Propriétés de l'intégrale

Dans l'étude de l'impact environnemental d'une usine, on a obtenu une fonction $f(x)$ qui mesure l'émission de gaz. On sait que l'intégrale définie sur un intervalle coïncide avec l'aire si la fonction est positive.

On suppose que $f(x)$ est continue et ne change pas de signe sur l'intervalle $[2, 6]$. Sachant que $\int_{2}^{6} f(x) \, dx = -15$, que peut-on affirmer sur la position de la courbe de la fonction $f(x)$ par rapport à l'axe $OX$ sur cet intervalle ? Justifier la réponse en s'appuyant sur les propriétés du signe de l'intégrale.

Un groupe d'élèves conçoit un logo pour son bal de fin d'année. La partie supérieure du logo suit la courbe d'une fonction $f(x)$. On sait que :

• $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$

• $\int_{5}^{8} f(x) \, dx = 7$

Calculer, en appliquant la relation de Chasles, la valeur de l'aire totale sous la courbe de $x=1$ à $x=8$.

Pour estimer le bénéfice marginal cumulé d'une entreprise de transport entre plusieurs sites, Marc doit calculer la valeur de $\int_{-2}^{3} f(x)\,dx$. Dans le relevé de données, il ne dispose que de deux intégrales déjà calculées de la fonction continue $f$ : $\int_{-2}^{1} f(x)\,dx = 5$ et $\int_{3}^{1} f(x)\,dx = 4$. Marc affirme dans son rapport : « Comme les valeurs $-2$, $1$ et $3$ interviennent, il suffit d'additionner directement les deux valeurs : $\int_{-2}^{3} f(x)\,dx = 5 + 4 = 9$ ».

1. a) Repérer et expliquer précisément l'erreur de raisonnement commise par Marc dans l'application des propriétés de l'intégrale définie.
2. b) Énoncer la propriété d'inversion des bornes (changement de bornes) et celle d'additivité par rapport à l'intervalle d'intégration (relation de Chasles) que Marc aurait dû considérer.
3. c) Corriger le raisonnement et calculer la vraie valeur de $\int_{-2}^{3} f(x)\,dx$.

Le débit d'eau dans un réservoir d'une ferme biologique varie au cours de la matinée selon une fonction continue $f(t)$. Les capteurs de mesure ont enregistré les données suivantes de débit cumulé (en m³) :

1. $\int_{2}^{8} f(t) dt = 24$

2. $\int_{5}^{8} f(t) dt = 9$

Calculer, en utilisant les propriétés des bornes d'intégration, la valeur de :

On considère la fonction $f(x)$ dont la courbe est continue sur tout l'intervalle $[0, 10]$. Sachant que la valeur de l'intégrale définie sur tout l'intervalle est $\int_{0}^{10} f(x) dx = 25$, calculer la valeur du paramètre $k$ pour que l'égalité suivante, fondée sur les propriétés de linéarité, soit vérifiée :

Une étude de marché pour une nouvelle application mobile estime que le rythme du bénéfice net mensuel (en milliers d'euros) est donné par une fonction continue $B(t)$. Après analyse des données de la première année, on observe que :

• Le bénéfice cumulé du premier semestre est $\int_{0}^{6} B(t) dt = 40$.

• Le bénéfice cumulé du second semestre est $\int_{6}^{12} B(t) dt = 55$.

Si le PDG de l'entreprise décide d'appliquer un impôt de 10 % sur le rythme du bénéfice (ce qui équivaut à multiplier la fonction par $0,9$) et qu'il y a en plus des frais d'entretien constants de $1$ millier d'euros par mois, poser et calculer l'intégrale qui représente le bénéfice final réel de l'entreprise à la fin de l'année :

Dans une étude sur la consommation électrique d'un territoire agricole lors d'une vague de chaleur, les techniciens du distributeur modélisent la demande instantanée supplémentaire par la fonction continue $f(x) = \frac{12}{x+3}$ (en mégawatts, MW), où $x \in [0, 9]$ représente les jours écoulés depuis le début de l'épisode.

