Exercices: Formule de Bayes

Sur une plateforme de streaming, $60\,\%$ des séries sont des productions propres, les autres étant produites par des sociétés externes. On sait que $15\,\%$ des séries de production propre sont de science-fiction, alors que, pour les séries externes, ce pourcentage passe à $25\,\%$. On choisit une série au hasard et elle est de science-fiction. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une production propre de la plateforme ?

Une marque de baskets fabrique ses modèles dans deux usines différentes : $70\,\%$ dans l'usine $A$ et $30\,\%$ dans l'usine $B$. Le contrôle qualité a détecté que $2\,\%$ des baskets de l'usine $A$ présentent un défaut de couture, alors que, dans l'usine $B$, les défauts apparaissent dans $5\,\%$ de la production. Un client achète une paire de baskets et constate qu'elle présente un défaut de couture. Calculer la probabilité qu'elle ait été fabriquée dans l'usine $B$.

Dans un lycée, $40\,\%$ des élèves de terminale suivent la filière scientifique et $60\,\%$ la filière sciences économiques et sociales. On a observé que $85\,\%$ des élèves de la filière scientifique et $90\,\%$ de ceux de la filière SES obtiennent la moyenne en anglais. On choisit au hasard un élève dont on sait qu'il a obtenu la moyenne en anglais. Quelle est la probabilité qu'il appartienne à la filière scientifique ?

Un influenceur répartit ses publications entre deux réseaux sociaux : Instagram ($75\,\%$) et TikTok ($25\,\%$). On sait que $40\,\%$ de ses photos sur Instagram reçoivent plus de 10 000 « likes », alors que, sur TikTok, seulement $20\,\%$ de ses vidéos dépassent ce seuil. On reçoit une notification indiquant que l'une de ses publications a dépassé les 10 000 « likes ». Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une vidéo TikTok ?

Un filtre de messagerie classe automatiquement des messages comme spam. Le filtre signale correctement comme spam $98\,\%$ des courriels qui le sont réellement. Cependant, il envoie aussi dans le dossier spam $4\,\%$ des courriels légitimes. On estime que $10\,\%$ du courrier reçu dans une boîte est du spam. Un courriel choisi au hasard a été signalé comme spam. Calculer la probabilité qu'il en soit réellement.

Un magasin de jeux vidéo vend des consoles de deux marques : « N-Switch » et « PlayPro ». $65\,\%$ des ventes sont des PlayPro et le reste des N-Switch. Le service technique indique que $3\,\%$ des PlayPro sont retournées pour défaut de fabrication, alors que, pour les N-Switch, le pourcentage de retour est de $2\,\%$. Un client retourne une console défectueuse. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une PlayPro ?

Pour se rendre au lycée, un élève peut prendre le bus ($80\,\%$ des fois) ou le vélo ($20\,\%$). Quand il prend le bus, il arrive en retard $10\,\%$ des jours à cause de la circulation. Quand il prend le vélo, il n'arrive en retard que $5\,\%$ des fois. Un jour, l'élève arrive en retard en cours. Calculer la probabilité qu'il soit venu en bus.

Dans une entreprise de développement logiciel, $70\,\%$ des programmeurs utilisent le langage Python et $30\,\%$ utilisent Java. On estime que $10\,\%$ des codes écrits en Python contiennent des erreurs de syntaxe critiques, alors que, en Java, ce pourcentage est de $15\,\%$. Une erreur de syntaxe critique est détectée dans un extrait de code. Quelle est la probabilité qu'il ait été programmé en Python ?

Dans un lycée, $40\,\%$ des élèves de terminale suivent la filière sciences humaines et sociales et $60\,\%$ la filière sciences et technologies. Au baccalauréat, session principale, $85\,\%$ des élèves de la filière sociale et $90\,\%$ de ceux de la filière scientifique sont reçus. On choisit au hasard une personne ayant réussi cet examen et on veut calculer la probabilité qu'elle provienne de la filière sciences humaines et sociales.

