Exercices: Variable centrée réduite

Dans une communauté de créateurs de contenu, le nombre de vues quotidiennes des vidéos suit une loi normale de moyenne $\mu = 1200$ et d'écart type $\sigma = 300$. Si un « influenceur » a obtenu aujourd'hui $1650$ vues, calculer la valeur de la variable centrée réduite $Z$ correspondant à cette donnée.

L'autonomie de la batterie d'un modèle de smartphone en utilisation intensive suit une loi normale $N(8; 1,5)$, où la moyenne est de $8$ heures. Un utilisateur remarque que son téléphone ne tient que $5$ heures après la dernière mise à jour. Centrer et réduire cette valeur et indiquer si le résultat est positif ou négatif. Quelle est la signification du signe dans ce contexte ?

Deux élèves de lycées différents veulent comparer leurs notes à l'examen d'économie.

• Nerea a obtenu $8,2$ dans son établissement, où la moyenne était $\mu = 6,5$ et l'écart type $\sigma = 1,1$.

• Youssef a obtenu $8,5$ dans son établissement, où la moyenne était $\mu = 7,2$ et l'écart type $\sigma = 1,4$.

Calculer la variable centrée réduite pour chacun et déterminer lequel des deux a obtenu la meilleure note par rapport à son propre groupe.

Soit une variable aléatoire continue $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 50$ et d'écart type $\sigma = 8$. Déterminer la valeur de la variable initiale $X$ sachant que sa valeur centrée réduite est $Z = 2,25$.

Lors d'une compétition d'e-sport, le temps de réaction des joueurs suit une loi normale de moyenne $210$ millisecondes et d'écart type $15$ millisecondes. Centrer et réduire les temps de réaction suivants et interpréter les résultats :

1. a) $195$ millisecondes.
2. b) $210$ millisecondes.
3. c) $240$ millisecondes.

Le poids des paquets de pop-corn d'un cinéma suit une loi normale $N(150, 12)$ en grammes. On choisit un paquet au hasard et on sait que sa valeur centrée réduite est $Z = -1,5$. Ce paquet pèse-t-il plus ou moins que la moyenne ? Calculer son poids exact en grammes.

Si une variable centrée réduite $Z$ suit une loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0\,;\,1)$, utiliser la symétrie de la courbe en cloche pour expliquer pourquoi la probabilité $P(Z < -1)$ est la même que $P(Z > 1)$. Dessiner un schéma de la situation : la courbe en cloche, son axe de symétrie, les valeurs $-1$, $0$ et $1$ sur l'axe horizontal et les deux régions dont les aires représentent ces probabilités.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On a mesuré le temps que mettent les jeunes d'une ville pour se rendre au lycée. Les données suivent une loi normale avec $\mu = 25$ minutes et $\sigma = 5$ minutes. Centrer et réduire la valeur $X = 35$ minutes. Si la table de la loi normale centrée réduite indique que $P(Z < 2) = 0,9772$, quel pourcentage d'élèves met moins de $35$ minutes pour arriver ?

Marcos dispose d'une variable aléatoire $X \sim \mathcal{N}(70\,;\,8^2)$ qui modélise le temps (en minutes) que met un élève d'un établissement pour terminer un examen. Pour calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard mette moins de $58$ minutes, Marcos écrit dans son cahier :

« Je centre et réduis : $z = \dfrac{70 - 58}{8} = \dfrac{12}{8} = 1,5$. Comme dans la table $P(Z \le 1,5) = 0,9332$, la probabilité demandée est de $93,32\,\%$. »

1. a) Sans faire de calculs, expliquer pourquoi le résultat final de Marcos n'a pas de sens, à partir de la valeur de la moyenne.
2. b) Identifier l'erreur conceptuelle et algébrique commise par Marcos dans l'application de la formule de centrage et réduction.
3. c) Corriger la démarche et déterminer la probabilité correcte sachant que $P(Z \le 1,5) = 0,9332$.

D'après des données climatiques historiques, les précipitations cumulées au mois de novembre dans une région suivent une loi normale $X \sim \mathcal{N}(80\,;\,15^2)$, de moyenne $80$ et d'écart type $15$, mesurée en litres par mètre carré ($l/m^2$). Lors du dernier mois de novembre, on a relevé $115\text{ l/m}^2$.

1. a) Estimer, en justifiant et avant tout calcul, le signe de la variable centrée réduite $Z$ correspondant à ce relevé et entre quels deux entiers consécutifs elle doit se situer.
2. b) Calculer précisément la valeur de $Z$ et vérifier si votre estimation préalable était juste.
3. c) Expliquer la signification de la valeur obtenue de $Z$ en termes d'écarts types par rapport à la moyenne des précipitations de la zone.

