Suites géométriques

Un jeune créateur de contenu sur un réseau social observe que le nombre de vues de ses vidéos augmente de façon constante. Le premier jour, il a obtenu $200$ vues, le deuxième $600$, le troisième $1800$, et ainsi de suite selon une suite géométrique.

1. a) Déterminer la raison $r$ de la suite.
2. b) Calculer combien de vues il recevra le sixième jour si cette tendance se maintient.

Pour s'acheter un vélo électrique, une étudiante décide de relever le « défi de l'épargne hebdomadaire » : elle met de l'argent de côté chaque semaine de sorte que chaque versement soit le double du précédent. La première semaine, elle met de côté $2$ €, la deuxième $4$ €, la troisième $8$ €, et ainsi de suite.

1. a) Écrire le terme général $a_n$ de cette suite.
2. b) Utiliser la formule de la somme d'une suite géométrique pour déterminer combien d'argent elle aura accumulé au total au bout de $8$ semaines.

Soit la suite géométrique définie par les termes $a_2 = 12$ et $a_5 = 324$ :

1. a) Déterminer la raison $r$ et le premier terme $a_1$.
2. b) Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite.
3. c) Serait-il possible de calculer la somme de tous ses termes, en nombre infini ? Justifier la réponse.

En raison de l'inflation, le prix des loyers dans un quartier jeune de la ville augmente de $4 \%$ chaque année de façon cumulative. Si le prix actuel d'un studio est de $650$ € par mois :

1. a) Quel sera le prix du loyer dans $3$ ans ?
2. b) Identifier les éléments de la suite géométrique qui modélise cette situation (capital initial $C_0$ et raison $r$).

Une banque propose un dépôt à intérêts composés avec un taux annuel de $3 \%$. Si l'on dépose $5000$ € sans effectuer aucun autre versement ni retrait :

1. a) Quel sera le capital final au bout de $4$ ans ?
2. b) Quel montant aura-t-on gagné uniquement grâce aux intérêts ?

La valeur marchande d'un modèle de console de jeux vidéo se déprécie de $12 \%$ chaque année. Si le prix de lancement est de $499$ € :

1. a) Écrire les trois premiers termes de la suite des prix annuels.
2. b) Calculer la valeur de la console après $5$ ans.

Un grand-père ouvre un compte d'épargne pour son petit-fils nouveau-né avec un capital initial de $2000$ €. La banque offre un intérêt simple annuel de $2,5 \%$.

1. a) Calculer les intérêts que générera le compte au bout de $10$ ans.
2. b) À combien s'élèvera le capital total accumulé au terme de cette période ?

Une entreprise de messagerie à Toulouse achète une camionnette de livraison électrique pour une valeur initiale de $28\,000$ €. L'entreprise sait que ce type de véhicule subit une dépréciation annuelle continue de $12\,\%$ par rapport à sa valeur de l'année précédente. Marc, le comptable stagiaire, calcule la valeur du véhicule au bout de $4$ ans de la manière suivante :

« Comme le véhicule perd $12\,\%$ chaque année, en $4$ ans il aura perdu $4 \cdot 12\,\% = 48\,\%$ de sa valeur d'origine. Par conséquent, la valeur comptable au bout de $4$ ans sera $28\,000 \cdot (1 - 0{,}48) = 14\,560$ € ».

1. a) Expliquer avec ses propres mots l'erreur conceptuelle commise par Marc et pourquoi sa méthode confond le modèle linéaire (intérêts simples) avec le processus géométrique de dépréciation.
2. b) Modéliser la valeur du véhicule par une suite géométrique : identifier le terme initial $a_1$ (valeur après la première année), la raison $r$ et écrire le terme général $a_n$ qui donne la valeur du véhicule à la fin de l'année $n$.
3. c) Calculer la valeur comptable réelle de la camionnette au bout de $4$ ans et déterminer de combien d'euros Marc a surestimé ou sous-estimé la valeur de l'actif.

D'après les données de l'INSEE, une commune du Massif central comptait $3\,200$ habitants recensés au $1$ janvier $2020$. En raison du vieillissement de la population et du manque de renouvellement des générations, sa population diminue chaque année à un rythme régulier de $4\,\%$ par rapport à celle de l'année précédente.