Mathis écrit dans sa copie :

1. a) Identifier et expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Mathis au dénominateur. Pourquoi additionner directement $0{,}85 + 0{,}90$ est-il incorrect du point de vue de la formule des probabilités totales ?
2. b) Écrire l'expression correcte selon la formule de Bayes et calculer la valeur exacte de la probabilité sous forme de fraction irréductible, puis arrondie à quatre décimales.

Dans une grande ville française, $70\,\%$ des personnes qui se rendent chaque jour au travail utilisent le métro et $30\,\%$ le bus urbain. Les relevés de mobilité montrent que le métro subit des retards importants dans $10\,\%$ de ses trajets, alors que le bus est en retard dans $40\,\%$ des cas à cause de la circulation. Une personne arrive aujourd'hui en retard à son poste de travail.

1. a) Avant tout calcul numérique, estimer de façon qualitative et argumentée : sachant que le métro transporte plus du double de voyageurs que le bus, mais que le bus connaît quatre fois plus de défaillances que le métro, pensez-vous que la probabilité que la personne en retard ait voyagé en bus soit inférieure, égale ou supérieure à $0{,}5$ ? Justifier la conjecture.
2. b) Appliquer la formule de Bayes pour calculer la probabilité exacte que cette personne ait voyagé en bus.
3. c) Comparer le résultat numérique obtenu avec l'estimation initiale et indiquer s'il confirme ou contredit l'intuition.

Dans un centre de santé, on réalise une étude sur l'efficacité d'un test de diagnostic d'une allergie alimentaire qui touche $8\,\%$ de la population jeune. Les données cliniques indiquent que, si une personne est allergique, le test est positif dans $95\,\%$ des cas. Par ailleurs, si la personne n'est pas allergique, le test donne un « faux positif » (résultat positif sans être malade) dans $4\,\%$ des cas. On choisit un jeune au hasard et son résultat au test est positif. Calculer la probabilité qu'il soit réellement allergique.

Un réseau social utilise un algorithme d'intelligence artificielle pour détecter les commentaires haineux. On sait que $5\,\%$ des commentaires publiés sont réellement inappropriés. L'algorithme identifie correctement comme « inapproprié » $98\,\%$ des commentaires qui le sont réellement. Cependant, il étiquette à tort comme « inapproprié » $3\,\%$ des commentaires respectueux. Le système vient de bloquer un commentaire en le marquant comme « inapproprié ». Quelle est la probabilité que ce commentaire ait été réellement respectueux ?

Une entreprise de logistique du dernier kilomètre distribue des colis dans une ville avec trois types de véhicules : camionnettes électriques ($60\,\%$), motos ($30\,\%$) et vélos cargos ($10\,\%$). La probabilité qu'un colis arrive en retard est de $2\,\%$ s'il est livré en camionnette, de $5\,\%$ en moto et de $8\,\%$ à vélo. Si un client appelle pour se plaindre car son colis est arrivé en retard, quelle est la probabilité que le livreur ait été en vélo cargo ?

Dans un centre de préparation au baccalauréat, $40\,\%$ des élèves sont inscrits dans le groupe Sciences, $35\,\%$ dans celui de Sciences sociales et $25\,\%$ dans celui d'Humanités. En fin d'année, ont réussi l'examen $92\,\%$ des élèves de Sciences, $88\,\%$ de ceux de Sciences sociales et $80\,\%$ de ceux d'Humanités. On choisit au hasard un élève du centre dont on sait qu'il a réussi le baccalauréat. Calculer la probabilité qu'il appartienne au groupe de Sciences sociales.

Un fabricant de composants électroniques pour smartphones possède trois lignes de production : A, B et C. La ligne A produit $45\,\%$ des composants, la B $30\,\%$ et la C $25\,\%$. On sait que la probabilité qu'un composant soit défectueux est de $1\,\%$ sur la ligne A, de $2\,\%$ sur la ligne B et de $3\,\%$ sur la ligne C. On sélectionne un composant au hasard et il est défectueux. Déterminer en justifiant quelle ligne de production l'a le plus probablement fabriqué.

