Exercices: Probabilités d'une N(0,1)

Une étude sur le temps que les jeunes passent sur un célèbre réseau social de vidéos courtes établit que, une fois les données centrées réduites, la variable suit la loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$. On choisit un utilisateur au hasard. Calculer la probabilité que son temps d'utilisation soit inférieur ou égal à $1,45$ unités standardisées. Utiliser la représentation graphique pour identifier l'aire demandée.

Lors d'un tournoi d'e-sport, le temps de réaction des joueurs professionnels a été normalisé de sorte à suivre une loi $N(0,1)$. On considère qu'un « temps de réaction lent » correspond à toute valeur supérieure à $0,82$. Déterminer la probabilité qu'un joueur choisi au hasard ait un temps de réaction lent, c'est-à-dire calculer $P(Z > 0,82)$.

Le score à un test d'aptitude musicale pour adolescents suit la loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$. Le département de musique d'un lycée décide de renforcer l'accompagnement des élèves dont le score standardisé est inférieur à $-1,2$. Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait besoin de ce soutien ?

Une application de langues enregistre la progression quotidienne des utilisateurs. L'amélioration du vocabulaire, après centrage et réduction des données, suit une loi normale $N(0,1)$. Calculer la probabilité qu'un utilisateur améliore son vocabulaire d'une valeur comprise entre $0,5$ et $1,5$ unités standardisées.

Dans une usine de chaussures de sport, le contrôle qualité de la résistance de la semelle s'effectue à l'aide d'une variable centrée réduite $Z \sim N(0,1)$. Les ingénieurs veulent identifier la valeur positive $k$ telle que la probabilité qu'une semelle ait une résistance inférieure ou égale à $k$ soit égale à $0,975$. Chercher dans la table de la loi normale centrée réduite cette valeur de $k$.

Le temps d'attente dans la file d'un festival de musique, mesuré sous forme standardisée, suit une loi $N(0,1)$. Les organisateurs veulent déterminer un intervalle central $[-k ; k]$ qui contienne $95\%$ des spectateurs. Sachant que $P(-k \le Z \le k) = 0,95$, utiliser la symétrie de la courbe de Gauss pour déterminer la valeur critique $z_{\alpha/2}$ correspondante.

Les notes d'un baccalauréat blanc ont été centrées réduites et suivent la loi normale centrée réduite. Un élève qui veut se situer au-dessus de $22,66\%$ des moins bons résultats doit obtenir un score standardisé supérieur à $-0,75$. Calculer la probabilité $P(Z > -0,75)$ en utilisant les propriétés de symétrie de la loi normale.

Soit une variable aléatoire continue qui suit la loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$. Calculer la probabilité que la variable prenne ses valeurs dans l'intervalle $[-1,1 ; 0,4]$. Pour résoudre ce type d'intervalles, il faut appliquer la formule :

Une élève, Irène, calcule la probabilité $P(Z \le -1,35)$ pour une variable normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$. Comme la table de la loi normale centrée réduite ne contient que des valeurs positives, elle cherche la valeur $1,35$, observe que $P(Z \le 1,35) = 0,9115$ et conclut sur sa copie : « Comme il s'agit d'une valeur négative, la probabilité cumulée est $P(Z \le -1,35) = -0,9115$ ».

1. a) Expliquer quelle erreur conceptuelle grave commet Irène par rapport à la définition et aux propriétés fondamentales d'une probabilité.
2. b) En s'appuyant sur la symétrie de la courbe de Gauss par rapport à l'axe vertical $Z = 0$, déduire la relation correcte entre $P(Z \le -1,35)$ et les aires de la moitié droite de la courbe.
3. c) Corriger la démarche d'Irène et calculer la valeur numérique exacte de $P(Z \le -1,35)$.

On considère une variable qui suit la loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$.

1. a) Avant tout calcul, effectuer une estimation raisonnée : la probabilité $P(-0,50 \le Z \le 1,20)$ sera-t-elle strictement supérieure, inférieure ou égale à $0,50$ ? Justifier la réponse en analysant la part de l'aire totale que renferme l'intervalle à gauche et à droite de la moyenne $\mu = 0$.
2. b) Vérifier l'estimation en calculant la valeur exacte de $P(-0,50 \le Z \le 1,20)$. Détailler chacune des transformations par symétrie utilisées.

(Données : $P(Z \le 0,50) = 0,6915$ ; $P(Z \le 1,20) = 0,8849$).

Dans une étude sur les performances d'une nouvelle intelligence artificielle, les temps de réponse ont été standardisés et suivent une loi normale $N(0,1)$. Calculer les probabilités suivantes à l'aide de la table de la loi normale :

1. La probabilité qu'un temps standardisé soit supérieur à $1,32$ ; c'est-à-dire $P(Z > 1,32)$.

2. La probabilité que le temps soit inférieur à $-0,45$ ; c'est-à-dire $P(Z < -0,45)$.

Les scores d'un test d'aptitude pour des jeunes de 18 ans ont été normalisés de sorte à suivre une loi $N(0,1)$. On choisit un candidat au hasard. Déterminer la probabilité que son score standardisé appartienne à l'intervalle $[-1,24 ; 2,13]$.