Sur une plateforme de jeux en ligne, le score des joueurs au niveau « Légende » suit une loi normale de moyenne $\mu = 4500$ points et d'écart type $\sigma = 600$ points. Par ailleurs, au niveau « Maître », les scores suivent une loi normale avec $\mu = 3800$ points et $\sigma = 450$ points.

Un joueur a obtenu $5200$ points au niveau « Légende » et son ami a obtenu $4400$ points au niveau « Maître ». Utiliser la variable centrée réduite pour déterminer lequel des deux amis a obtenu le meilleur score par rapport à son groupe de jeu.

Une étude a été réalisée sur le temps quotidien que les adolescents de 17 ans consacrent au visionnage de contenus sur des plateformes de streaming. Les résultats montrent que ce temps suit une loi normale $X \sim N(110, 25)$, le temps étant mesuré en minutes.

1. a) Calculer la probabilité qu'un jeune choisi au hasard passe plus de $135$ minutes par jour sur ces plateformes.
2. b) Quelle est la probabilité que le temps consacré soit compris entre $90$ et $120$ minutes ?

Les notes finales du baccalauréat dans une certaine région suivent une loi normale de moyenne $6,8$ et d'écart type $1,2$.

L'université a décidé d'attribuer une bourse d'excellence spéciale aux $5\%$ des élèves ayant obtenu les meilleures notes. À l'aide de la table de la loi normale centrée réduite $N(0,1)$, calculer la note minimale nécessaire pour obtenir cette bourse.

La masse des cartables des lycéens d'un lycée suit une loi normale de moyenne $6,5$ kg et d'écart type $1,4$ kg.

1. a) Déterminer la valeur de la variable centrée réduite $Z$ qui correspond à un cartable de $8$ kg.
2. b) Le médecin scolaire recommande que la masse du cartable ne dépasse pas $9$ kg. Quel pourcentage d'élèves ne respecte pas cette recommandation ?

L'autonomie de la batterie d'un nouveau modèle de smartphone en utilisation intensive suit une loi normale de moyenne $\mu$ heures et d'écart type $\sigma = 1,5$ heures.

On sait que $25,14\%$ des téléphones ont une batterie qui dure moins de $8$ heures. Déterminer la valeur de la moyenne $\mu$ de cette loi en utilisant le processus inverse de la standardisation.

Lors d'une compétition d'athlétisme, le temps en secondes que mettent les participants pour courir le 400 mètres suit une loi $X \sim N(52, \sigma)$.

Sachant que $84,13\%$ des coureurs mettent moins de $55$ secondes pour terminer l'épreuve, calculer l'écart type $\sigma$ du temps des coureurs.

Un créateur de contenu sur un réseau social analyse le nombre de « likes » que reçoivent ses publications. Il a observé que le nombre de « likes » suit une loi normale de moyenne $1200$.

1. a) Si l'écart type est $\sigma = 150$, calculer l'intervalle symétrique par rapport à la moyenne qui contient $90\%$ des publications.
2. b) Quelle est la probabilité qu'une publication choisie au hasard ait exactement $1300$ « likes » ? Justifier la réponse en s'appuyant sur les propriétés des variables continues.

On souhaite comparer l'agilité mentale de deux groupes d'élèves à l'aide d'un test de logique. Les résultats du groupe A suivent une $N(75, 8)$ et ceux du groupe B une $N(70, 5)$.

1. a) Si un élève du groupe A obtient $85$ points et un élève du groupe B obtient $78$ points, lequel des deux occupe la meilleure position relative au sein de son propre groupe ?
2. b) Dans le groupe B, à partir de quel score se situent les $20\%$ des élèves ayant les résultats les plus bas ?

D'après les statistiques du marché immobilier, le prix du mètre carré à la location dans une grande capitale ($X$) est modélisé par une loi normale $N(18 ; 4)$ en euros, tandis que dans une ville moyenne ($Y$) il suit une loi normale $N(9 ; 1,5)$ en euros. Un portail immobilier met en avant deux biens : l'un dans la grande capitale à $24\text{ euros/m}^2$ et l'autre dans la ville moyenne à $12\text{ euros/m}^2$.

1. a) Centrer et réduire les deux prix et déterminer, en justifiant, lequel des deux appartements est relativement le plus cher par rapport à son propre marché local.
2. b) Une entreprise de relocation ne recommande que des biens situés en dessous du percentile $75$ de leur ville respective. Calculer le prix maximal au mètre carré admissible dans chacune des deux villes, sachant que, pour la loi normale centrée réduite, $P(Z \le 0,67) \approx 0,75$.

Lors d'un concours pour un organisme public, les notes suivent une loi normale $X \sim N(\mu, \sigma)$. Le jury ne publie pas directement les paramètres $\mu$ et $\sigma$, mais fournit deux données techniques sur les notes :

• La note éliminatoire de $65$ points se situe exactement à $0,75$ écarts types en dessous de la moyenne.

