Exercices: Arbres pondérés

Sur une étagère d'une chambre d'adolescent, il y a deux boîtes de baskets. La boîte A contient $3$ paires de baskets blanches et $2$ paires de baskets noires. La boîte B contient $2$ paires de blanches et $4$ paires de noires. Un élève choisit une boîte au hasard (avec la même probabilité) et, sans regarder, en sort une paire de baskets.

1. a) Dessiner l'arbre pondéré représentant cette situation, en indiquant les probabilités sur chaque branche.

1. b) Calculer la probabilité que les baskets choisies soient de couleur blanche.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un créateur de contenu TikTok observe que $70 \%$ de ses vidéos sont des vidéos d'humour et $30 \%$ des défis (challenges). La probabilité qu'une vidéo d'humour devienne virale est de $0,1$, tandis que pour les vidéos de défis cette probabilité passe à $0,4$.

1. a) Représenter la situation par un arbre pondéré.

1. b) Si l'on choisit une vidéo au hasard sur son profil, quelle est la probabilité que ce soit une vidéo virale ?

Lors d'un tournoi d'e-sport, un joueur doit franchir deux phases. Lors de la phase 1, la probabilité de réussite est de $0,8$. S'il réussit la première, il passe à la phase 2, où la probabilité de réussite est de $0,6$. S'il ne réussit pas la première phase, il est directement éliminé.

1. a) Élaborer l'arbre pondéré correspondant.

1. b) Calculer la probabilité que le joueur réussisse les deux phases du tournoi.

Un élève de terminale a préparé $60 \%$ des thèmes d'un examen de géographie. L'examen consiste à tirer un thème au hasard dans un sac. Si le thème tiré est l'un de ceux qu'il a étudiés, la probabilité de réussir est de $0,9$. Si le thème est l'un de ceux qu'il n'a pas étudiés, la probabilité de réussir tombe à $0,2$.

1. a) Réaliser un arbre pondéré avec les données du problème, en indiquant la probabilité sur chaque branche.

1. b) Quelle est la probabilité totale que l'élève réussisse l'examen ?

Sur une plateforme de streaming musical, $40 \%$ des utilisateurs ont un compte « Premium » et $60 \%$ un compte « Gratuit ». On sait que $80 \%$ des utilisateurs Premium écoutent de la musique tous les jours, alors que seulement $30 \%$ des utilisateurs avec un compte gratuit le font. On choisit un utilisateur au hasard :

1. a) Calculer la probabilité qu'il écoute de la musique tous les jours.

1. b) Sachant que l'utilisateur choisi est Premium, quelle est la probabilité qu'il n'écoute pas de musique tous les jours ?

Pour aller au lycée, un adolescent prend le bus $80 \%$ des jours et va à pied le reste du temps. Lorsqu'il prend le bus, il arrive en retard $5 \%$ des fois. En revanche, lorsqu'il va à pied, il arrive en retard $15 \%$ des fois parce qu'il se laisse distraire en chemin.

1. a) Construire l'arbre pondéré.

1. b) Calculer la probabilité qu'un jour quelconque il arrive à l'heure au lycée.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une urne contient $4$ boules rouges et $6$ boules bleues. On tire deux boules successivement sans remise (sans remettre la première boule dans l'urne).

1. a) Représenter le processus par un arbre pondéré en indiquant les probabilités sur chaque branche. Tenir compte du fait que la composition de l'urne change après le premier tirage.

1. b) Quelle est la probabilité que les deux boules tirées soient de la même couleur ?

Un magasin de vêtements de sport reçoit des sweats de deux usines. L'usine 1 fournit $60 \%$ du stock et l'usine 2 les $40 \%$ restants. $2 \%$ des sweats de l'usine 1 présentent un défaut de couture, tandis que pour l'usine 2 le pourcentage de défauts est de $5 \%$.

1. a) Représenter la situation par un arbre pondéré (à dessiner : d'abord l'usine de provenance, puis la présence ou non d'un défaut sur le sweat, en indiquant la probabilité de chaque branche).

1. b) Calculer la probabilité qu'un sweat choisi au hasard ne présente aucun défaut.