Dans une ville, $70\,\%$ des habitants utilisent une application mobile pour payer le transport public, tandis que les autres utilisent une carte physique. On observe que $15\,\%$ des utilisateurs de l'application ont des problèmes de lecture au valideur, contre $5\,\%$ de ceux qui utilisent la carte physique. Si un valideur émet un signal d'erreur de lecture, quelle est la probabilité que l'usager essaie de payer avec l'application mobile ?

Un centre de recyclage traite des emballages provenant de deux quartiers de la ville, Nord et Sud. $60\,\%$ des emballages proviennent du quartier Nord. À l'usine de traitement, on constate que $10\,\%$ des emballages du Nord sont mal triés par les habitants, alors que dans le quartier Sud ce pourcentage s'élève à $15\,\%$. L'opérateur du tapis sélectionne un emballage au hasard et constate qu'il est correctement trié. Quelle est la probabilité qu'il provienne du quartier Nord ?

Une équipe d'e-sport joue ses parties d'un tournoi dans deux conditions de réseau : « Latence basse » ($P=0,75$) et « Latence haute » ($P=0,25$). Quand la latence est basse, l'équipe gagne $80\,\%$ de ses affrontements. En revanche, si la latence est haute, sa probabilité de victoire tombe à $40\,\%$. Sachant que l'équipe vient de gagner une partie, quelle est la probabilité qu'elle ait joué avec une latence haute ?

D'après des données issues d'enquêtes de l'Institut national de la statistique (INSEE) sur le commerce électronique en France, les moyens de paiement habituels se répartissent ainsi : carte bancaire ($65\,\%$), portefeuilles ou plateformes numériques ($25\,\%$) et virement ou paiement à la livraison ($10\,\%$). Les services de sécurité bancaire estiment qu'une anomalie ou une fraude est détectée dans $1{,}2\,\%$ des paiements par carte, dans $0{,}8\,\%$ des achats par portefeuille numérique et dans $3\,\%$ des opérations par virement ou paiement à la livraison.

1. a) Modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré, en définissant clairement les événements et en attribuant à chaque branche sa probabilité.
2. b) Le système d'alerte intercepte une transaction frauduleuse. Calculer la probabilité qu'elle ait été effectuée par carte bancaire.
3. c) L'équipe antifraude dispose de ressources limitées et ne peut auditer en profondeur que le canal qui concentre le plus grand nombre absolu de fraudes détectées. Quel moyen de paiement doit-elle privilégier ? Justifier la réponse en expliquant pourquoi il n'est pas nécessaire de recalculer le dénominateur complet pour comparer les causes.

Une station de conditionnement de fruits de la région Provence-Alpes-Côte d'Azur traite des oranges provenant uniquement de deux coopératives agricoles, $A$ et $B$. La coopérative $A$ fournit une proportion $p$ des lots reçus ($0 < p < 1$), tandis que la coopérative $B$ fournit le reste ($1-p$). Les contrôles phytosanitaires de qualité établissent que $2\,\%$ des lots de $A$ et $5\,\%$ des lots de $B$ ne respectent pas la norme exigée pour l'exportation vers l'Union européenne.

1. a) Sachant que, lorsqu'on choisit au hasard un lot non conforme à l'exportation, la probabilité qu'il provienne de la coopérative $A$ est exactement égale à $\frac{4}{9}$, poser une équation et calculer la valeur de la proportion $p$ de l'approvisionnement total apportée par cette coopérative.
2. b) Interpréter le résultat : comment est-il possible que, la coopérative $A$ ayant un taux de défaut sensiblement inférieur à celui de $B$ ($2\,\%$ contre $5\,\%$), la probabilité qu'un lot défectueux provienne de $A$ atteigne une fraction aussi élevée que $\frac{4}{9}$ ?

Une multinationale technologique utilise trois fournisseurs différents pour les microprocesseurs de ses nouveaux ordinateurs portables de gaming. Le fournisseur $A$ fournit $45\%$ des puces, le fournisseur $B$ $35\%$, et le reste provient du fournisseur $C$. On sait grâce à des contrôles qualité antérieurs que $1\%$ des puces de $A$ sont défectueuses, alors que pour $B$ et $C$ ces pourcentages sont respectivement de $2\%$ et $3\%$. Un utilisateur achète un ordinateur portable et, au bout d'un mois d'utilisation, subit une panne critique due au microprocesseur. Calculer la probabilité que la puce défectueuse ait été fournie par le fournisseur $B$.

