Problèmes

La droite de régression de $Y$ en $X$ d'une série statistique à deux variables a pour équation $y = 3,2x - 1,5$. Si la moyenne de la variable $X$ est $\bar{x} = 4,5$, déterminer la valeur de la moyenne de la variable $Y$, $\bar{y}$.

Pour une série statistique double, on connaît les paramètres suivants : $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$, la variance marginale de $X$, $S_x^2 = 16$, et la covariance $S_{xy} = 24$. Écrire l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.

Le diagramme de dispersion ci-joint représente la relation entre la température moyenne mensuelle ($X$, en $^\circ\text{C}$) et la consommation de gaz naturel ($Y$, en $\text{m}^3$) dans une ville au cours de l'année écoulée. Sachant que les moyennes marginales sont $\bar{x} = 15$ et $\bar{y} = 120$, et que le coefficient directeur de la droite de régression de $Y$ en $X$ est $-3,5$, déterminer l'équation de cette droite et estimer la consommation de gaz pour un mois de température moyenne $8 \ ^\circ\text{C}$.

Le diagramme de dispersion suivant montre la relation entre l'âge d'un groupe de véhicules ($X$, en années) et leur valeur marchande actuelle ($Y$, en milliers d'euros). En observant la forme du nuage de points, indiquer le signe de la covariance et préciser si la corrélation linéaire entre les deux variables est forte ou faible.

Pour estimer la consommation électrique mensuelle ($Y$, en kWh) en fonction du nombre de personnes vivant dans un logement ($X$), on a obtenu la droite de régression $y = 45x + 120$ avec un coefficient de corrélation $r = 0,92$. Estimer la consommation d'un logement de $4$ personnes et indiquer si l'estimation est très fiable ou peu fiable, en justifiant brièvement la réponse.

Dans une étude reliant le budget marketing de plusieurs entreprises ($X$) à leurs bénéfices annuels ($Y$), on a calculé que le coefficient de corrélation linéaire est $r = 0,7$. Quel pourcentage de la variabilité des bénéfices est expliqué par le budget marketing d'après le modèle de régression linéaire proposé ?

À partir d'un échantillon de l'INSEE sur le niveau de vie dans cinq communes moyennes de France, on relie le revenu moyen disponible annuel par foyer ($X$, en dizaines de milliers d'euros) et la dépense moyenne annuelle en loisirs et culture ($Y$, en centaines d'euros) :

1. a) Modéliser la relation linéaire en déterminant l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.
2. b) Interpréter la signification socio-économique concrète du coefficient directeur obtenu et de l'ordonnée à l'origine dans le contexte de l'étude.
3. c) Utiliser le modèle pour prévoir la dépense de loisirs attendue dans une commune de revenu moyen par foyer $45\,000$ € ($x = 4,5$) et dans une autre de $120\,000$ € ($x = 12$). Comparer en justifiant la fiabilité des deux prévisions en distinguant interpolation et extrapolation.
4. d) Si l'on voulait estimer le revenu d'une commune à partir de sa dépense culturelle, justifier s'il serait mathématiquement adapté d'isoler $x$ directement dans l'équation obtenue à la question a).

Le coefficient de corrélation entre les revenus mensuels ($X$, en euros) et les dépenses de loisirs ($Y$, en euros) d'un groupe de personnes est $r = 0,75$. Si l'on exprime les revenus en milliers d'euros ($X' = \frac{X}{1000}$) et que l'on augmente les dépenses de loisirs d'une somme fixe de $50$ euros en raison d'une subvention ($Y' = Y + 50$), quel sera le nouveau coefficient de corrélation linéaire entre $X'$ et $Y'$ ? Justifier la réponse à l'aide des propriétés de la covariance et des écarts types.

Dans une étude statistique portant sur deux variables $X$ et $Y$, on a effectué un changement de variable en réduisant ou en changeant l'échelle des données d'origine sous la forme $U = \frac{X - 10}{5}$ et $V = \frac{Y - 20}{2}$. On sait que la droite de régression de $V$ en $U$ est $v = 0,8u + 1,5$.

Déterminer, en revenant aux variables d'origine, l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ sous sa forme réduite $y = mx + n$.

Le diagramme de dispersion suivant montre la croissance d'une colonie de bactéries ($Y$, en milliers) en fonction du temps ($X$, en heures). Le nuage de points suggère une croissance exponentielle de la forme $Y = A \cdot e^{BX}$.

Pour linéariser le modèle, on propose d'effectuer le changement de variable $Z = \ln(Y)$. Si l'ajustement linéaire de $Z$ en $X$ donne la droite $z = 0,4x + 1,2$, déterminer les valeurs numériques des constantes $A$ et $B$ du modèle exponentiel d'origine.

On a mesuré le temps en heures ($X$) et la distance parcourue en km ($Y$) par un cycliste lors de $5$ étapes, ce qui donne les couples de valeurs $(x_i\,;\,y_i)$ suivants : $(2\,;\,45)$, $(3\,;\,65)$, $(4\,;\,85)$, $(2\,;\,40)$ et $(5\,;\,110)$. Calculer la covariance de cette série statistique à deux variables.

