Distributions à deux variables

Classer les couples de variables statistiques à deux dimensions suivants selon le type de corrélation linéaire (positive, négative ou nulle) que l'on peut attendre entre elles :

• Le poids d'un véhicule et sa consommation de carburant aux 100 km.

• Le nombre d'heures d'ensoleillement direct et la quantité d'énergie produite par un panneau solaire.

• La pointure d'un adulte et son salaire mensuel.

• La durée d'utilisation continue d'un ordinateur portable et le pourcentage de batterie restant.

Dans une usine de composants électroniques, on a relevé le nombre de défauts trouvés dans un lot ($X$) et l'équipe de production ($Y$, où 1 est le matin, 2 l'après-midi et 3 la nuit) pendant 50 jours. Le tableau des effectifs conjoints est le suivant :

Calculer la distribution marginale de la variable $X$ (nombre de défauts) et déterminer sa moyenne.

Dans une usine de composants électroniques, on a relevé le nombre de défauts trouvés dans un lot ($X$) et l'équipe de production ($Y$, où 1 est le matin, 2 l'après-midi et 3 la nuit) pendant 50 jours. Le tableau des effectifs conjoints est le suivant :

Obtenir la distribution de la variable $X$ conditionnellement au fait que la production a été réalisée exclusivement par l'équipe de nuit ($Y=3$).

Lors d'un essai clinique, 100 patients ont été classés selon leur tranche d'âge ($X$, en années) et leur taux de cholestérol dans le sang ($Y$, en mg/dL), regroupés en classes.

Calculer la moyenne et l'écart type du taux de cholestérol uniquement pour les patients de la tranche d'âge $[40 ; 50[$. Utiliser les centres des classes pour les calculs.

Dans une étude sur les performances de 12 serveurs, on a relevé la quantité de mémoire RAM allouée en Go ($X$) et le nombre de requêtes traitées par seconde ($Y$). On sait que $\sum_{i=1}^{12} x_i y_i = 4500$, que la moyenne de la RAM est $\bar{x} = 16$ Go et que la moyenne des requêtes est $\bar{y} = 22$. Calculer la covariance $\sigma_{xy}$.

Dans une coopérative agricole, on a relevé la quantité d'engrais appliquée en kg/ha ($X$) et le rendement de la récolte en tonnes/ha ($Y$) sur 5 parcelles expérimentales :

• $X$ : 10, 20, 30, 40, 50

• $Y$ : 2,5 ; 3,8 ; 4,2 ; 5,5 ; 6,0

Calculer les moyennes marginales, les variances marginales et la covariance de cette série statistique à deux variables.

Dans une usine de conditionnement d'huile d'olive vierge extra à Nyons, on étudie la relation entre le temps de remplissage ($X$, en secondes) et le volume net introduit ($Y$, en centilitres) pour $N = 4$ bouteilles sélectionnées lors du contrôle qualité. À la suite d'une panne informatique, deux coordonnées ont été perdues et l'on ne dispose que des couples $(2; 98)$, $(3; y_2)$, $(x_3; 100)$ et $(7; 102)$. Cependant, le registre général conserve deux paramètres : le point moyen est $(\bar{x}, \bar{y}) = (4; 100)$ et la covariance de l'échantillon est $\sigma_{xy} = 2,5\text{ s}\cdot\text{cl}$.

1. Déduire les valeurs manquantes $x_3$ et $y_2$ en utilisant uniquement les propriétés des moyennes marginales.

2. Avec la série complète des quatre points, vérifier numériquement que la covariance coïncide avec la donnée du rapport ($2,5\text{ s}\cdot\text{cl}$).

3. Déterminer quelle valeur devrait prendre l'ordonnée du quatrième point (en remplaçant $102$ par une nouvelle valeur $y_4$, en gardant $x_1, x_2, x_3, x_4$ fixe et en réajustant $y_2$ pour que la moyenne $\bar{y} = 100$ ne change pas) pour que la covariance soit exactement égale à $0\text{ s}\cdot\text{cl}$.