Soit une variable aléatoire continue $Z$ qui suit la loi normale centrée réduite $N(0,1)$. Déterminer la valeur de la constante positive $k$ qui vérifie chacune des conditions suivantes :

1. $P(Z \leq k) = 0,8708$

2. $P(Z > k) = 0,0228$

Lors du contrôle qualité d'une usine de composants électroniques, on utilise la loi $N(0,1)$ pour analyser les écarts par rapport au diamètre nominal. Calculer la probabilité qu'une pièce choisie au hasard présente un écart (en valeur absolue) inférieur ou égal à $1,96$ unités d'écart type. Autrement dit, déterminer :

Un algorithme de réseau social classe la pertinence des publications à l'aide d'une variable $Z \sim N(0,1)$. On sait que les $10\%$ des publications les plus pertinentes reçoivent une mention spéciale. À partir de quelle valeur de $Z$ une publication fait-elle partie de ces $10\%$ supérieurs ? (Déterminer la valeur critique $z_{\alpha}$ telle que $P(Z > z_{\alpha}) = 0,10$).

En utilisant les propriétés de symétrie de la courbe en cloche de Gauss pour la loi normale centrée réduite $Z$, calculer les probabilités suivantes sans lire de valeurs négatives dans la table :

1. $P(Z > -1,5)$

2. $P(-0,8 \leq Z \leq 0)$

On a constaté que le niveau de bruit dans une bibliothèque, une fois standardisé, suit une loi $N(0,1)$. Si la probabilité que le bruit dépasse un niveau $k$ est égale à $0,33$, déterminer la valeur de $k$.

Déterminer la valeur de $a$ pour que l'égalité suivante soit vérifiée pour la loi normale centrée réduite $N(0,1)$ :

Expliquer la signification graphique de ce résultat par rapport à l'aire centrale sous la courbe de Gauss.

Météo-France utilise des anomalies standardisées pour classer les températures mensuelles par rapport à des séries historiques de référence. On suppose que l'indice thermique standardisé d'un mois donné suit la loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$. Le protocole météorologique classe un mois comme « très chaud » si son indice standardisé est strictement supérieur à $1,40$, et comme « froid » s'il est inférieur à $-0,80$.

1. a) Modéliser la situation à l'aide de la notation des probabilités et calculer la proportion théorique de mois qui seront classés « très chauds » à long terme.
2. b) Déterminer la probabilité qu'un mois choisi au hasard ait un comportement thermique intermédiaire, c'est-à-dire que son indice standardisé appartienne à l'intervalle $[-0,80 ; 1,40]$.

(Données de la table $N(0,1)$ : $P(Z \le 0,80) = 0,7881$ ; $P(Z \le 1,40) = 0,9192$).

Soit $Z$ une variable aléatoire continue qui suit la loi normale centrée réduite $N(0,1)$.

1. a) Déterminer la valeur positive $k$ pour laquelle $P(-k \le Z \le k) = 0,8064$. Expliquer le raisonnement : indiquer l'aire de chacune des deux queues extérieures et la probabilité cumulée totale à chercher dans le corps de la table.
2. b) Déterminer la valeur de la constante réelle $c$ qui vérifie la condition $P(Z \ge c) = 0,7357$. Justifier d'abord, sans calcul, le signe que doit nécessairement avoir $c$ grâce à la symétrie de la courbe en cloche par rapport à $0$, puis formaliser le calcul de sa valeur numérique.

(Données du corps de la table : $P(Z \le 0,63) = 0,7357$ ; $P(Z \le 1,30) = 0,9032$ ; $P(Z \le 1,67) = 0,9525$).

Dans une étude sur l'efficacité d'un nouvel algorithme de recommandation d'un réseau social, on a déterminé que le temps de présence supplémentaire des utilisateurs suit une loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$. Si la plateforme souhaite identifier le groupe d'utilisateurs « ultra-actifs », c'est-à-dire ceux dont le temps centré réduit appartient à un intervalle symétrique par rapport à la moyenne contenant exactement 88,82 % de la population, calculer la valeur critique $k$ qui définit les bornes de cet intervalle.

Calculer la valeur de la constante positive $a$ sachant que, pour une loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$, la probabilité que la variable prenne des valeurs dans l'intervalle compris entre $-a$ et $a$ est le triple de la probabilité qu'elle prenne des valeurs supérieures à $a$. Utiliser les propriétés de symétrie de la courbe en cloche pour poser une équation avant de consulter la table.

Un analyste de données d'une ligue d'e-sports étudie l'« indice de réflexes » des joueurs professionnels, qui suit une loi $N(0,1)$. On sait qu'un joueur est sélectionné pour l'équipe nationale si son indice est supérieur à une valeur $z_0$. Si l'on choisit un joueur au hasard et que l'on sait que son indice est positif, la probabilité qu'il soit sélectionné pour l'équipe nationale est de 0,3412. Déterminer la valeur du score seuil $z_0$ nécessaire pour intégrer l'équipe.