Une entreprise de technologie veut prévoir le nombre de ventes d'un nouveau smartphone ($Y$, en milliers d'unités) en fonction des mentions quotidiennes sur les réseaux sociaux ($X$, en milliers). On a recueilli les données de $8$ lancements précédents, ce qui donne les sommes suivantes :

$\sum x_i = 160$, $\sum y_i = 400$, $\sum x_i^2 = 3600$, $\sum y_i^2 = 21500$, $\sum x_i y_i = 8600$.

Calculer la covariance, le coefficient de corrélation linéaire et estimer les ventes obtenues si l'on enregistre $25$ mille mentions le jour du lancement.

Le tableau de contingence suivant regroupe les données de $100$ pièces en céramique, classées selon leur taille ($X$ : Petite=$1$, Grande=$2$) et leur qualité ($Y$ : Défectueuse=$0$, Optimale=$1$). Écrire le tableau de la loi marginale de la variable $Y$ et calculer sa moyenne $\bar{y}$.

Le tableau à double entrée suivant montre la répartition de $50$ familles selon le nombre d'enfants ($X$) et le nombre de véhicules qu'elles possèdent ($Y$) :

Calculer la moyenne et l'écart type de la distribution conditionnelle du nombre de véhicules des familles sachant qu'elles ont exactement $1$ enfant (c'est-à-dire la distribution $Y|X=1$).

On dispose du tableau d'effectifs conjoints suivant pour deux caractères qualitatifs $X$ et $Y$ :

Déterminer la valeur exacte du paramètre $k$ sachant que les variables $X$ et $Y$ sont statistiquement indépendantes.

En étudiant la relation statistique entre deux variables $X$ et $Y$, on a obtenu les droites de régression suivantes :

Droite de $Y$ en $X$ : $y = 0,5x + 4$

Droite de $X$ en $Y$ : $x = 1,5y - 3$

Calculer les coordonnées du point moyen de la série statistique double $(\bar{x}, \bar{y})$.

Les droites de régression d'une série statistique double ont pour équations $y = -0,5x + 8$ (droite de $Y$ en $X$) et $x = -1,28y + 10$ (droite de $X$ en $Y$).

Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ et déterminer les moyennes marginales $\bar{x}$ et $\bar{y}$.

On a étudié deux groupes d'employés d'une même entreprise multinationale pour analyser la relation entre les années d'expérience ($X$) et le salaire mensuel ($Y$).

Dans le groupe A, composé de $10$ employés, on a obtenu : $\bar{x}_A = 5$, $\bar{y}_A = 1500$, et une covariance $S_{xy,A} = 200$.

Dans le groupe B, composé de $20$ employés, on a obtenu : $\bar{x}_B = 5$, $\bar{y}_B = 1500$, et une covariance $S_{xy,B} = 350$.

Calculer la covariance totale $S_{xy}$ si l'on regroupait les $30$ employés en une seule série statistique double.

Dans un laboratoire de physique, on a mesuré l'allongement d'un ressort élastique ($Y$, en cm) en y suspendant différentes masses ($X$, en kg). Les résultats obtenus lors de l'expérience sont :

$X$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$

$Y$ : $2,1$, $3,9$, $6,2$, $7,8$, $10,1$, $12,2$

Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ et l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.

Défi du thème. Comment l'altitude conditionne-t-elle le climat de notre pays ? Devenez analyste climatique et rédigez un rapport synthétique à l'aide de GeoGebra ou d'un tableur.

1. Recueil des données : Consulter le site de Météo-France et rassembler dans un tableau l'altitude ($x$, en mètres) et la température moyenne annuelle ($y$, en °C) de $10$ préfectures de départements français situées dans différentes zones géographiques.

2. Étude à deux variables : Saisir les données dans le logiciel. Calculer les moyennes ($\bar{x}$, $\bar{y}$), les écarts types, la covariance et le coefficient de corrélation linéaire de Pearson ($r$). Représenter le nuage de points et déterminer la droite de régression de $y$ en $x$.

3. Prévision et causalité : Estimer la température attendue pour une commune située à $1250\text{ m}$ et argumenter la fiabilité de votre résultat. Vérifier si un modèle non linéaire (exponentiel ou puissance) améliorerait l'ajustement et s'interroger sur le fait que l'altitude soit ou non la cause directe de la variation de température ou que des variables cachées interviennent.

Rendre un court rapport (une page) comprenant le tableau, les graphiques et votre justification argumentée.

Seront évalués :

• La rigueur dans le calcul des paramètres statistiques à deux variables et de la droite de régression avec des outils numériques.

• L'habileté dans la représentation graphique et l'interprétation du coefficient $r$.

• Le recul critique lors de l'extrapolation de valeurs et du débat sur causalité et corrélation.