• Seulement $2,28\,\%$ des candidats ont dépassé $86$ points (pour la loi normale centrée réduite, on a $P(Z > 2) = 0,0228$).

1. a) Écrire l'équation reliant directement $65$ à $\mu$ et $\sigma$ en traduisant l'information sur sa position relative après centrage et réduction.
2. b) Déduire la valeur de la variable centrée réduite $Z$ correspondant à la note de $86$ points et poser la seconde équation du système.
3. c) Résoudre le système obtenu pour calculer la moyenne $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de l'épreuve.

Dans un centre de préparation aux concours d'entrée à l'université, on a observé que les notes d'un examen blanc de mathématiques appliquées suivent une loi normale $N(\mu, \sigma)$. On sait que $15,87\%$ des élèves ont obtenu une note supérieure à $8$ points, tandis que $2,28\%$ n'ont pas atteint $3$ points. Calculer la moyenne $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de cette loi à l'aide de la table de la loi normale centrée réduite $Z \sim N(0, 1)$.

Trois élèves de lycées différents veulent comparer leurs résultats à un test d'aptitude linguistique. Les épreuves étant différentes, les scores suivent des lois normales différentes :

• Léa a obtenu $72$ points à un examen avec $N(60, 8)$.

• Hugo a obtenu $80$ points à un examen avec $N(70, 12)$.

• Camille a obtenu $65$ points à un examen avec $N(55, 5)$.

Déterminer, en centrant et réduisant les variables, lequel des trois élèves occupe la meilleure position relative par rapport à son groupe de référence. Justifier la réponse en comparant les valeurs de la variable centrée réduite $Z$.

Une entreprise qui fabrique des composants électroniques garantit que la durée de vie de ses batteries suit une loi normale de moyenne $800$ jours. À la suite d'une étude de qualité, on détermine que la probabilité qu'une batterie dure plus de $1000$ jours est seulement de $0,0062$.

1. a) Déterminer la valeur de l'écart type $\sigma$ de la production.
2. b) Si l'entreprise décide de remplacer toutes les batteries qui durent moins de $k$ jours, quelle valeur doit avoir $k$ pour que seulement $5\%$ des batteries vendues doivent être remplacées ?

Le temps que les adolescents d'une ville consacrent chaque jour aux réseaux sociaux suit une loi normale $X \sim N(120, 20)$, le temps étant mesuré en minutes.

Calculer la probabilité qu'un adolescent choisi au hasard consacre aux réseaux sociaux entre $100$ et $150$ minutes, sachant qu'il y consacre plus de $110$ minutes. (Remarque : utiliser la définition de la probabilité conditionnelle ainsi que la standardisation de la variable).

On sait que la masse des paquets de café conditionnés automatiquement par une machine suit une loi normale d'écart type $\sigma = 15$ grammes. La machine a été réglée de sorte que $97,5\%$ des paquets aient une masse supérieure à $470,6$ grammes.

1. a) Calculer la masse moyenne $\mu$ à laquelle la machine a été programmée.
2. b) Avec ce réglage, quelle est la probabilité qu'un paquet choisi au hasard pèse plus de $510$ grammes ?

Dans une étude sur les dépenses mensuelles de loisirs des familles d'un département, on a constaté qu'elles suivent une loi normale. On sait que la dépense moyenne est de $250$ euros. Si $20\%$ des familles dépensent plus de $320$ euros :

1. a) Calculer l'écart type de la distribution.
2. b) Déterminer l'intervalle de dépense, symétrique par rapport à la moyenne, dans lequel se situent les $90\%$ centraux des familles du département.

Les tailles des élèves de terminale d'un lycée suivent une loi normale $X \sim N(172, 9)$. Le proviseur souhaite sélectionner les $5\%$ des élèves les plus grands pour l'équipe de basket et les $5\%$ des élèves les plus petits pour une étude ergonomique.

1. a) À partir de quelle taille les élèves sont-ils sélectionnés pour l'équipe de basket ?
2. b) Quelle est la taille maximale pour faire partie de l'étude ergonomique ?
3. c) Quelle est la probabilité qu'un élève mesure exactement $172$ cm ? Justifier la réponse en s'appuyant sur la nature des variables continues.

Soit $X$ une variable aléatoire continue qui suit une loi normale $N(\mu, \sigma)$. On définit la variable centrée réduite $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$. Démontrer, à l'aide des propriétés de la standardisation et de la symétrie de la courbe de Gauss, que les probabilités suivantes sont égales :

1. $P(\mu - \sigma < X < \mu + 2\sigma)$

2. $P(-1 < Z < 2)$

Calculer cette valeur à l'aide de la table de la loi $N(0, 1)$.