La covariance entre la température moyenne quotidienne en degrés Celsius ($X$) et les ventes de glaces en centaines d'euros ($Y$) chez un glacier pendant l'été est $\sigma_{xy} = 18,5$. Sachant que les écarts types marginaux sont $\sigma_x = 4,2$ et $\sigma_y = 5,1$, calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ et interpréter le résultat.

Observer les nuages de points suivants, qui relient différentes variables dans trois expériences distinctes. Associer, en justifiant, à chaque graphique l'un des coefficients de corrélation linéaire suivants : $r = -0,92$, $r = 0,05$, $r = 0,88$.

À partir de relevés climatiques de Météo-France dans une même région de l'intérieur du pays lors d'une journée d'automne dégagée, on relève l'altitude au-dessus du niveau de la mer ($X$, en centaines de mètres) et la température maximale atteinte ($Y$, en $^\circ\text{C}$) dans 5 localités :

$A(4; 21)$, $B(6; 19)$, $C(8; 18)$, $D(10; 15)$ et $E(12; 12)$.

1. Avant tout calcul algébrique, estimer en justifiant le signe que doit avoir la covariance, en s'appuyant sur le gradient thermique vertical de la troposphère, et expliquer si l'on peut s'attendre à une dépendance fonctionnelle exacte ou purement statistique.

2. Calculer les coordonnées du point moyen $(\bar{x}, \bar{y})$ de la série et la covariance exacte $\sigma_{xy}$ en appliquant la formule $\sigma_{xy} = \frac{1}{N}\sum x_i y_i - \bar{x}\bar{y}$.

3. Vérifier si la valeur numérique obtenue confirme l'estimation précédente et expliquer la signification du signe de la covariance en termes de variation simultanée des deux variables.

Dans une station météorologique de Castille-et-León, Lucas étudie la relation entre la température moyenne journalière ($X$, en degrés Celsius) et la consommation de gaz naturel du chauffage central ($Y$, en mètres cubes) pendant cinq journées d'hiver. Après avoir traité les données, il obtient une covariance $\sigma_{xy} = -14,5\text{ }^\circ\text{C}\cdot\text{m}^3$. Pour envoyer son rapport à une revue scientifique internationale, il décide de convertir la température en kelvins ($U = X + 273,15$) et le volume de gaz en litres ($V = 1000Y$). Lucas conclut dans son brouillon : « Comme on ajoute $273,15$ à $X$ et qu'on multiplie $Y$ par $1000$, la nouvelle covariance est $\sigma_{uv} = (-14,5 + 273,15) \cdot 1000 = 258\,650\text{ K}\cdot\text{L}$, donc la relation entre les deux grandeurs devient positive. » Identifier et expliquer les deux erreurs conceptuelles commises par Lucas, justifier l'effet géométrique et algébrique des translations et des changements d'échelle sur la covariance, puis calculer la valeur numérique correcte de $\sigma_{uv}$ avec ses unités.

Une équipe d'orientation d'un lycée a relevé, sur un échantillon de 30 élèves de première, le temps quotidien d'utilisation récréative du téléphone portable ($X$, en heures) et le nombre d'heures de sommeil nocturne ($Y$, en heures). Après avoir recensé les données individuelles, on dispose des moyennes $\bar{x} = 3,5\text{ h}$, $\bar{y} = 7,0\text{ h}$ et de la covariance $\sigma_{xy} = -1,8\text{ h}^2$. Pour se coordonner avec une étude régionale sur la santé des jeunes, il faut exprimer les deux variables en minutes ($U = 60X$, $V = 60Y$). Pour déterminer la nouvelle covariance $\sigma_{uv}$, deux méthodes sont proposées :

• Méthode 1 : Multiplier par 60 chacun des 30 couples de valeurs initiaux $(x_i, y_i)$, construire un nouveau tableau avec les couples $(u_i, v_i)$, calculer les nouvelles moyennes $\bar{u}$ et $\bar{v}$, puis calculer $\sigma_{uv} = \frac{\sum u_i v_i}{30} - \bar{u}\bar{v}$.