1. a) Modéliser l'évolution de la population par une suite géométrique : déterminer la raison $r$, écrire le terme général $P_n$ qui estime la population au bout de $n$ années écoulées depuis $2020$, et calculer la population prévue au $1$ janvier $2025$.
2. b) Si cette tendance se poursuit de façon constante, en quelle année la population de la commune passera-t-elle pour la première fois sous les $2\,000$ habitants ? Poser l'inéquation correspondante, la résoudre à l'aide des logarithmes (en prêtant une attention particulière aux propriétés des inégalités lors d'une division par un nombre négatif) et justifier la réponse temporelle.
3. c) À l'aide de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique, calculer combien d'habitants la commune aura perdus au total du $1$ janvier $2020$ au $1$ janvier $2030$.

Un collectionneur d'art achète une sculpture pour $12\,000$ €. On estime que sa valeur augmentera de $8\%$ chaque année de façon constante. Parallèlement, l'inflation moyenne prévue pour la prochaine décennie est de $2,5\%$ par an.

1. a) Quelle sera la valeur nominale de la sculpture au bout de 10 ans ?
2. b) Quelle sera la valeur réelle de la sculpture au bout de ces 10 ans, exprimée en « euros d'aujourd'hui » ? Pour cela, il faut déflater la valeur nominale à l'aide de l'indice des prix issu de l'inflation (qui suit lui aussi une progression géométrique).

Calculer le capital final obtenu en plaçant $1500$ € pendant $2$ ans à un intérêt composé de $4 \%$ par an, si la période de capitalisation des intérêts est mensuelle (c'est-à-dire que les intérêts sont versés chaque mois).

Une jeune femme décide de placer ses économies de $2500 €$ dans un produit financier offrant un intérêt composé de $3,2 \%$ par an.

1. a) Quel sera le capital final si les intérêts sont capitalisés annuellement pendant 6 ans ?
2. b) Quelle serait la différence si la capitalisation était mensuelle plutôt qu'annuelle sur cette même période ?

Un investisseur étudie deux comptes d'épargne différents :

• Compte A : offre un intérêt de $4 \%$ par an avec capitalisation trimestrielle.

• Compte B : offre un intérêt de $4,05 \%$ par an avec capitalisation annuelle.

Déterminer en justifiant, en calculant le taux annuel effectif (TAE) du compte A, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour l'investisseur.

On compare deux produits d'investissement pour un capital de $10\,000$ € sur 4 ans :

• Produit A : intérêts composés annuels de $5\%$.

• Produit B : taux nominal de $4,8\%$ par an avec capitalisation mensuelle des intérêts.

Déterminer lequel des deux produits est le plus rentable en calculant le taux annuel effectif (TAE) de chacun. Expliquer pourquoi, bien que le produit B ait un taux nominal plus faible, la fréquence de capitalisation influe sur le résultat final.

Une jeune femme de 18 ans veut constituer un fonds de $150000 €$ dans 20 ans, à ses 38 ans, pour l'apport d'un logement et pour monter sa propre entreprise. Si l'établissement financier lui garantit un intérêt moyen de $3,5 \%$ par an, capitalisé annuellement :

Quelle somme fixe devrait-elle verser au début de chaque année pour atteindre son objectif ?

Une famille veut disposer d'un fonds d'épargne pour les études universitaires de son fils dans $4$ ans. Pour cela, elle décide d'effectuer quatre versements constants de $a$ euros au début de chacune des $4$ prochaines années dans un produit financier rémunéré à un taux garanti de $3{,}5\,\%$ par an, composé. À la fin de la quatrième année, le solde accumulé dans le fonds est exactement de $10\,843{,}60$ €.

1. a) Écrire l'équation qui modélise ce plan d'épargne en reliant le capital final à l'annuité $a$, en s'appuyant sur la somme des termes d'une suite géométrique de raison $r = 1 + i$.
2. b) À partir de l'équation posée, isoler et calculer la valeur du versement annuel $a$.
3. c) On considère la situation inverse : la famille verse exactement $2\,000$ € au début de chaque année pendant $3$ ans et souhaite accumuler un capital final de $6\,500$ €. Écrire l'équation polynomiale en fonction de la raison $r = 1+i$ qui permettrait de calculer le taux de rendement annuel $i$ nécessaire pour atteindre cet objectif.