Lucie résout un problème sur les épreuves pratiques du permis de conduire dans une auto-école. $60\,\%$ des candidats réussissent à la première session. Parmi ceux qui échouent la première fois, $70\,\%$ réussissent à la deuxième session. Lucie veut calculer la probabilité qu'une personne choisie au hasard obtienne son permis à l'une des deux premières sessions.

Dans son cahier, elle écrit ceci :

« Je construis l'arbre : au premier niveau, j'ai les branches Réussir ($0,6$) et Échouer ($0,4$). De la branche Échouer, je fais partir deux nouvelles branches : Réussir à la 2e ($0,7$) et Échouer à la 2e ($0,3$). Donc la probabilité de réussir à l'une des deux sessions est la somme de réussir à la première ou à la deuxième : $0,6 + 0,7 = 1,3$. Comme je trouve plus de $1$, l'énoncé doit être mal rédigé, car une probabilité ne peut pas être supérieure à $1$ ».

1. a) Repérer l'erreur conceptuelle commise par Lucie lorsqu'elle opère sur les branches de l'arbre et expliquer pourquoi son raisonnement consistant à additionner directement $0,6$ et $0,7$ est incorrect.
2. b) Dessiner l'arbre pondéré correct en détaillant les événements à chaque niveau et les probabilités (marginales et conditionnelles) de chaque branche.
3. c) Corriger le calcul et déterminer la probabilité réelle qu'un candidat obtienne son permis à l'une des deux premières sessions.

Dans un moulin à huile de Jaén, les olives reçues sont classées selon la méthode de récolte : gaulage traditionnel ($40\,\%$) ou vibration mécanique ($60\,\%$). À cause des chocs pendant la récolte, $10\,\%$ des olives récoltées par gaulage perdent la qualité optimale pour produire de l'huile « vierge extra », tandis que pour la récolte mécanique ce pourcentage s'élève à $25\,\%$. On souhaite calculer la probabilité qu'un échantillon aléatoire d'olives soit apte à produire de l'huile « vierge extra ».

Pour résoudre ce problème, deux camarades de classe proposent des stratégies différentes :

• Serge affirme : « C'est plus pratique d'imaginer un total de $1\,000$ kg d'olives et de construire un tableau d'effectifs avec les kilos de chaque type ».

• Alice soutient : « C'est beaucoup plus direct et rigoureux de construire un arbre pondéré à deux étapes, car les données de l'énoncé sont déjà des probabilités conditionnelles séquentielles ».

1. a) Comparer les deux approches : laquelle des deux méthodes représente le plus naturellement la structure de l'information donnée dans l'énoncé, et pourquoi ?
2. b) Résoudre le problème à l'aide de l'arbre pondéré : calculer la probabilité qu'un échantillon choisi au hasard fournisse de l'huile « vierge extra ».
3. c) Justifier si la méthode du tableau proposée par Serge aurait abouti exactement au même résultat numérique et réfléchir à l'inconvénient méthodologique que peut présenter le fait d'inventer un effectif total hypothétique par rapport à l'utilisation de l'arbre.

Un streamer de jeux vidéo populaire diffuse du contenu sur trois plateformes différentes : Twitch, YouTube et TikTok Live. D'après ses statistiques, $45\,\%$ de ses abonnés regardent ses directs sur Twitch, $35\,\%$ sur YouTube et les $20\,\%$ restants sur TikTok. On sait que le pourcentage d'abonnés qui interagissent dans le chat est de $12\,\%$ sur Twitch, de $8\,\%$ sur YouTube et de $25\,\%$ sur TikTok.

On choisit au hasard un abonné de ce streamer :

1. a) Représenter la situation par un arbre pondéré.

1. b) Calculer la probabilité que l'abonné choisi interagisse dans le chat.

1. c) Sachant que l'abonné choisi n'interagit pas dans le chat, quelle est la probabilité que ce soit un abonné de YouTube ?

Une application de santé utilise un capteur intelligent pour détecter si un utilisateur pratique une activité aérobie intense. Le capteur détecte correctement l'activité dans $98\,\%$ des cas. Cependant, lorsque l'utilisateur est au repos ou marche lentement, le capteur donne un « faux positif » (il indique à tort un exercice intense) dans $3\,\%$ des cas. D'après les données de la communauté d'utilisateurs, on estime qu'ils passent $15\,\%$ du temps à pratiquer une activité intense.

