Espérance et écart type de la loi binomiale

Une étude récente sur les habitudes numériques indique que $85\%$ des adolescents français de 15 à 16 ans utilisent l'authentification à deux facteurs sur leurs comptes de jeux vidéo. Si l'on sélectionne un échantillon aléatoire de $20$ adolescents :

1. a) Identifier les paramètres $n$ et $p$ de la loi binomiale qui modélise cette situation.
2. b) Calculer le nombre attendu (moyenne) d'adolescents qui utilisent ce système de sécurité dans l'échantillon.

Une plateforme de streaming musical a constaté que la probabilité qu'un utilisateur « saute » un morceau recommandé par l'algorithme avant la fin est de $0,3$. Si, un après-midi, vous écoutez une liste de $12$ morceaux recommandés :

1. a) Déterminer l'espérance et la variance du nombre de morceaux que vous devriez sauter.
2. b) Calculer l'écart type et interpréter l'information qu'il apporte sur la dispersion des données dans ce contexte.

On considère une variable aléatoire discrète $X$ qui suit une loi binomiale $B(n, p)$. Sachant que le nombre d'expériences est $n = 100$ et que l'espérance de la loi est $\mu = 60$ :

1. a) Déterminer la valeur de la probabilité de succès $p$.
2. b) Calculer la variance de cette loi.

On lance $30$ fois un dé équilibré à six faces et on note le nombre de fois où le « 6 » apparaît.

1. a) Définir la variable aléatoire et sa loi.
2. b) Calculer l'espérance de la variable et son écart type. Arrondir les résultats à deux décimales.

Deux joueurs de basket, Alice et Bruno, s'entraînent aux lancers francs. Alice a une probabilité de réussite de $0,8$ et effectue $50$ lancers. Bruno a une probabilité de $0,6$ mais effectue $80$ lancers.

1. a) Lequel des deux joueurs a le plus grand nombre attendu de paniers ?

1. b) Lequel des deux joueurs présente la plus grande dispersion (écart type) dans ses résultats ? Interpréter ce que cela signifie en termes de régularité de jeu.

On a constaté que $40\%$ des élèves d'un centre de langues se présentent à l'examen officiel de niveau B2. Si cette année $100$ élèves sont inscrits :

1. a) Déterminer les paramètres de la variable $X$ qui représente le nombre d'élèves qui se présentent à l'examen.

1. b) Pour les lois binomiales, on considère que les valeurs les plus « typiques » ou probables se trouvent dans l'intervalle $]\mu - \sigma\ ;\ \mu + \sigma[$. Calculer cet intervalle dans ce cas précis.

Sur un réseau social bien connu, on a estimé que la probabilité qu'un utilisateur interagisse avec une publication de contenu culturel est $p = 0,18$. Si un « influenceur » lance une campagne qui touche un groupe de $n = 150$ abonnés :

1. a) Calculer le nombre attendu d'abonnés qui interagiront avec la publication et son écart type.

1. b) Si le coût de la campagne est de $50$ € fixes plus $2$ € par interaction prévue (d'après la moyenne), quel est le budget attendu pour cette action publicitaire ?

Une variable aléatoire discrète suit une loi binomiale $X \sim B(n, p)$. On sait que son espérance est $\mu = 12$ et que son écart type est $\sigma = 3$.

1. a) Déterminer les valeurs des paramètres $n$ (nombre d'épreuves) et $p$ (probabilité de succès).

1. b) Justifier si cette loi pourrait être approchée par une loi normale, à partir des valeurs obtenues.

Lors d'une enquête sur les habitudes de lecture réalisée auprès de $60$ adolescents, on sait que le nombre attendu de lecteurs habituels de presse numérique est $21$.

1. a) Déterminer la probabilité $p$ qu'un adolescent choisi au hasard soit lecteur habituel de presse numérique.

1. b) Calculer l'écart type de cette loi.

1. c) Si l'on sélectionne un autre échantillon dont le nombre d'adolescents est doublé ($n=120$), comment varie l'écart type par rapport à l'échantillon initial ? Justifier la réponse par le calcul.

Une entreprise de logistique utilise des drones pour la livraison de colis dans des villes intelligentes. On sait que la variable $X$ qui représente le nombre de livraisons échouées dans un lot de $n$ envois suit une loi binomiale. Après une étude interne, on a constaté que la moyenne des échecs est $4$ et que la variance est $3,2$.

1. a) Calculer les paramètres $n$ et $p$ de la loi.
2. b) Si l'on effectue un envoi individuel, quelle est la probabilité que la livraison réussisse ?
3. c) Quelle est la probabilité que, dans un lot de $n$ envois, aucun n'échoue ?

Un analyste en cybersécurité étudie des attaques d'hameçonnage. La probabilité qu'un employé clique sur un lien malveillant est $0,005$. L'analyste souhaite envoyer une campagne de test à un groupe d'employés de taille $n$.

Déterminer le nombre minimal d'employés auxquels il faut envoyer le courriel pour que la probabilité qu'au moins un d'entre eux clique sur le lien soit supérieure à $90\%$.

Dans une étude sur l'usage des transports durables, on a observé que le nombre d'élèves qui viennent au lycée en trottinette électrique, par groupes de $50$ personnes, suit une loi binomiale $B(50,\,p)$, où $p$ est la probabilité qu'un élève utilise une trottinette électrique. L'écart type de ce nombre d'utilisateurs est $\sigma = 3$.

La figure montre comment varie l'écart type $\sigma=\sqrt{50\,p\,(1-p)}$ en fonction de $p$ et la droite $\sigma = 3$.

1. a) Trouver les deux valeurs possibles de la probabilité $p$ qu'un élève utilise une trottinette électrique.

1. b) Sachant que la trottinette est un moyen de transport minoritaire ($p < 0,5$), calculer le nombre moyen d'utilisateurs dans un échantillon de $100$ élèves.

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $B(n, p)$. On sait que son espérance est $\mu = 30$.

1. a) Quelle est la valeur minimale que peut prendre son écart type ? Justifier la réponse en raisonnant sur les valeurs possibles de $p$.
2. b) Si l'écart type est $\sigma = 5$, calculer la probabilité d'obtenir au moins un succès dans un échantillon de seulement $3$ individus de cette même population.