Primitives de forme composée

Calculer l'intégrale indéfinie suivante d'une fonction puissance composée, en ajustant la constante nécessaire pour que l'expression à intégrer coïncide avec la dérivée de la fonction intérieure :

Déterminer la primitive de la fonction exponentielle dont la dérivée nécessite un petit ajustement numérique du coefficient :

Calculer l'intégrale de la fonction trigonométrique suivante. Se rappeler qu'en intégrant $\cos(f(x))$, il faut tenir compte de la dérivée de l'argument $f'(x)$ :

Résoudre l'intégrale de la fonction racine suivante. Pour faciliter le calcul, l'exprimer d'abord comme une puissance d'exposant fractionnaire :

Calculer l'intégrale de la fonction puissance suivante multipliée par une constante. Veiller à identifier correctement la dérivée de la base pour ajuster le coefficient :

Un créateur de contenu a constaté que le taux de croissance de ses abonnés sur un réseau social suit une fonction marginale donnée par $f'(x) = (2x + 5)^3$, où $x$ représente le temps en mois. Calculer la famille de primitives $F(x)$ qui décrivent le nombre total d'abonnés.

Déterminer l'intégrale indéfinie de la fonction rationnelle suivante. Observer que le numérateur est presque la dérivée du dénominateur : il s'agit donc d'une intégrale de type logarithmique :

Dans l'étude d'une campagne publicitaire sur les réseaux sociaux, on a déterminé que le rythme de croissance du nombre d'abonnés d'un compte, $x$ jours après le début de la campagne, est donné par la fonction $f'(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$, avec $x \geq 0$.

Déterminer l'expression générale de la fonction du nombre total d'abonnés $f(x)$, sachant qu'il s'agit d'une intégrale de type logarithmique :

Une entreprise de messagerie détermine que le coût marginal d'envoi d'un colis à une distance $x$ (en centaines de kilomètres) est donné par la fonction $C'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 4}$. Déterminer la fonction de coût total $C(x)$, sachant qu'il existe des frais de gestion fixes (lorsque $x=0$) de $10$ euros.

D'après des données statistiques de l'INSEE sur les incidents dans les transports en commun d'une métropole, le taux auquel sont enregistrées les réclamations d'usagers (en centaines de personnes par heure) au cours d'une journée de travail entre 6 h ($t=0$) et 14 h ($t=8$) est décrit par la fonction marginale :

où $t$ est le temps écoulé en heures depuis 6 h.

1. a) Identifier la structure de la fonction à intégrer : exprimer le numérateur comme un multiple de la dérivée du dénominateur, écrire l'ajustement de constante nécessaire et déterminer la famille de primitives $R(t) = \int r(t) \, dt$.
2. b) Déterminer la fonction $R(t)$ qui exprime le nombre cumulé de réclamations (en centaines), sachant qu'à 6 h du matin aucune réclamation cumulée n'était enregistrée ($R(0) = 0$).
3. c) Un porte-parole de l'entreprise de transport affirme publiquement qu'avant 14 h ($t=8$) on ne dépassera en aucun cas 1500 réclamations. Modéliser et étudier analytiquement si cette affirmation est vraie ou fausse. Si elle est fausse, calculer à quelle heure exacte de la journée (en heures et minutes) la 1500e réclamation a été atteinte.

La vitesse de charge d'une batterie au graphène en laboratoire suit la fonction $v(t) = t \cdot e^{t^2}$, où $t$ est le temps en minutes. Calculer la fonction qui représente l'énergie totale accumulée $E(t)$, sachant qu'à l'instant initial $t = 0$, l'énergie accumulée est de $5$ unités.

Résoudre l'intégrale indéfinie suivante en identifiant la structure de la dérivée d'une fonction composée (de type puissance) :

Dans un laboratoire de biologie, on étudie la propagation d'une bactérie. Le taux de variation de la population $P(t)$ en fonction du temps $t$ (en heures) suit la loi :

Si, initialement ($t=0$), il y a $1\,000$ bactéries, déterminer la population de bactéries au bout de $2$ heures.

On considère la fonction $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$.

1. a) Déterminer sa primitive générale $F(x)$, écrite sous la forme $F(x) = \ldots + C$, où $C$ est la constante d'intégration.

1. b) Déterminer la valeur de la constante $C$ pour que la primitive vérifie $F(0) = \ln(2) + 3$.

Déterminer la primitive de la fonction $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ dont la courbe représentative passe par le point $P(4\,;\,10)$. Indice : Exprimer la racine sous la forme d'une puissance d'exposant négatif pour identifier la forme de la fonction composée.

Un influenceur analyse le rythme de croissance de ses abonnés sur un réseau social. La vitesse de croissance est donnée par $S'(t) = \frac{300 \cdot \ln t}{t}$ abonnés par jour, où $t$ est le temps en jours écoulés depuis le lancement d'une campagne publicitaire ($t \ge 1$). Sachant qu'à l'instant initial ($t=1$) il comptait $5\,000$ abonnés, déterminer l'expression de la fonction $S(t)$.

Lors d'un devoir, un élève propose la résolution suivante pour l'intégrale $\int e^{-x^2} \, dx$ :

« Comme la dérivée de l'exposant est $(-x^2)' = -2x$, je multiplie par $-2x$ à l'intérieur de l'intégrale et je compense en divisant par $-2x$ à l'extérieur pour avoir la dérivée en facteur :

1. a) Dériver la fonction $F(x) = -\frac{1}{2x} e^{-x^2}$ obtenue par l'élève en appliquant la formule de dérivation d'un produit ou d'un quotient et démontrer que le résultat ne coïncide pas avec la fonction à intégrer $e^{-x^2}$.
2. b) Expliquer l'erreur conceptuelle de fond : pourquoi la propriété de linéarité $\int k \cdot f(x)\, dx = k \int f(x)\, dx$ n'est-elle applicable que lorsque $k$ est une constante réelle non nulle et ne permet-elle pas de sortir des expressions qui dépendent de la variable d'intégration $x$ ?
3. c) En s'appuyant sur l'explication précédente, étudier les trois intégrales suivantes. Justifier rigoureusement lesquelles sont de forme composée et les résoudre en ajustant la constante correspondante, puis identifier celle qui ne peut structurellement pas être résolue ainsi :