1. a) Quelle est la probabilité qu'à un instant choisi au hasard, l'application indique que l'utilisateur pratique un exercice intense ?

1. b) Si l'application indique que l'utilisateur pratique un exercice intense, calculer la probabilité qu'il soit réellement au repos ou en train de marcher lentement.

Lors d'un tournoi d'e-sport, un joueur doit choisir entre deux personnages : « Guerrier » ou « Mage ». La probabilité de choisir le Guerrier est de $60\,\%$. S'il choisit le Guerrier, sa probabilité de gagner la partie est de $0,7$. S'il choisit le Mage, sa probabilité de victoire passe à $0,85$.

1. a) Construire l'arbre pondéré associé à l'expérience, en indiquant sur chaque branche sa probabilité.

1. b) Calculer la probabilité que le joueur gagne la partie.

1. c) Si le joueur a perdu la partie, quelle est la probabilité qu'il ait choisi le Guerrier ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une boutique de vêtements en ligne expédie ses commandes par l'intermédiaire de deux entreprises de logistique, A et B. $70\,\%$ des commandes sont expédiées par l'entreprise A et le reste par l'entreprise B. On a observé que $5\,\%$ des commandes de l'entreprise A arrivent en retard, tandis que pour l'entreprise B le retard concerne $10\,\%$ des colis.

1. a) Calculer la probabilité qu'une commande arrive à temps.

1. b) Si un client reçoit sa commande en retard, quelle est la probabilité qu'elle ait été transportée par l'entreprise A ?

Dans une urne numérique d'un jeu de hasard, il y a 10 boules : 6 bleues et 4 blanches. L'expérience consiste à tirer deux boules successivement et sans remise.

1. a) Dessiner l'arbre pondéré en précisant les probabilités sur chaque branche.

1. b) Calculer la probabilité que les deux boules soient de la même couleur.

1. c) Calculer la probabilité que la première boule soit bleue sachant que la deuxième est blanche.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Un élève de terminale a préparé 18 des 25 thèmes d'un examen d'histoire. L'examen consiste à choisir un thème parmi deux thèmes tirés au hasard par le professeur.

1. a) Quelle est la probabilité que l'élève connaisse les deux thèmes tirés ?

1. b) Quelle est la probabilité que l'élève réussisse l'examen (c'est-à-dire qu'il connaisse au moins l'un des deux thèmes) ?

1. c) Si l'élève a réussi l'examen, quelle est la probabilité qu'il n'ait connu qu'un seul des deux thèmes tirés ?

Dans un lycée, $40\,\%$ des élèves sont en filière scientifique et $60\,\%$ en filière sciences sociales. $75\,\%$ des élèves de la filière scientifique utilisent le transport scolaire, alors que seulement $30\,\%$ des élèves de sciences sociales le font.

1. a) Si l'on choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité qu'il n'utilise pas le transport scolaire ?

1. b) Si l'on choisit un élève qui utilise le transport scolaire, quelle est la probabilité qu'il soit en sciences sociales ?

Une usine d'écouteurs sans fil produit deux modèles : « Basic » et « Pro ». $65\,\%$ de la production correspond au modèle Basic. Le contrôle qualité détecte que $2\,\%$ des écouteurs Basic sont défectueux, tandis que pour le modèle Pro le pourcentage d'unités défectueuses est de $1\,\%$.

1. a) Calculer la probabilité qu'un écouteur choisi au hasard soit défectueux.

1. b) Si un écouteur est défectueux, de quel modèle est-il le plus probablement ? Justifier la réponse en calculant les probabilités a posteriori.

Dans le centre de tri d'une entreprise de commerce électronique à Paris, $90\,\%$ des colis sont emballés par une ligne robotisée à grande vitesse et les $10\,\%$ restants par une ligne manuelle destinée aux articles de formes irrégulières. La ligne robotisée commet un défaut de scellage dans $2\,\%$ des envois, tandis que la ligne manuelle a un taux de défaut de scellage de $18\,\%$.

Avant le départ en livraison, un capteur détecte un colis présentant un défaut de scellage.

