Formule de Bayes

Pour se rendre au lycée, un élève peut prendre le bus ($80\,\%$ des fois) ou le vélo ($20\,\%$). Quand il prend le bus, il arrive en retard $10\,\%$ des jours à cause de la circulation. Quand il prend le vélo, il n'arrive en retard que $5\,\%$ des fois. Un jour, l'élève arrive en retard en cours. Calculer la probabilité qu'il soit venu en bus.

Une marque de baskets fabrique ses modèles dans deux usines différentes : $70\,\%$ dans l'usine $A$ et $30\,\%$ dans l'usine $B$. Le contrôle qualité a détecté que $2\,\%$ des baskets de l'usine $A$ présentent un défaut de couture, alors que, dans l'usine $B$, les défauts apparaissent dans $5\,\%$ de la production. Un client achète une paire de baskets et constate qu'elle présente un défaut de couture. Calculer la probabilité qu'elle ait été fabriquée dans l'usine $B$.

Dans un lycée, $40\,\%$ des élèves de terminale suivent la filière sciences humaines et sociales et $60\,\%$ la filière sciences et technologies. Au baccalauréat, session principale, $85\,\%$ des élèves de la filière sociale et $90\,\%$ de ceux de la filière scientifique sont reçus. On choisit au hasard une personne ayant réussi cet examen et on veut calculer la probabilité qu'elle provienne de la filière sciences humaines et sociales.

Mathis écrit dans sa copie :

1. a) Identifier et expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Mathis au dénominateur. Pourquoi additionner directement $0{,}85 + 0{,}90$ est-il incorrect du point de vue de la formule des probabilités totales ?
2. b) Écrire l'expression correcte selon la formule de Bayes et calculer la valeur exacte de la probabilité sous forme de fraction irréductible, puis arrondie à quatre décimales.

Un filtre de messagerie classe automatiquement des messages comme spam. Le filtre signale correctement comme spam $98\,\%$ des courriels qui le sont réellement. Cependant, il envoie aussi dans le dossier spam $4\,\%$ des courriels légitimes. On estime que $10\,\%$ du courrier reçu dans une boîte est du spam. Un courriel choisi au hasard a été signalé comme spam. Calculer la probabilité qu'il en soit réellement.

Sur une plateforme de streaming, $60\,\%$ des séries sont des productions propres, les autres étant produites par des sociétés externes. On sait que $15\,\%$ des séries de production propre sont de science-fiction, alors que, pour les séries externes, ce pourcentage passe à $25\,\%$. On choisit une série au hasard et elle est de science-fiction. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une production propre de la plateforme ?

Dans une ville, $70\,\%$ des habitants utilisent une application mobile pour payer le transport public, tandis que les autres utilisent une carte physique. On observe que $15\,\%$ des utilisateurs de l'application ont des problèmes de lecture au valideur, contre $5\,\%$ de ceux qui utilisent la carte physique. Si un valideur émet un signal d'erreur de lecture, quelle est la probabilité que l'usager essaie de payer avec l'application mobile ?

Un fabricant de composants électroniques pour smartphones possède trois lignes de production : A, B et C. La ligne A produit $45\,\%$ des composants, la B $30\,\%$ et la C $25\,\%$. On sait que la probabilité qu'un composant soit défectueux est de $1\,\%$ sur la ligne A, de $2\,\%$ sur la ligne B et de $3\,\%$ sur la ligne C. On sélectionne un composant au hasard et il est défectueux. Déterminer en justifiant quelle ligne de production l'a le plus probablement fabriqué.

Une entreprise de logistique du dernier kilomètre distribue des colis dans une ville avec trois types de véhicules : camionnettes électriques ($60\,\%$), motos ($30\,\%$) et vélos cargos ($10\,\%$). La probabilité qu'un colis arrive en retard est de $2\,\%$ s'il est livré en camionnette, de $5\,\%$ en moto et de $8\,\%$ à vélo. Si un client appelle pour se plaindre car son colis est arrivé en retard, quelle est la probabilité que le livreur ait été en vélo cargo ?

L'algorithme d'un réseau social classe les contenus en trois catégories : « Viral » ($15\%$), « Tendance » ($35\%$) et « Standard » ($50\%$). La probabilité qu'un utilisateur arrête son scroll et regarde une vidéo en entier est de $80\%$ si elle est Virale, de $40\%$ si elle est Tendance et de seulement $10\%$ si elle est Standard. On observe qu'un utilisateur vient de regarder une vidéo en entier. Quelle est la probabilité que l'algorithme ne l'ait pas classée à l'origine comme Virale ?

Un réseau social utilise un algorithme d'intelligence artificielle pour détecter les commentaires haineux. On sait que $5\,\%$ des commentaires publiés sont réellement inappropriés. L'algorithme identifie correctement comme « inapproprié » $98\,\%$ des commentaires qui le sont réellement. Cependant, il étiquette à tort comme « inapproprié » $3\,\%$ des commentaires respectueux. Le système vient de bloquer un commentaire en le marquant comme « inapproprié ». Quelle est la probabilité que ce commentaire ait été réellement respectueux ?

Une usine de pièces de précision utilise une machine de vision artificielle pour contrôler la qualité de sa production. On sait que seulement $0,5\%$ des pièces fabriquées présentent un défaut. La machine détecte correctement $96\%$ des pièces défectueuses, mais signale aussi à tort comme défectueuses $2\%$ des pièces correctes. La machine vient de signaler une pièce comme défectueuse. Calculer la probabilité que la pièce soit en réalité en parfait état.

Lors d'une campagne de santé au travail, on applique un test de dépistage pour la détection précoce d'une anomalie métabolique asymptomatique dont la prévalence dans la population active n'est que de $0{,}5\,\%$. La sensibilité du test (probabilité d'être positif en étant atteint) est de $98\,\%$, tandis que le taux de faux positifs (probabilité d'être positif en n'étant pas atteint) est de $2\,\%$. Une employée obtient un résultat positif au test de routine.

1. a) Calculer la probabilité que l'employée soit réellement atteinte en résolvant le problème par deux voies indépendantes :

• Voie 1 : arbre pondéré et formule de Bayes avec les probabilités conditionnelles.

• Voie 2 : tableau d'effectifs en fréquences naturelles, construit à partir d'une population hypothétique de $10\,000$ employés représentatifs.

1. b) Comparer les deux méthodes et argumenter laquelle est la plus éclairante pour expliquer à un patient non mathématicien pourquoi un test fiable à $98\,\%$ donne une probabilité réelle d'être malade étonnamment faible. Relier votre raisonnement à la notion de « biais de négligence de la fréquence de base ».