Paramètres d'une loi normale

Une mairie a analysé le temps que mettent les bus de la ligne circulaire pour effectuer leur trajet. Elle a constaté que ce temps suit une loi normale de moyenne $25$ minutes et d'écart type $4$ minutes. Identifier les paramètres de cette loi et l'écrire avec la notation abrégée $X \sim N(\mu, \sigma)$.

Observer le graphique suivant, qui représente la distribution des masses des chatons nouveau-nés dans un refuge pour animaux. Sachant que la distribution est symétrique, indiquer graphiquement la valeur de la moyenne de la population $\mu$.

Deux marques d'ampoules, « LuzEterna » et « BrilloMax », ont une durée de vie moyenne de $1200$ heures. Cependant, l'écart type de « LuzEterna » est de $50$ heures, tandis que celui de « BrilloMax » est de $150$ heures.

• Laquelle des deux marques propose un produit plus « homogène » ou régulier dans sa durée de vie ?

• Si vous deviez tracer les deux courbes en cloche sur le même repère, laquelle serait la plus haute et la plus étroite ?

Imaginez que vous comparez la précision de deux machines qui découpent des tasseaux de bois. La machine 1 coupe selon une loi $N(100\,;\,0{,}1)$ et la machine 2 selon une loi $N(100\,;\,0{,}5)$ (en centimètres).

• Laquelle des deux machines est la plus précise ?

• Relier la notion de « précision » à la valeur de l'écart type $\sigma$ dans une loi normale.

On présente ci-dessous deux graphiques représentant la distribution de la durée de vie de deux types d'ampoules LED de marques différentes, A et B. Les deux suivent une loi normale.

1. a) En observant la forme des courbes, laquelle des deux marques a le plus grand écart type ? Justifier en reliant la dispersion à la forme de la courbe en cloche.
2. b) Si la marque A suit une loi $N(25000, 2000)$ et la marque B une loi $N(28000, 3500)$, calculer la probabilité qu'une ampoule de la marque A dure plus longtemps que la durée moyenne de la marque B.

La loi normale centrée réduite est un cas particulier très utilisé en statistiques pour pouvoir utiliser les tables d'aires. Indiquer les valeurs fixes de sa moyenne ($\mu$) et de son écart type ($\sigma$). La représenter symboliquement.

Dans un jeu vidéo de stratégie populaire, les points d'expérience obtenus par les joueurs lors d'une mission précise suivent une loi normale de moyenne $\mu = 4500$ points et d'écart type $\sigma = 800$ points. Si les développeurs veulent attribuer une médaille spéciale seulement aux $15\%$ des joueurs qui obtiennent les scores les plus élevés, à partir de combien de points cette médaille commencera-t-elle à être attribuée ?

Une étude a été réalisée sur le temps que les jeunes de $16$ à $18$ ans passent chaque jour sur un célèbre réseau social de vidéos courtes. On sait que ce temps suit une loi normale de moyenne $\mu = 110$ minutes. Sachant que $33\%$ des utilisateurs passent plus de $125$ minutes par jour sur la plateforme, calculer la valeur de l'écart type $\sigma$ de cette loi.

La masse des cartables des élèves d'un lycée suit une loi normale de moyenne $\mu = 6,2$ kg et d'écart type $\sigma = 1,4$ kg. Déterminer l'intervalle de fluctuation centré sur la moyenne qui contient $90\%$ des masses des cartables des élèves. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte du problème.

Lors d'un championnat d'e-sport, le score obtenu par les joueurs lors d'une phase de qualification suit une loi normale $N(\mu, \sigma)$. Le comité d'organisation a établi que l'intervalle de fluctuation centré sur la moyenne pour $95,44\%$ des joueurs est $[1250 ; 1750]$ points.

1. Calculer la moyenne et la variance du score des joueurs.

2. Si, pour accéder à la finale, il faut figurer parmi le « top » $5\%$ des meilleurs joueurs, quel est le score minimal nécessaire ?

Une entreprise de livraison durable utilise des trottinettes électriques pour ses tournées. L'autonomie des batteries de ces trottinettes suit une loi normale de moyenne $60$ km. On sait que la probabilité qu'une trottinette ait une autonomie supérieure à $75$ km est égale à $0,0668$. À la suite d'une mise à jour logicielle, l'autonomie de toutes les trottinettes augmente de $10\%$ plus un supplément fixe de $2$ km. Déterminer l'écart type initial des batteries et les nouveaux paramètres (moyenne et écart type) après la mise à jour logicielle.

Un fabricant de composants pour télescopes spatiaux produit des lentilles dont le diamètre suit une loi normale. D'après le contrôle qualité, la moyenne est de $120$ mm. Pour qu'une lentille soit acceptée, son diamètre doit appartenir à l'intervalle $[118 ; 122]$ mm. Si le fabricant souhaite que $99,73\%$ de sa production soit acceptable afin d'éviter des pertes économiques, quelle doit être la valeur maximale de l'écart type du procédé de fabrication ?