1. a) Estimer et raisonner avant de calculer : à première vue, pensez-vous qu'il soit plus probable que ce colis défectueux provienne de la ligne robotisée ou de la ligne manuelle ? Justifier votre intuition en pesant deux facteurs opposés : la grande différence entre les volumes de colis traités par chaque ligne et la différence entre leurs taux d'erreur.
2. b) Dessiner l'arbre pondéré complet modélisant la situation, en indiquant clairement la partition du premier niveau et les probabilités conditionnelles du second niveau.
3. c) Calculer la probabilité totale qu'un colis choisi au hasard dans le centre présente un scellage défectueux.
4. d) Vérifier formellement votre estimation : calculer la probabilité que le colis défectueux provienne de la ligne robotisée. Comparer le résultat numérique exact avec ce que vous aviez répondu à la question a) et expliquer quel biais conduit souvent à se tromper dans ce type de situation.

D'après les données du ministère espagnol de l'Éducation concernant les épreuves d'accès à l'université (EvAU) dans une communauté autonome d'Espagne, $60\,\%$ des élèves inscrits proviennent de la filière Sciences et Technologies, et $40\,\%$ de la filière Humanités et Sciences sociales. À la session ordinaire, $95\,\%$ des élèves de la filière scientifique réussissent la phase générale obligatoire, tandis que dans la filière Humanités et Sciences sociales ils sont $90\,\%$ à la réussir.

Parmi ceux qui réussissent la phase générale, $35\,\%$ des élèves de la filière scientifique et $20\,\%$ de ceux de la filière Humanités et Sciences sociales obtiennent une note définitive supérieure à $10$ points (sur $14$) grâce aux matières pondérées de la phase facultative.

1. a) Modéliser le parcours scolaire d'un élève choisi au hasard par un arbre pondéré à trois niveaux : filière du lycée, réussite de la phase générale et obtention d'une note finale supérieure à $10$ points. Noter sur chaque branche sa probabilité en écriture décimale.
2. b) Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard dans cette région réussisse la phase générale et obtienne en plus une note supérieure à $10$ points.
3. c) Identifier le chemin de l'arbre qui décrit un élève d'Humanités et Sciences sociales qui réussit la phase générale mais ne dépasse pas $10$ points. Calculer sa probabilité et interpréter quel pourcentage de l'ensemble des lycéens ce profil précis représente.

Sur une plateforme d'e-sport, les joueurs sont classés selon leur rang : Bronze (50 %), Argent (30 %) et Or (20 %). On a observé que la probabilité qu'un joueur triche (logiciel interdit) dépend de son rang : 2 % en Bronze, 5 % en Argent et 10 % en Or. Le système de sécurité FairPlay détecte correctement le tricheur dans 98 % des cas, mais produit un « faux positif » (accuse un joueur honnête) dans 1 % des cas.

1. a) Dessiner l'arbre pondéré représentant la situation d'un joueur choisi au hasard qui passe le contrôle de sécurité.
2. b) Calculer la probabilité que le système FairPlay émette une alerte « joueur tricheur ».
3. c) Si le système a émis une alerte, quelle est la probabilité que le joueur soit en réalité innocent et de rang Or ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une entreprise de messagerie utilise trois itinéraires pour livrer des colis dans une ville difficile. L'itinéraire A (utilisé 40 % du temps) a une probabilité de retard de 15 %. L'itinéraire B (utilisé 35 % du temps) a un retard de 10 %. L'itinéraire C est utilisé le reste du temps et a un retard de 20 %. Si un colis arrive en retard, un protocole d'audit lui est appliqué. Ce protocole échoue et ne détecte pas la cause réelle du retard dans 5 % des cas de l'itinéraire A, 8 % de l'itinéraire B et 12 % de l'itinéraire C.

1. a) Représenter à l'aide d'un arbre pondéré la probabilité qu'un colis choisi au hasard subisse un retard et que son audit soit en échec.
2. b) Calculer la probabilité qu'un colis choisi au hasard ait un audit en échec à cause d'un retard.
3. c) Sachant que l'audit a été en échec, quelle est la probabilité que le colis n'ait pas emprunté l'itinéraire A ?

On dispose de trois urnes dont la composition en boules de couleur est la suivante :

• Urne $U_1$ : 5 blanches, 3 noires et 2 rouges.