• Méthode 2 : Appliquer la propriété algébrique de la covariance par transformations linéaires $\sigma_{uv} = ac\cdot\sigma_{xy}$.

Comparer les deux méthodes en évaluant le temps de calcul et le risque de propagation des erreurs d'arrondi, et indiquer en justifiant laquelle est préférable. Enfin, appliquer la méthode retenue pour calculer la valeur exacte de $\sigma_{uv}$ et interpréter son signe.

Soit une série statistique à deux variables $(X, Y)$ de covariance $\sigma_{xy} = 15$ et de coefficient de corrélation $r = 0,6$. On effectue une transformation linéaire sur les variables pour les adapter à une nouvelle échelle de mesure, de sorte que $U = 2X - 3$ et $V = -0,5Y + 1$. Calculer la nouvelle covariance $\sigma_{uv}$ et le nouveau coefficient de corrélation $r_{uv}$ entre $U$ et $V$.

Dans une analyse de la relation entre les dépenses mensuelles de marketing numérique ($X$, en milliers d'euros) et le chiffre d'affaires ($Y$, en milliers d'euros), on a obtenu les deux droites de régression. La droite de $Y$ en $X$ est $y = 2,5x + 10$ et la droite de $X$ en $Y$ est $x = 0,36y - 2$. Déterminer le point moyen $(\bar{x} ; \bar{y})$ de cette distribution à deux variables.

Le service des ressources humaines d'une entreprise de logiciels a déterminé que la droite d'ajustement reliant les années d'expérience ($X$) au salaire mensuel en euros ($Y$) de ses programmeurs est $y = 85x + 1200$. Estimer le salaire mensuel d'un employé qui a 5 ans d'expérience.

L'analyse des données macroéconomiques de 20 pays montre que la moyenne du produit intérieur brut par habitant ($X$, en milliers d'euros) est $\bar{x} = 25$, avec un écart type $\sigma_x = 8$. La consommation moyenne d'énergie par habitant ($Y$, en MWh) est $\bar{y} = 12$, avec un écart type $\sigma_y = 4$. Sachant que le coefficient de corrélation linéaire est $r = 0,85$, déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.

Le nuage de points suivant montre la relation entre la température appliquée à un alliage métallique ($X$, en $^\circ\text{C}$) et sa dilatation thermique ($Y$, en mm). À partir de la représentation du nuage de points et de la droite d'ajustement, estimer l'ordonnée à l'origine et le coefficient directeur de la droite. Prévoir ensuite la dilatation pour une température de $80^\circ\text{C}$.

Lors d'une enquête menée auprès de 200 étudiants, on a étudié la relation entre le nombre d'heures hebdomadaires consacrées au sport ($X$) et le niveau de stress déclaré ($Y$, mesuré de 1 à 3). Certaines données du tableau croisé ont été effacées :

Compléter le tableau sachant que $30\%$ de l'ensemble des personnes interrogées consacrent 2 heures au sport et ont un niveau de stress 2. Une fois le tableau complété, justifier mathématiquement si les variables sont statistiquement indépendantes.

Une plateforme de commerce en ligne a modélisé la relation entre le nombre de visites quotidiennes de la page d'un produit ($X$) et le nombre d'unités vendues ($Y$) par la droite de régression $y = 0,04x + 2,5$. Le coefficient de corrélation est $r = 0,91$ et le nombre de visites dans l'échantillon étudié est compris entre 100 et 500.

1. a) Estimer les ventes pour un produit recevant 350 visites.
2. b) Estimer les ventes pour un produit recevant 2000 visites.
3. c) Discuter la fiabilité des deux prévisions à partir des données fournies.

