Arbres pondérés

Sur une étagère d'une chambre d'adolescent, il y a deux boîtes de baskets. La boîte A contient $3$ paires de baskets blanches et $2$ paires de baskets noires. La boîte B contient $2$ paires de blanches et $4$ paires de noires. Un élève choisit une boîte au hasard (avec la même probabilité) et, sans regarder, en sort une paire de baskets.

1. a) Dessiner l'arbre pondéré représentant cette situation, en indiquant les probabilités sur chaque branche.

1. b) Calculer la probabilité que les baskets choisies soient de couleur blanche.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lors d'un tournoi d'e-sport, un joueur doit franchir deux phases. Lors de la phase 1, la probabilité de réussite est de $0,8$. S'il réussit la première, il passe à la phase 2, où la probabilité de réussite est de $0,6$. S'il ne réussit pas la première phase, il est directement éliminé.

1. a) Élaborer l'arbre pondéré correspondant.

1. b) Calculer la probabilité que le joueur réussisse les deux phases du tournoi.

Sur une plateforme de streaming musical, $40 \%$ des utilisateurs ont un compte « Premium » et $60 \%$ un compte « Gratuit ». On sait que $80 \%$ des utilisateurs Premium écoutent de la musique tous les jours, alors que seulement $30 \%$ des utilisateurs avec un compte gratuit le font. On choisit un utilisateur au hasard :

1. a) Calculer la probabilité qu'il écoute de la musique tous les jours.

1. b) Sachant que l'utilisateur choisi est Premium, quelle est la probabilité qu'il n'écoute pas de musique tous les jours ?

Un streamer de jeux vidéo populaire diffuse du contenu sur trois plateformes différentes : Twitch, YouTube et TikTok Live. D'après ses statistiques, $45\,\%$ de ses abonnés regardent ses directs sur Twitch, $35\,\%$ sur YouTube et les $20\,\%$ restants sur TikTok. On sait que le pourcentage d'abonnés qui interagissent dans le chat est de $12\,\%$ sur Twitch, de $8\,\%$ sur YouTube et de $25\,\%$ sur TikTok.

On choisit au hasard un abonné de ce streamer :

1. a) Représenter la situation par un arbre pondéré.

1. b) Calculer la probabilité que l'abonné choisi interagisse dans le chat.

1. c) Sachant que l'abonné choisi n'interagit pas dans le chat, quelle est la probabilité que ce soit un abonné de YouTube ?

Lors d'un tournoi d'e-sport, un joueur doit choisir entre deux personnages : « Guerrier » ou « Mage ». La probabilité de choisir le Guerrier est de $60\,\%$. S'il choisit le Guerrier, sa probabilité de gagner la partie est de $0,7$. S'il choisit le Mage, sa probabilité de victoire passe à $0,85$.

1. a) Construire l'arbre pondéré associé à l'expérience, en indiquant sur chaque branche sa probabilité.

1. b) Calculer la probabilité que le joueur gagne la partie.

1. c) Si le joueur a perdu la partie, quelle est la probabilité qu'il ait choisi le Guerrier ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules bleues. On tire deux boules successivement sans remise (sans remettre la première boule dans l'urne).

1. a) Représenter le processus par un arbre pondéré en indiquant les probabilités sur chaque branche. Tenir compte du fait que la composition de l'urne change après le premier tirage.

1. b) Quelle est la probabilité que les deux boules tirées soient de la même couleur ?

Dans une urne numérique d'un jeu de hasard, il y a 10 boules : 6 bleues et 4 blanches. L'expérience consiste à tirer deux boules successivement et sans remise.

1. a) Dessiner l'arbre pondéré en précisant les probabilités sur chaque branche.

1. b) Calculer la probabilité que les deux boules soient de la même couleur.

1. c) Calculer la probabilité que la première boule soit bleue sachant que la deuxième est blanche.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un élève de terminale a préparé 18 des 25 thèmes d'un examen d'histoire. L'examen consiste à choisir un thème parmi deux thèmes tirés au hasard par le professeur.

1. a) Quelle est la probabilité que l'élève connaisse les deux thèmes tirés ?

1. b) Quelle est la probabilité que l'élève réussisse l'examen (c'est-à-dire qu'il connaisse au moins l'un des deux thèmes) ?

1. c) Si l'élève a réussi l'examen, quelle est la probabilité qu'il n'ait connu qu'un seul des deux thèmes tirés ?

Une boutique de vêtements en ligne expédie ses commandes par l'intermédiaire de deux entreprises de logistique, A et B. $70\,\%$ des commandes sont expédiées par l'entreprise A et le reste par l'entreprise B. On a observé que $5\,\%$ des commandes de l'entreprise A arrivent en retard, tandis que pour l'entreprise B le retard concerne $10\,\%$ des colis.

1. a) Calculer la probabilité qu'une commande arrive à temps.

1. b) Si un client reçoit sa commande en retard, quelle est la probabilité qu'elle ait été transportée par l'entreprise A ?