Une jeune entrepreneuse décide d'ouvrir un compte d'épargne pour financer son projet de marque de vêtements durables dans 5 ans. Pour cela, elle s'engage à verser $150$ € au début de chaque mois. La banque lui propose un taux d'intérêt nominal annuel de $4,5\%$, avec capitalisation mensuelle des intérêts.

Calculer le capital total accumulé au bout des 5 ans. Pour cela, il faut d'abord obtenir le taux d'intérêt mensuel équivalent, puis appliquer la formule de la somme des termes d'une suite géométrique (annuité de capitalisation).

On laisse tomber une balle d'une hauteur initiale de $10$ mètres. À chaque rebond, la balle atteint une hauteur égale à $2/3$ de la hauteur du rebond précédent.

1. a) Quelle hauteur atteindra-t-elle après le sixième rebond ?
2. b) Calculer la distance totale parcourue par la balle (montées et descentes) jusqu'à ce que, théoriquement, elle s'arrête. Utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique décroissante infinie, en tenant compte du fait que, sauf la chute initiale, tous les trajets sont effectués deux fois (montée et descente).

Une coopérative agricole en Extrémadure installe une centrale photovoltaïque d'autoconsommation pour un montant total de $120\,000$ €. La dégradation des panneaux solaires réduit progressivement l'énergie produite : la première année, elle génère une économie nette de $15\,000$ € et, les années suivantes, l'économie réalisée chaque année diminue de $5\,\%$ par rapport à l'année immédiatement précédente. La coopérative verse intégralement cette économie sur un compte d'amortissement sans rendement financier supplémentaire afin de récupérer le coût du projet.

1. a) Modéliser les économies annuelles $A_n$ de l'année $n$ par une suite géométrique, en indiquant le premier terme $A_1$ et la raison $r$.
2. b) Écrire l'expression de la somme cumulée $S_n$ après $n$ années de fonctionnement. À partir de celle-ci, analyser en justifiant si la coopérative parviendra à amortir complètement l'installation ($120\,000$ €) dans le cas où la centrale fonctionnerait indéfiniment, en étudiant le comportement de la somme lorsque le nombre d'années $n$ croît indéfiniment ($n \to \infty$).
3. c) On suppose que l'entreprise installatrice propose une garantie de reconditionnement qui réduit la dégradation annuelle à $2\,\%$ (c'est-à-dire que chaque année rapporte $2\,\%$ de moins que la précédente au lieu de $5\,\%$), en maintenant l'économie initiale de $15\,000$ € la première année. Modéliser la nouvelle situation et déterminer, en isolant l'inconnue à l'aide des logarithmes dans l'équation de la somme géométrique, au bout de combien d'années la coopérative amortira l'investissement de $120\,000$ €.

Un jeune entrepreneur demande un prêt de $15000 €$ pour acquérir des machines. La banque lui accorde le prêt à un taux d'intérêt de $5,5 \%$ par an, qu'il doit rembourser en mensualités égales pendant 4 ans.

1. a) Calculer le montant de la mensualité qu'il devra payer.
2. b) À combien s'élèveront les intérêts totaux payés à la fin du prêt ?

Une famille souscrit un prêt immobilier de $180\,000$ € à rembourser en 20 ans par mensualités constantes (système français). La banque applique un taux d'intérêt de $3,25\%$ par an. Cependant, le contrat comprend une clause de « différé partiel » pendant les deux premières années, durant lesquelles la famille ne paiera que les intérêts générés, sans rembourser de capital.

1. a) Calculer la mensualité que la famille paiera pendant les deux premières années (période de différé).
2. b) Calculer la mensualité qu'elle devra payer à partir de la troisième année jusqu'à la fin du prêt. On tiendra compte du fait qu'à ce moment-là le capital restant dû est toujours le capital initial, mais que la durée restante a diminué.