Dans une étude sur la relation entre les précipitations annuelles ($X$, en mm) et la production de blé ($Y$, en tonnes par hectare), on sait que la droite de régression de $Y$ en $X$ est $y = 0,15x - 12$. Sachant que la moyenne des précipitations est $\bar{x} = 400$ mm et que le coefficient de corrélation est $r = 0,75$, déterminer l'équation de la droite de régression de $X$ en $Y$.

Dans une analyse sociodémographique, on a obtenu les deux droites de régression reliant le taux de natalité ($X$, en pour mille) et l'espérance de vie ($Y$, en années) d'une région. Les équations des droites sont :

$3x + y - 105 = 0$

$x + 2y - 160 = 0$

Identifier en justifiant quelle est la droite de régression de $Y$ en $X$ et quelle est celle de $X$ en $Y$. Calculer ensuite les moyennes marginales $\bar{x}$ et $\bar{y}$, ainsi que le coefficient de corrélation linéaire $r$.

Démontrer que si les équations des droites de régression de $Y$ en $X$ et de $X$ en $Y$ s'écrivent respectivement $y = mx + n$ et $x = m'y + n'$, alors le coefficient de corrélation linéaire vérifie $r = \pm \sqrt{m \cdot m'}$. Expliquer en outre de quoi dépend le signe de $r$.

On a étudié la relation entre le temps de séchage d'une peinture industrielle ($X$, en heures) et sa résistance à l'abrasion ($Y$, sur un indice de 0 à 100) lors de 4 essais, et obtenu les couples de valeurs suivants : $(2 ; 40)$, $(3 ; 55)$, $(5 ; k)$, $(6 ; 85)$.

Sachant que la moyenne marginale de la résistance est $\bar{y} = 62,5$, déterminer d'abord la valeur du paramètre $k$. Calculer ensuite la covariance $\sigma_{xy}$ et le coefficient directeur de la droite de régression de $Y$ en $X$.

La croissance d'une colonie de bactéries en fonction du temps ($X$, en heures) ne suit pas un modèle linéaire, mais exponentiel de la forme $Y = A \cdot e^{BX}$, où $Y$ est le nombre de bactéries (en milliers). Pour appliquer des techniques de régression linéaire, on effectue le changement de variable $Z = \ln Y$.

Les données transformées $(X, Z)$ donnent les résultats marginaux et conjoints suivants pour 5 observations : $\bar{x} = 4$, $\bar{z} = 2,1$, $\sigma_x^2 = 2,5$, $\sigma_{xz} = 1,2$.

Calculer les valeurs des paramètres $A$ et $B$ du modèle exponentiel initial.

Le nuage de points suivant relie la concentration d'un polluant chimique dans une rivière ($X$, en ppm) au taux de mortalité d'une espèce de poisson ($Y$, en %). Observer la présence d'une valeur aberrante nettement distincte du reste du nuage de points.

Expliquer en justifiant comment la suppression de cette valeur aberrante affecterait la covariance $\sigma_{xy}$, le coefficient directeur de la droite de régression de $Y$ en $X$ et le coefficient de corrélation linéaire $r$.

Pour une série statistique à deux variables $(X, Y)$ d'effectif total $N = 10$, on connaît les sommes suivantes :

$\sum x_i = 50$, $\sum y_i = 70$, $\sum x_i^2 = 286$, $\sum y_i^2 = 540$, $\sum x_i y_i = 385$.

Calculer le coefficient de détermination $R^2$ et la variance résiduelle $\sigma_e^2$. Interpréter la signification des deux valeurs dans le contexte de la qualité de l'ajustement linéaire.

Dans une étude, les variables $X$ et $Y$ prennent les valeurs $X \in \{2, 4, 6\}$ et $Y \in \{4, 6, 8\}$. Les distributions marginales sont identiques et uniformes (effectif de 10 pour chaque valeur, la taille de l'échantillon étant $N=30$). On sait en outre que la distribution conjointe est parfaitement symétrique ($f_{ij} = f_{ji}$) et que l'effectif conjoint pour $X=2$ et $Y=4$ est 8, pour $X=2$ et $Y=6$ est 2, et pour $X=4$ et $Y=6$ est 2.