Une entreprise de messagerie utilise trois itinéraires pour livrer des colis dans une ville difficile. L'itinéraire A (utilisé 40 % du temps) a une probabilité de retard de 15 %. L'itinéraire B (utilisé 35 % du temps) a un retard de 10 %. L'itinéraire C est utilisé le reste du temps et a un retard de 20 %. Si un colis arrive en retard, un protocole d'audit lui est appliqué. Ce protocole échoue et ne détecte pas la cause réelle du retard dans 5 % des cas de l'itinéraire A, 8 % de l'itinéraire B et 12 % de l'itinéraire C.

1. a) Représenter à l'aide d'un arbre pondéré la probabilité qu'un colis choisi au hasard subisse un retard et que son audit soit en échec.
2. b) Calculer la probabilité qu'un colis choisi au hasard ait un audit en échec à cause d'un retard.
3. c) Sachant que l'audit a été en échec, quelle est la probabilité que le colis n'ait pas emprunté l'itinéraire A ?

Une entreprise technologique fabrique des processeurs dans trois usines : P1 (50 % de la production), P2 (30 %) et P3 (20 %). Le pourcentage de processeurs dépassant la vitesse de 4GHz est de 80 % pour P1, 70 % pour P2 et 60 % pour P3. Les processeurs qui ne dépassent pas cette vitesse subissent un processus d'optimisation qui permet à 40 % d'entre eux de la dépasser finalement.

1. a) À l'aide d'un arbre pondéré, calculer la probabilité qu'un processeur choisi au hasard dans la production totale dépasse finalement 4GHz.
2. b) Si un processeur ne dépasse pas 4GHz à l'issue de tout le processus, quelle est la probabilité qu'il provienne de l'usine P1 ou de l'usine P2 ?

Lucie résout un problème sur les épreuves pratiques du permis de conduire dans une auto-école. $60\,\%$ des candidats réussissent à la première session. Parmi ceux qui échouent la première fois, $70\,\%$ réussissent à la deuxième session. Lucie veut calculer la probabilité qu'une personne choisie au hasard obtienne son permis à l'une des deux premières sessions.

Dans son cahier, elle écrit ceci :

« Je construis l'arbre : au premier niveau, j'ai les branches Réussir ($0,6$) et Échouer ($0,4$). De la branche Échouer, je fais partir deux nouvelles branches : Réussir à la 2e ($0,7$) et Échouer à la 2e ($0,3$). Donc la probabilité de réussir à l'une des deux sessions est la somme de réussir à la première ou à la deuxième : $0,6 + 0,7 = 1,3$. Comme je trouve plus de $1$, l'énoncé doit être mal rédigé, car une probabilité ne peut pas être supérieure à $1$ ».

1. a) Repérer l'erreur conceptuelle commise par Lucie lorsqu'elle opère sur les branches de l'arbre et expliquer pourquoi son raisonnement consistant à additionner directement $0,6$ et $0,7$ est incorrect.
2. b) Dessiner l'arbre pondéré correct en détaillant les événements à chaque niveau et les probabilités (marginales et conditionnelles) de chaque branche.
3. c) Corriger le calcul et déterminer la probabilité réelle qu'un candidat obtienne son permis à l'une des deux premières sessions.

Un laboratoire de contrôle qualité pharmaceutique doit valider un petit lot de $15$ unités d'un réactif biologique. On sait avec certitude que le lot contient exactement $3$ unités défectueuses et $12$ unités en bon état. En raison du coût de la procédure, on applique une inspection séquentielle destructive (les unités analysées sont inutilisables et sont donc tirées sans remise), suivant le protocole ci-dessous :

• On tire une première unité au hasard : si elle est défectueuse, le lot est refusé et le processus s'arrête immédiatement.

• Si la première unité est en bon état, on tire une deuxième unité. Si cette deuxième unité est défectueuse, on tire obligatoirement une troisième unité pour les départager ; en revanche, si la deuxième est en bon état, le lot est déclaré conforme et le processus s'arrête aussitôt.

• Si l'on a dû aller jusqu'au troisième tirage, le lot est déclaré conforme si cette troisième unité est en bon état, et il est définitivement refusé si elle est défectueuse.

1. a) Modéliser l'ensemble du protocole par un arbre pondéré. Tenir compte du fait que les branches n'ont pas la même longueur (arbre tronqué selon le résultat) et que la composition du lot varie après chaque tirage. Exprimer les probabilités de chaque branche sous forme de fractions irréductibles.
2. b) Justifier pourquoi, dans cette expérience, ce serait une grave erreur de calculer les probabilités des branches en supposant l'indépendance entre les étapes successives.
3. c) Calculer la probabilité que le lot soit finalement déclaré conforme.
4. d) Imaginer que le test ne soit pas destructif et que les tirages se fassent avec remise (chaque unité étant remise après examen). Sans calculer toutes les décimales, déterminer en justifiant si la probabilité de déclarer le lot conforme en exactement deux tirages serait supérieure, inférieure ou égale à celle du cas sans remise.