabole $f(x) = \frac{1}{2}x^2$, tandis que la surface de l'eau un jour de débit maximal est limitée par la courbe $g(x) = \sqrt{2x}$. Déterminer la valeur d'une constante $k$ telle que la droite verticale $x = k$ partage l'aire de la section transversale de l'eau en deux parties exactement égales.

Dans une étude de microéconomie, la fonction d'offre d'un produit est $S(x) = x^2 + 2x + 1$ et la fonction de demande est $D(x) = 11 - x^2$, où $x$ est le nombre d'unités en milliers. Le « surplus du consommateur » est défini comme l'aire limitée par la courbe de demande, la droite horizontale passant par le point d'équilibre (où l'offre est égale à la demande) et l'axe des ordonnées. Calculer ce surplus en déterminant d'abord le point d'équilibre dans le premier quadrant.