L'algorithme d'un réseau social classe les contenus en trois catégories : « Viral » ($15\%$), « Tendance » ($35\%$) et « Standard » ($50\%$). La probabilité qu'un utilisateur arrête son scroll et regarde une vidéo en entier est de $80\%$ si elle est Virale, de $40\%$ si elle est Tendance et de seulement $10\%$ si elle est Standard. On observe qu'un utilisateur vient de regarder une vidéo en entier. Quelle est la probabilité que l'algorithme ne l'ait pas classée à l'origine comme Virale ?

Une usine de pièces de précision utilise une machine de vision artificielle pour contrôler la qualité de sa production. On sait que seulement $0,5\%$ des pièces fabriquées présentent un défaut. La machine détecte correctement $96\%$ des pièces défectueuses, mais signale aussi à tort comme défectueuses $2\%$ des pièces correctes. La machine vient de signaler une pièce comme défectueuse. Calculer la probabilité que la pièce soit en réalité en parfait état.

Une entreprise de messagerie utilise des camionnettes électriques ($60\%$) et à moteur thermique ($40\%$). On a observé que $5\%$ des trajets effectués par les camionnettes électriques subissent des retards dus à la nécessité d'une recharge intermédiaire, alors que le retard des camionnettes thermiques survient dans $8\%$ des cas à cause de problèmes de circulation. Sachant qu'un colis est arrivé en retard, déterminer la probabilité qu'il ait été transporté par une camionnette électrique.

Trois chaînes de streaming ($N$, $H$ et $D$) se partagent le marché des abonnés dans une ville dans des proportions de $40\%$, $30\%$ et $30\%$ respectivement. La probabilité qu'un abonné de $N$ résilie son abonnement ce mois-ci est de $0,05$ ; pour $H$ elle est de $0,08$ et pour $D$ elle est de $0,12$. On choisit au hasard un habitant qui vient de résilier son abonnement à l'une de ces chaînes. Quelle est la probabilité qu'il ait été client de $D$ ?

Un système de sécurité biométrique utilise la reconnaissance faciale ou l'empreinte digitale. Le visage est utilisé $70\%$ des fois et l'empreinte $30\%$. Le système échoue à identifier un utilisateur autorisé $2\%$ des fois avec le visage et $1\%$ avec l'empreinte. Par ailleurs, il laisse entrer un intrus $0,5\%$ des fois avec le visage et $0,1\%$ avec l'empreinte. Sachant que le système a refusé l'accès à un utilisateur autorisé, calculer la probabilité qu'il ait essayé d'entrer par reconnaissance faciale.

Dans une étude sur les habitudes de lecture des adolescents, l'échantillon a été divisé en trois groupes selon le temps quotidien passé devant les écrans : Faible ($20\%$), Moyen ($50\%$) et Élevé ($30\%$). La probabilité qu'un jeune du groupe Faible lise au moins un livre par mois est de $0,7$ ; pour le groupe Moyen elle est de $0,4$ et pour le groupe Élevé de $0,15$. On choisit un adolescent au hasard et il affirme n'avoir lu aucun livre le mois dernier. Calculer la probabilité qu'il appartienne au groupe d'exposition aux écrans « Élevé ».

Une usine possède deux machines, $M_1$ et $M_2$, qui produisent la même pièce. $M_1$ produit le triple de pièces de $M_2$. Le pourcentage de pièces défectueuses de $M_1$ est de $k\%$ et celui de $M_2$ est de $4\%$. On sait que si l'on choisit une pièce au hasard et qu'elle est défectueuse, la probabilité qu'elle provienne de la machine $M_2$ est de $4/13$. Calculer la valeur de $k$ puis la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse.