• Urne $U_2$ : 4 blanches et 6 noires.

• Urne $U_3$ : 2 blanches, 5 noires et 3 rouges.

L'expérience consiste à lancer un dé équilibré. Si l'on obtient un nombre premier, on tire une boule de $U_1$. Si l'on obtient un nombre composé, on tire une boule de $U_2$. Dans tous les autres cas, on tire dans $U_3$. Après le tirage, la boule est placée dans l'urne, autre que celle d'où elle a été tirée, qui contient le plus de boules blanches à ce moment-là (en cas d'égalité, on choisit $U_3$). Enfin, on tire une seconde boule dans cette dernière urne.

1. a) Construire l'arbre pondéré détaillé des deux tirages.
2. b) Quelle est la probabilité que la seconde boule tirée soit rouge ?
3. c) Si la seconde boule est rouge, quelle est la probabilité que la première ait été blanche ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une étude sur les habitudes de sommeil des adolescents révèle que 25 % dorment moins de 6 heures, 60 % dorment entre 6 et 8 heures, et les autres dorment plus de 8 heures. La probabilité d'avoir un manque de concentration au premier cours du matin est de 0,8 pour le premier groupe, 0,3 pour le deuxième et 0,1 pour le troisième. De plus, si un élève manque de concentration, la probabilité qu'il oublie de rendre son devoir est de 0,7, alors que s'il est concentré, cette probabilité tombe à 0,05.

1. a) Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard oublie de rendre son devoir.
2. b) Si un élève a rendu son devoir correctement, quelle est la probabilité qu'il appartienne au groupe qui dort plus de 8 heures ?

Dans une usine d'éoliennes, 1 % des pales présentent des microfissures structurelles. On utilise un système de contrôle par ultrasons qui détecte la fissure avec une probabilité de 0,99. Cependant, le scanner a une probabilité de 0,03 d'indiquer une fissure alors que la pale est saine. Pour sécuriser le contrôle, si le scanner indique « fissure », on effectue un second test manuel indépendant qui détecte la fissure réelle avec une probabilité de 0,95 et présente une marge d'erreur de 1 % sur les pales saines.

1. a) Calculer la probabilité qu'une pale passe les deux tests et soit déclarée « défectueuse ».
2. b) Si une pale a été déclarée « défectueuse » après les deux tests, quelle est la probabilité qu'elle n'ait réellement aucune microfissure ?

Trois amis, Hugo, Silvia et Clara, jouent à un jeu de stratégie au tour par tour. La probabilité que Hugo gagne est $P(H) = 0,2$, celle de Silvia est $P(S) = 0,5$ et celle de Clara est $P(C) = 0,3$. Après avoir gagné une partie, la probabilité que le même joueur gagne la suivante augmente de 20 % par rapport à sa probabilité initiale (cette différence étant retranchée proportionnellement aux deux autres joueurs).

1. a) Si Silvia gagne la première partie, construire l'arbre de probabilités de la deuxième partie.
2. b) Calculer la probabilité que Silvia gagne les deux premières parties.
3. c) Si l'on sait que Silvia a gagné la deuxième partie, quelle est la probabilité que Clara ait gagné la première ?

Une boîte contient 10 smartphones, dont 3 ont l'écran défectueux. On tire au hasard deux téléphones, l'un après l'autre et sans remise.

• Si le premier téléphone tiré est défectueux, on lance une pièce truquée pour laquelle la probabilité d'obtenir pile est 0,7. Si l'on obtient pile, on tire un troisième téléphone dans la boîte.

• Si le premier téléphone tiré n'est pas défectueux, on lance un dé équilibré. Si l'on obtient un nombre strictement supérieur à 4, on tire un troisième téléphone.

1. a) Calculer la probabilité que le nombre total de téléphones défectueux tirés soit exactement égal à 2.
2. b) Sachant qu'à la fin de l'expérience exactement 2 téléphones défectueux ont été tirés, quelle est la probabilité que le premier téléphone tiré ait été en bon état ?