Une mairie veut rénover l'éclairage de ses rues pour économiser de l'énergie. Le coût des travaux est de $1\,500\,000$ €. Pour le financer, elle emprunte à un taux d'intérêt annuel de $2,8\%$, qu'elle remboursera par 10 annuités égales.

Après avoir payé la cinquième annuité, la mairie reçoit une subvention européenne et décide de solder la dette restante en un seul versement. Calculer la somme que la mairie devra débourser à ce moment-là pour rembourser entièrement le prêt.

Les grands-parents de Manon veulent constituer un fonds pour financer ses études universitaires. Leur objectif est qu'elle puisse percevoir une rente mensuelle de $500$ € pendant $4$ ans pendant qu'elle étudie loin de chez elle. On suppose que la banque leur garantit un intérêt de $3\%$ par an, composé, pendant toute cette durée (période de perception de la rente) :

1. a) Quel capital devraient-ils avoir accumulé au moment où Manon commence l'université pour pouvoir payer cette rente ? (Indication : traiter ce problème comme le calcul du capital initial d'un prêt dont la mensualité est la rente qu'elle perçoit.)
2. b) S'il reste encore $10$ ans avant que Manon commence l'université et qu'ils n'ont actuellement aucune épargne, quelle somme mensuelle fixe devraient-ils verser sur un compte d'épargne offrant un intérêt de $4\%$ par an pour réunir le capital calculé à la question précédente ?

Sarah dépose $5\,000$ € sur un compte à terme d'un établissement bancaire français qui lui garantit un intérêt de $4\,\%$ par an, composé, sans autres versements ni retraits.

1. a) Estimer, avant tout calcul analytique avec les logarithmes, au bout de combien d'années environ elle aura accumulé au moins $7\,000$ € (une augmentation de $40\,\%$ du capital initial). Pour cela, faire un calcul mental approché en ne considérant que l'intérêt simple de la première année et expliquer si la durée réelle avec intérêts composés sera un peu plus longue ou plus courte que cette estimation.
2. b) Poser l'équation du capital final $C_n = C_0 \cdot (1+i)^n$ et l'isoler à l'aide des logarithmes pour calculer le nombre exact de périodes nécessaires pour atteindre ou dépasser $7\,000$ €.
3. c) Comparer le résultat analytique avec l'estimation initiale et justifier quel nombre entier d'années Sarah doit attendre pour pouvoir retirer au minimum cette somme.

Un étudiant achète un ordinateur portable dernier cri pour $1200\ €$. On estime que la valeur de l'appareil se déprécie de $15\,\%$ chaque année de façon cumulative.

1. a) Quelle sera la valeur de l'ordinateur après 3 ans d'utilisation ?

1. b) Combien d'années doivent s'écouler pour que la valeur de l'ordinateur soit inférieure au quart de son prix d'origine ? (Utiliser les logarithmes pour le calcul.)

Pour constituer un capital de $25\,000$ € destiné à l'apport d'un logement à Marseille, deux personnes comparent deux méthodes d'épargne dans un établissement offrant un rendement de $4\,\%$ par an, composé :

• Stratégie A (capital unique) : verser aujourd'hui une somme fixe de $16\,000$ € et la laisser produire des intérêts sans nouveaux versements.

• Stratégie B (annuités d'épargne) : commencer sans capital initial et verser une somme fixe de $2\,500$ € au début de chaque année.

1. a) Pour la stratégie A, poser l'équation $C_n = C_0 \cdot (1+i)^n$, décrire la méthode algébrique pour isoler directement $n$ à l'aide des logarithmes et calculer le nombre d'années entières nécessaires pour dépasser l'objectif.
2. b) Pour la stratégie B, écrire l'équation à partir de la somme d'une suite géométrique pour des versements en début de période : $\text{Capital final} = a \cdot (1+i) \cdot \dfrac{(1+i)^n - 1}{i}$. Expliquer en détail pourquoi on ne peut pas ici appliquer immédiatement les logarithmes, décrire quelles transformations algébriques préalables sont obligatoires pour isoler la puissance $(1+i)^n$ et calculer combien d'années entières sont nécessaires pour atteindre l'objectif.
3. c) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle des deux stratégies est la plus rapide et laquelle exige la plus faible dépense totale sortie de la poche de l'épargnant.