1. a) Estimer : Sans calculer de primitives, justifier que la fonction $f(x)$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0, 9]$, déterminer son minorant $m$ et son majorant $M$, puis appliquer l'inégalité de la moyenne des intégrales définies ($m(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a)$) pour encadrer entre deux valeurs numériques la consommation cumulée totale $I = \int_{0}^{9} f(x)\,dx$.
2. b) Vérifier : Déterminer une primitive de $f(x)$ et calculer la valeur exacte de $I$ en appliquant la formule de Barrow (exprimer le résultat en fonction de $\ln(2)$, sachant que $\ln(4) = 2\ln(2)$). En prenant l'approximation $\ln(2) \approx 0,693$, donner la consommation approchée à deux décimales et vérifier si le résultat est cohérent avec l'encadrement estimé à la question précédente.

Démontrer, en utilisant les propriétés de comparaison et de monotonie de l'intégrale définie, que la valeur de l'intégrale $I = \int_0^1 e^{x^2} \, dx$ est comprise entre $1$ et $e$.

Autrement dit, justifier sans calculer de primitive (qui n'est pas élémentaire) pourquoi on a :

Comment ces bornes changeraient-elles si l'intervalle d'intégration était $[0\,;\,0{,}5]$ ? Justifier la réponse.

Justifier, sans aucun calcul de primitive, pourquoi la valeur de l'intégrale définie suivante est exactement zéro. Pour cela, observer la symétrie de la fonction par rapport à l'origine (fonction impaire) et les bornes d'intégration :

On demande de calculer la valeur de l'intégrale définie $I = \int_{-3}^{3} (8x^5 - 6x^3 + 5)\,dx$. Deux camarades de classe proposent des chemins différents :

• Méthode d'Alba : Obtenir une primitive $F(x) = \frac{4}{3}x^6 - \frac{3}{2}x^4 + 5x$, remplacer par les bornes $x = 3$ et $x = -3$, puis calculer la différence $F(3) - F(-3)$ à l'aide de la formule de Barrow.

• Méthode de Bruno : Utiliser la propriété de linéarité pour décomposer l'intégrale en une somme et appliquer les propriétés de symétrie des fonctions paires et impaires sur des intervalles symétriques de la forme $[-a, a]$.

1. a) Développer la démarche que suivrait Bruno, en identifiant quels termes correspondent à des fonctions impaires et quel est le résultat de leur intégration sur $[-3, 3]$ sans avoir à évaluer de puissances.
2. b) Comparer la charge de calcul et le risque de commettre des erreurs arithmétiques dans les deux méthodes. Quelle est la valeur exacte finale de l'intégrale $I$ ?

Dans la conception d'un nouveau logo pour une marque de vêtements de skate, on utilise une fonction paire $f(x)$ pour dessiner la partie supérieure d'une symétrie. On sait que l'aire délimitée par cette fonction et l'axe $OX$ entre le centre ($x=0$) et l'extrémité droite ($x=4$) est de 12 unités d'aire.

Sachant que $f(x)$ est une fonction paire ($f(x) = f(-x)$), calculer la valeur de l'intégrale définie suivante en s'appuyant sur ses propriétés :

Remarque : Se rappeler le comportement des fonctions impaires sur des intervalles symétriques.

Calculer la valeur de l'intégrale définie sur l'intervalle $[-2\,;\,2]$ de la fonction $f(x) = |x^2 - 1| + x \cdot e^{x^2}$. Pour cela, utiliser la propriété d'additivité par rapport à l'intervalle pour gérer la valeur absolue et la propriété des fonctions impaires pour simplifier le calcul de la seconde partie de la somme. Justifier chaque étape en détail à l'aide des propriétés de l'intégrale.