Une entreprise technologique fabrique des processeurs dans trois usines : P1 (50 % de la production), P2 (30 %) et P3 (20 %). Le pourcentage de processeurs dépassant la vitesse de 4GHz est de 80 % pour P1, 70 % pour P2 et 60 % pour P3. Les processeurs qui ne dépassent pas cette vitesse subissent un processus d'optimisation qui permet à 40 % d'entre eux de la dépasser finalement.

1. a) À l'aide d'un arbre pondéré, calculer la probabilité qu'un processeur choisi au hasard dans la production totale dépasse finalement 4GHz.
2. b) Si un processeur ne dépasse pas 4GHz à l'issue de tout le processus, quelle est la probabilité qu'il provienne de l'usine P1 ou de l'usine P2 ?

Dans une usine de traitement et de recyclage de déchets technologiques, les circuits intégrés sont dirigés de façon automatisée vers deux lignes de tri : la ligne $A$ et la ligne $B$. La proportion de composants dirigés vers la ligne $A$ est une valeur inconnue $p$ (avec $0 < p < 1$), le reste ($1 - p$) étant dirigé vers la ligne $B$.

Les relevés techniques montrent qu'un composant traité sur la ligne $A$ est directement réutilisable avec une probabilité de $0,75$. En revanche, sur la ligne $B$, la probabilité de réutilisation directe n'est que de $0,35$.

Tous les composants qui ne sont pas directement réutilisables passent à une seconde phase de raffinage chimique pour en extraire des métaux précieux : sur la ligne $A$, $20\,\%$ des composants non réutilisables permettent de récupérer des métaux précieux, tandis que sur la ligne $B$ on parvient à en récupérer pour $40\,\%$ des composants non réutilisables.

1. a) Dessiner l'arbre pondéré complet représentant les étapes du processus, en exprimant les probabilités des premières branches en fonction du paramètre $p$.
2. b) Obtenir l'expression littérale simplifiée, en fonction de $p$, de la probabilité qu'un circuit intégré choisi au hasard finisse par fournir des métaux précieux après l'échec de la réutilisation directe.
3. c) Sachant qu'à la fin de la journée exactement $13\,\%$ de l'ensemble des composants reçus dans l'usine finissent par fournir des métaux précieux grâce au raffinage chimique, poser une équation et en déduire la valeur initiale de la proportion $p$.
4. d) Justifier par le calcul s'il serait possible, en modifiant uniquement la répartition initiale $p$, d'obtenir que le pourcentage global de composants fournissant des métaux précieux soit égal à $30\,\%$.

Un laboratoire de contrôle qualité pharmaceutique doit valider un petit lot de $15$ unités d'un réactif biologique. On sait avec certitude que le lot contient exactement $3$ unités défectueuses et $12$ unités en bon état. En raison du coût de la procédure, on applique une inspection séquentielle destructive (les unités analysées sont inutilisables et sont donc tirées sans remise), suivant le protocole ci-dessous :

• On tire une première unité au hasard : si elle est défectueuse, le lot est refusé et le processus s'arrête immédiatement.

• Si la première unité est en bon état, on tire une deuxième unité. Si cette deuxième unité est défectueuse, on tire obligatoirement une troisième unité pour les départager ; en revanche, si la deuxième est en bon état, le lot est déclaré conforme et le processus s'arrête aussitôt.

• Si l'on a dû aller jusqu'au troisième tirage, le lot est déclaré conforme si cette troisième unité est en bon état, et il est définitivement refusé si elle est défectueuse.

1. a) Modéliser l'ensemble du protocole par un arbre pondéré. Tenir compte du fait que les branches n'ont pas la même longueur (arbre tronqué selon le résultat) et que la composition du lot varie après chaque tirage. Exprimer les probabilités de chaque branche sous forme de fractions irréductibles.
2. b) Justifier pourquoi, dans cette expérience, ce serait une grave erreur de calculer les probabilités des branches en supposant l'indépendance entre les étapes successives.
3. c) Calculer la probabilité que le lot soit finalement déclaré conforme.
4. d) Imaginer que le test ne soit pas destructif et que les tirages se fassent avec remise (chaque unité étant remise après examen). Sans calculer toutes les décimales, déterminer en justifiant si la probabilité de déclarer le lot conforme en exactement deux tirages serait supérieure, inférieure ou égale à celle du cas sans remise.