Soit une variable aléatoire continue $Z$ qui suit une loi normale de moyenne $0$ et d'écart type $1$. Déterminer la valeur de $k$ telle que l'égalité suivante soit vérifiée :

Expliquer en justifiant la démarche, en indiquant comment vous utilisez la propriété de l'événement contraire et la symétrie de la loi.

Pour une loi $N(0,1)$, on considère les points $z_1$ et $z_2$ tels que $z_1$ est le percentile 20 et $z_2$ est la valeur qui laisse à sa droite une probabilité de 0,15. Calculer la probabilité que la variable $Z$ appartienne à l'intervalle $[z_1, z_2]$. Arrondir à quatre décimales les valeurs intermédiaires lues dans la table.

Soit $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Déterminer la valeur de la constante $c > 0$ pour que la condition suivante portant sur la valeur absolue de la variable soit vérifiée :

Ensuite, en utilisant la valeur de $c$ trouvée, calculer la probabilité conditionnelle $P(Z > -c \text{ | } Z < c)$.

On a conçu un test d'aptitude scolaire dont les résultats suivent une $N(0,1)$. L'institution qui attribue les bourses décide que :

• Les 10 % d'élèves ayant les meilleures notes recevront la « Bourse d'excellence ».

• Les 25 % d'élèves ayant les notes les plus basses seront exclus de toute aide.

Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ne fasse partie d'aucun de ces deux groupes extrêmes et que, de plus, sa note centrée réduite soit supérieure à la moyenne.

Soit $Z \sim N(0,1)$. Déterminer la valeur de $k$ sachant que l'aire de la région colorée sur la figure ci-dessous (qui correspond à la probabilité $P(k < Z < 2k)$) est égale à 0,1359.

Remarque : vous devrez exprimer les probabilités à l'aide de la fonction de répartition $\phi(z)$ et chercher dans la table la valeur qui rend possible la différence d'aires.

Pour calculer la probabilité qu'une variable normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$ s'écarte de sa moyenne de plus de $1,50$ unités en valeur absolue, c'est-à-dire $P(|Z| > 1,50)$, deux camarades de classe proposent deux stratégies différentes :

• Stratégie A (par complémentaire) : Déterminer l'aire de l'intervalle central avec $P(-1,50 \le Z \le 1,50) = P(Z \le 1,50) - P(Z \le -1,50)$, puis calculer $1 - P(-1,50 \le Z \le 1,50)$.

• Stratégie B (par symétrie directe des queues) : Identifier que les deux queues ont la même aire et calculer directement $2 \cdot P(Z > 1,50) = 2 \cdot [1 - P(Z \le 1,50)]$.

1. a) Démontrer formellement que ces deux expressions algébriques sont identiques en utilisant la propriété $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$.
2. b) Comparer les deux démarches et justifier laquelle est la plus avantageuse pour minimiser le risque d'erreurs de signe et réduire le nombre de lectures dans la table.
3. c) En employant la stratégie que vous jugez optimale, calculer $P(|Z| > 1,50)$ sachant que $P(Z \le 1,50) = 0,9332$.
4. d) Sans effectuer de longs calculs, déduire en justifiant la valeur de la probabilité conditionnelle $P(Z > 1,50 \mid |Z| > 1,50)$ en vous appuyant exclusivement sur la symétrie géométrique des régions concernées.

Dans une évaluation diagnostique des compétences du système éducatif, les scores globaux ont été centrés et réduits en une variable normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$.

1. a) Un comité technique propose de délimiter une plage de « performance représentative » par un intervalle d'amplitude fixe égale à $1$ unité de la forme $[a; a+1]$. Démontrer qualitativement, à partir de la forme en cloche et unimodale de la fonction de densité de Gauss, quelle valeur doit prendre $a$ pour que cet intervalle contienne la probabilité maximale possible. Calculer cette probabilité maximale sachant que $P(Z \le 0,50) = 0,6915$.
2. b) L'administration souhaite répartir les élèves évalués en trois niveaux équiprobables (« Initial », « Intermédiaire » et « Avancé »), de sorte que chaque groupe contienne exactement un tiers de la population (probabilité $1/3 \approx 0,3333$). Les seuils sont établis ainsi : Initial pour $Z < z_1$, Intermédiaire pour $z_1 \le Z \le z_2$, et Avancé pour $Z > z_2$.

1. Démontrer que, par symétrie par rapport à la moyenne $0$, on a nécessairement $z_1 = -z_2$.

2. Poser l'équation de la probabilité cumulée qui permet de déterminer $z_2$ et trouver sa valeur à deux décimales sachant que $P(Z \le 0,43) = 0,6664$ et $P(Z \le 0,44) = 0,6700$.

1. c) Si, au lieu de trois niveaux, on divisait la distribution en quatre quartiles équiprobables à l'aide des points de coupure $Q_1$, $Q_2$ et $Q_3$, justifier géométriquement pourquoi $Q_2 = 0$ et justifier pourquoi il suffit de chercher une seule valeur dans le corps de la table pour déterminer les trois quartiles.