Une centrale photovoltaïque avec stockage par batteries en Estrémadure injecte ou absorbe de la puissance du réseau électrique selon l'heure de la journée. La puissance nette échangée sur une période de 8 heures est modélisée par la fonction continue $p(t) = 6 - 1,5t$ (en MW), où $t \in [0, 8]$ mesure les heures écoulées depuis 10 h 00 ($t=0$). Lorsque $p(t) > 0$, la centrale injecte de l'énergie dans le réseau ; lorsque $p(t) < 0$, elle absorbe de l'énergie du réseau. L'énergie nette totale cumulée transférée depuis l'instant initial est définie par $E(x) = \int_{0}^{x} p(t)\,dt$ (en MWh).

1. a) Appliquer le théorème fondamental de l'analyse pour déterminer la dérivée $E'(x)$. Sans calculer l'intégrale au préalable, déterminer à quelle heure exacte ($x$) l'énergie nette maximale injectée dans le réseau est atteinte, en justifiant la réponse par le signe de $p(t)$.
2. b) Décomposer l'intégrale totale $\int_{0}^{8} p(t)\,dt$ en deux intervalles contigus selon le signe de $p(t)$ et calculer la valeur de chacune des deux intégrales partielles. Interpréter pourquoi le résultat global en $[0, 8]$ ne représente pas l'énergie brute totale mobilisée, mais un bilan net, en recourant à la notion d'intégrale comme « aire algébrique ».

Soit la fonction $F(x)$ définie par une intégrale de la façon suivante :

Sans calculer l'intégrale, utiliser le théorème fondamental de l'analyse et la dérivée d'une fonction composée pour déterminer :

1. a) L'expression de la dérivée $F'(x)$.
2. b) La valeur de $F'(1)$ et expliquer sa signification concrète si $F(x)$ représentait le bénéfice cumulé d'un investissement après $x$ années.

Étant donnée la courbe représentative de la fonction continue $f(x)$ ci-dessous, définir la fonction intégrale $G(x) = \int_{-2}^{x} f(t) \, dt$ sur l'intervalle $[-2 ; 4]$.

En vous appuyant sur les propriétés de la fonction intégrale et sur la lecture de la courbe :

1. a) Indiquer les intervalles où $G(x)$ est croissante et décroissante.
2. b) Déterminer pour quelle valeur de $x$ la fonction $G(x)$ atteint son maximum sur l'intervalle $[-2 ; 4]$.
3. c) Quelle est la valeur de la dérivée $G'(0)$ ?

Une entreprise de livraison urgente analyse l'écart de ses coûts opérationnels de livraison par rapport à l'horaire optimal de midi à l'aide d'une fonction de coût marginal $f(x) = a x^2 + b x + c$, où $x \in [-2, 2]$ représente les heures d'avance ou de retard par rapport à 14 h 00 ($x=0$). D'après les registres comptables, on connaît trois données :

1. La fonction est paire sur l'intervalle $[-2, 2]$, c'est-à-dire que le coût lié à l'écart horaire dépend uniquement de l'amplitude de l'écart temporel, et non de son signe ($f(-x) = f(x)$).

2. À l'instant optimal ($x=0$), le coût marginal est de $2$ euros/heure ($f(0) = 2$).

3. Le coût total cumulé sur les 4 heures de la plage, calculé par $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$, est exactement de $24$ euros.

1. a) Déduire en justifiant la valeur du coefficient $b$ à partir de la condition de parité et exprimer $\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$ comme un multiple de l'intégrale sur l'intervalle $[0, 2]$.
2. b) Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $c$, puis écrire l'expression définitive de la fonction $f(x)$.
3. c) On définit la fonction de cumul des coûts $G(x) = \int_{0}^{x} f(t)\,dt$ pour $x \in [-2, 2]$. Sans calculer l'expression explicite de $G(x)$, appliquer le théorème fondamental de l'analyse pour justifier si $G(x)$ est croissante ou décroissante sur tout l'intervalle et analyser si sa courbe présente un point d'inflexion.