Calculer les autres effectifs conjoints du tableau et démontrer que la covariance de cette série est $\sigma_{xy} = 1,6$.

Soit une série statistique à deux variables $(X, Y)$ dont les écarts types marginaux sont strictement positifs ($\sigma_x > 0$ et $\sigma_y > 0$). Démontrer analytiquement que s'il existe une relation linéaire exacte entre les deux variables de la forme $Y = aX + b$ (avec $a \neq 0$), alors le coefficient de corrélation linéaire vaut $r = 1$ si $a > 0$, ou $r = -1$ si $a < 0$. (Indication : utiliser les propriétés de la moyenne et de la variance par transformation linéaire.)

Un rapport socioprofessionnel dans un parc technologique des Hauts-de-France analyse la relation entre les années d'expérience professionnelle ($X$) et le salaire mensuel net ($Y$, en centaines d'euros) sur un échantillon de 6 salariés répartis dans deux services :

• Service A (Support et Opérations) : composé des employés $A_1(6; 15)$, $A_2(8; 17)$ et $A_3(10; 19)$.

• Service B (Développement et Architecture logicielle) : composé des employés $B_1(1; 26)$, $B_2(3; 28)$ et $B_3(5; 30)$.

• Analyser chaque service séparément : calculer le point moyen et la covariance de chaque sous-groupe ($\sigma_{xy}^A$ et $\sigma_{xy}^B$). Décrire la tendance observée dans chaque secteur.

• Modéliser l'échantillon global en regroupant les 6 salariés en une seule série à deux variables. Calculer le point moyen global $(\bar{x}, \bar{y})$ et la covariance globale $\sigma_{xy}$.

• Comparer le signe de la covariance globale avec ceux obtenus dans chaque service séparément. Comment s'appelle ce paradoxe statistique ? Expliquer quelle est la variable cachée ou de confusion qui agit sur l'ensemble et pourquoi agréger des sous-groupes hétérogènes sans les distinguer peut fausser complètement les conclusions sociologiques.

Un élève soutient l'affirmation suivante : « Comme la covariance mesure la tendance conjointe de deux variables, plus sa valeur absolue est grande, plus la dépendance linéaire est forte ; donc une série avec $\sigma_{xy} = 1500$ présente une relation linéaire beaucoup plus forte et déterministe qu'une autre avec $\sigma_{uv} = 0,02$. » Démontrer en justifiant que cette conclusion est fausse en suivant les étapes ci-dessous :

1. Considérer la série $D_1$ formée des quatre points $(1; 10)$, $(2; 2)$, $(3; 11)$ et $(4; 3)$. Calculer son point moyen, sa covariance $\sigma_{xy}$ et justifier pourquoi sa dépendance linéaire est faible. Définir ensuite deux facteurs d'échelle $a$ et $c$ tels que, en transformant les variables selon $U = aX$ et $V = cY$, la nouvelle covariance $\sigma_{uv}$ dépasse la valeur de $1\,000\,000$, sans que la disposition relative du nuage de points ait changé le moins du monde.

2. Concevoir en justifiant une série $D_2$ formée de quatre points vérifiant une dépendance linéaire stricte et décroissante ($y = -0,5x + 10$, de sorte que tous les points soient parfaitement alignés), mais dont les abscisses sont choisies de telle façon que sa covariance vérifie $|\sigma_{xy}| < 0,02$.

3. À partir des résultats précédents, justifier pourquoi la covariance ne permet pas de comparer le degré d'association linéaire entre des séries ayant des unités ou des échelles différentes, en expliquant quelle propriété manque à ce paramètre pour servir d'indicateur universel de corrélation.