Lors d'une campagne de santé au travail, on applique un test de dépistage pour la détection précoce d'une anomalie métabolique asymptomatique dont la prévalence dans la population active n'est que de $0{,}5\,\%$. La sensibilité du test (probabilité d'être positif en étant atteint) est de $98\,\%$, tandis que le taux de faux positifs (probabilité d'être positif en n'étant pas atteint) est de $2\,\%$. Une employée obtient un résultat positif au test de routine.

1. a) Calculer la probabilité que l'employée soit réellement atteinte en résolvant le problème par deux voies indépendantes :

• Voie 1 : arbre pondéré et formule de Bayes avec les probabilités conditionnelles.

• Voie 2 : tableau d'effectifs en fréquences naturelles, construit à partir d'une population hypothétique de $10\,000$ employés représentatifs.

1. b) Comparer les deux méthodes et argumenter laquelle est la plus éclairante pour expliquer à un patient non mathématicien pourquoi un test fiable à $98\,\%$ donne une probabilité réelle d'être malade étonnamment faible. Relier votre raisonnement à la notion de « biais de négligence de la fréquence de base ».

Les forces de l'ordre emploient des dispositifs de dépistage salivaire pour détecter la consommation récente de substances incompatibles avec la conduite. Supposons un test de sensibilité $96\,\%$ (il détecte $96\,\%$ des conducteurs ayant consommé) et de taux de faux positifs $3\,\%$ (il est positif pour $3\,\%$ des conducteurs n'ayant pas consommé).

Considérer deux scénarios opérationnels très différents :

• Scénario 1 (contrôle préventif général sur route) : la prévalence réelle de consommation parmi les conducteurs soumis à ce contrôle aléatoire est de $1\,\%$.

• Scénario 2 (contrôle ciblé après une infraction grave ou une conduite dangereuse) : la prévalence réelle de consommation dans ce groupe s'élève à $20\,\%$.

1. a) Calculer, pour chacun des deux scénarios, la probabilité qu'un conducteur dont le test salivaire est positif ait réellement consommé la substance.
2. b) À partir des résultats obtenus, réfléchir et argumenter de façon critique : pourquoi le cadre légal impose-t-il de confirmer le test de dépistage par une seconde analyse toxicologique en laboratoire avant d'infliger des sanctions pénales ou une privation de droits, au lieu d'agir sur le résultat du premier test ? Comment le type de contrôle (aléatoire ou ciblé) influe-t-il sur la probabilité de condamner injustement une personne innocente ?

Défi du thème. Imaginer que vous conseillez un observatoire de l'emploi. Votre mission est d'étudier la relation entre niveau de formation et chômage des jeunes ($16$-$24$ ans) dans votre région à partir de données réelles de l'INSEE (enquête Emploi).

1. Collecte et tableau : Télécharger sur le site de l'INSEE les données du dernier trimestre croisant la formation (études supérieures ou non) et la situation professionnelle (en emploi ou au chômage). Dans un tableur, élaborer le tableau croisé avec les effectifs et les fréquences.

2. Événements et approches : Définir l'univers et les événements élémentaires. Attribuer des probabilités par l'approche fréquentiste et réfléchir à la différence avec la situation d'équiprobabilité ou la probabilité subjective. À l'aide des propriétés des probabilités, calculer des réunions et des intersections, et vérifier par le calcul si l'emploi et les études supérieures sont des événements dépendants ou indépendants ($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$).

3. Arbre et Bayes : Construire l'arbre pondéré associé. En utilisant les probabilités conditionnelles, déterminer la probabilité totale d'être en emploi et appliquer la formule de Bayes pour trouver la probabilité qu'un jeune en emploi choisi au hasard soit titulaire d'un diplôme du supérieur.

4. Production finale : Rendre un tableur avec les calculs et un rapport de synthèse (1 page) avec vos conclusions.

Seront évalués :

• La précision du tableau croisé et de l'arbre avec les données de l'INSEE.

• La rigueur dans le calcul des probabilités, des probabilités totales et de Bayes.

• La justification conceptuelle de l'indépendance et des types de probabilité.

• La qualité de l'analyse et la clarté des conclusions du rapport.