Pour analyser la consommation d'énergie d'une région pendant la saison hivernale, on modélise la demande électrique quotidienne par une variable $X \sim N(3200, 400)$ en mégawatts (MW). On souhaite calculer le pourcentage de jours où la demande se situe dans l'intervalle de consommation modérée, compris entre $2600\text{ MW}$ et $3800\text{ MW}$. Deux analystes proposent des méthodes différentes :

• Méthode 1 (symétrie centrale) : observer que les extrémités sont à la même distance de la moyenne $\mu = 3200$, standardiser l'extrémité supérieure $z_2$ et calculer la probabilité sous la forme $2 \cdot [P(Z \le z_2) - 0,5]$.

• Méthode 2 (différence standard de fonctions de répartition) : standardiser les deux extrémités $z_1$ et $z_2$ et appliquer directement $P(z_1 \le Z \le z_2) = P(Z \le z_2) - P(Z \le z_1)$, puis transformer la queue gauche avec $P(Z \le z_1) = 1 - P(Z \le -z_1)$.

1. a) Développer entièrement les deux méthodes numériquement sachant que $P(Z \le 1,5) = 0,9332$ et vérifier qu'elles conduisent à la même probabilité.
2. b) Justifier laquelle des deux méthodes minimise le risque d'erreurs de signe lorsqu'on travaille avec des tables qui ne contiennent que des valeurs positives de $Z$.
3. c) Si l'intervalle d'étude devenait $[2800, 4000]\text{ MW}$, expliquer si la méthode 1 resterait valable ou s'il faudrait obligatoirement recourir à la méthode 2.

La durée de trajet en minutes d'une ligne de train à grande vitesse en France suit une loi normale $X \sim N(\mu, 12)$. La compagnie exploitante s'engage sur la ponctualité : si le trajet dépasse $165$ minutes, elle indemnise les voyageurs en leur remboursant le prix du billet. La direction se fixe comme objectif de qualité qu'au plus $1\,\%$ des trains donnent lieu à une indemnisation ; pour cela, on prend la valeur critique $P(Z \le 2,33) \approx 0,99$.

1. a) Modéliser la situation à l'aide de la variable centrée réduite et calculer quelle doit être la durée moyenne de trajet $\mu$ programmée pour respecter cet engagement avec la dispersion actuelle ($\sigma = 12$ minutes).
2. b) L'équipe d'ingénieurs propose deux projets de modernisation :

• Projet A : réduire la durée moyenne à $\mu_A = 140$ minutes, mais la dispersion passerait à $\sigma_A = 11$ minutes à cause de nouveaux arrêts.

• Projet B : conserver la moyenne $\mu$ obtenue à la question a), mais investir dans la technologie des voies pour ramener l'écart type à $\sigma_B = 9$ minutes.

Comparer les variables centrées réduites associées à la limite d'indemnisation ($165$ minutes) dans les deux propositions et expliquer lequel des deux projets permet la plus grande réduction du pourcentage de trains donnant lieu à indemnisation.

1. c) Expliquer ce qu'implique concrètement, du point de vue de l'usager, le fait que deux lignes ferroviaires de moyennes et d'écarts types différents présentent exactement la même valeur centrée réduite $Z$ par rapport à leur seuil de retard.

Défi du chapitre. Le climat de votre ville suit-il une courbe de Gauss ? Vous allez le vérifier en analysant des températures réelles.

1. Recueil des données et paramètres : Rendez-vous sur Météo-France (ou sur le portail météorologique de votre région) et téléchargez les températures maximales quotidiennes des $30$ derniers jours. Saisissez les données dans un tableur et déterminez la moyenne $\mu$ et l'écart type $\sigma$ pour définir votre modèle $X \sim N(\mu, \sigma)$.

2. Standardisation et probabilités : Fixez un seuil de chaleur significatif (par exemple $x = 28,5\,^\circ\text{C}$). Centrez et réduisez la variable à l'aide de $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ et utilisez la table de la $N(0,1)$ pour calculer $P(X \ge x)$. Comparez cette probabilité théorique avec la fréquence réelle obtenue dans votre échantillon.

3. Visualisation et conclusions : Dans GeoGebra, représentez la fonction de densité de votre $N(\mu, \sigma)$ en coloriant l'aire calculée. Rédigez un bref compte rendu (une page) analysant si la loi normale modélise correctement le comportement thermique de votre région.

Seront évalués :

• La précision de l'estimation des paramètres $\mu$ et $\sigma$ avec le tableur.

• La rigueur des calculs lors de la standardisation et du calcul des probabilités avec la table $N(0,1)$.

• La qualité de la représentation graphique dans GeoGebra et la confrontation critique entre le modèle théorique et les données empiriques.