Lina et Hugo gèrent chacun une chaîne vidéo. Après $n$ semaines, Lina compte $n^2$ abonnés et Hugo $3n^2$. Les deux nombres tendent vers $+\infty$ : le rapport des deux va-t-il valoir $1$, $0$, $+\infty$ ou autre chose ? Quand on combine des suites, certaines limites se lisent directement, d'autres se cachent derrière une « forme indéterminée » qu'il faut savoir lever.
Opérations sur les limites
Tu sais déjà déterminer la limite d'une suite seule. On combine maintenant deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$. Les résultats suivants sont admis : on les utilise sans les démontrer. Ici $\ell$ et $\ell'$ sont des réels.
Pourquoi ces règles sont-elles naturelles ? Si $u_n$ se rapproche de $\ell$ et $v_n$ de $\ell'$, alors $u_n+v_n$ se rapproche de $\ell+\ell'$ : on opère sur les limites comme sur les nombres.
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Soit les suites $a_n = \frac{2n}{n+1}$ et $b_n = 3n^2$. Calculer les limites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ et $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$.
Soit les suites $a_n = \frac{2n}{n+1}$ et $b_n = 3n^2$. Calculer les limites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ et $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$.
Dans certains cas, les règles précédentes ne permettent pas de conclure. On parle de forme indéterminée.
Tu as déjà un exemple : avec $u_n=3n$ et $v_n=n$, $\dfrac{u_n}{v_n}\to3$ ; avec $u_n=n$ et $v_n=n^2$, on trouve $0$. Les deux sont de la forme $\dfrac{\infty}{\infty}$, avec des résultats différents.
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Lors d'un contrôle de mathématiques, Marc doit calculer la limite $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3}{n} - 2n \right)$. Il écrit sur sa copie : « Comme…
Lors d'un contrôle de mathématiques, Marc doit calculer la limite $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3}{n} - 2n \right)$. Il écrit sur sa copie : « Comme $\lim \frac{2n^2+3}{n} = \infty$ et $\lim 2n = \infty$, alors le résultat est $\infty - \infty = 0$ ».
a) Expliquer en justifiant pourquoi le raisonnement de Marc est mathématiquement incorrect et ce que signifie réellement le fait que $\infty - \infty$ soit une forme indéterminée.
b) Calculer la limite de façon rigoureuse en transformant l'expression à l'aide d'un dénominateur commun.
Lever $\dfrac{\infty}{\infty}$ : factoriser le terme prépondérant
Pour un quotient de polynômes en $n$, on factorise, au numérateur et au dénominateur, le terme prépondérant : celui de plus haut degré. Ensuite on simplifie et on utilise $\dfrac1{n^k}\to0$ pour $k\geq1$.
Parfois, il faut d'abord développer ou réduire au même dénominateur avant de factoriser.
On peut aussi écrire un quotient sous la forme « polynôme + fraction » (division euclidienne) : la fraction restante tend vers $0$, ce qui donne le comportement de la suite pour $n$ grand.
Avec des suites géométriques, on factorise la puissance de plus grande base. On utilise que $q^n\to0$ si $-11$.
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Déterminer la valeur de la limite de la suite $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.
Déterminer la valeur de la limite de la suite $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.
Un analyste financier étudie la performance d'un fonds d'investissement dont le taux de rendement au mois $n$ suit la suite…
Un analyste financier étudie la performance d'un fonds d'investissement dont le taux de rendement au mois $n$ suit la suite $R_n = \frac{(2n+1)^3 - 8n^3}{3n^2 + 5n - 1}$. Déterminer le rendement limite en levant la forme indéterminée correspondante.
L'inflation cumulée dans un modèle macroéconomique théorique est donnée par la suite $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Déterminer la limite de l'inflation…
L'inflation cumulée dans un modèle macroéconomique théorique est donnée par la suite $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Déterminer la limite de l'inflation lorsque $n \to \infty$.
Calculer la limite suivante comportant des radicaux en multipliant et en divisant par l'expression conjuguée : $\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$
Calculer la limite suivante comportant des radicaux en multipliant et en divisant par l'expression conjuguée :
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$
Pour aller plus loin : les puissances de la forme $\left(1+h_n\right)^{v_n}$
Quand la base tend vers $1$ et l'exposant vers $+\infty$, on ne peut pas dire que la limite vaut $1$ : la base n'est jamais exactement $1$, et un très grand exposant amplifie l'écart. Voici une méthode qui utilise la fonction $\ln$.
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Calculer la limite de la suite de type exponentiel $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.
Calculer la limite de la suite de type exponentiel $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.
Lors d'un processus de cristallisation, la concentration d'un réactif suit la suite $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Sachant que la concentration limite…
Lors d'un processus de cristallisation, la concentration d'un réactif suit la suite $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Sachant que la concentration limite à long terme est $e^6$, quelle doit être la valeur du paramètre $a$ ?
Retour au début : $\dfrac{n^2}{3n^2}=\dfrac13$ pour tout $n\geq1$, donc le rapport entre les abonnés de Lina et de Hugo tend vers $\dfrac13$. On le retrouve en factorisant $n^2$ : la forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ n'a pas de valeur « automatique ».
L'essentiel
À s'entraîner ! 10 exercices de niveau moyen dans cette section