Exercices: Paramètres statistiques d'une loi N

Une mairie a analysé le temps que mettent les bus de la ligne circulaire pour effectuer leur trajet. Elle a constaté que ce temps suit une loi normale de moyenne $25$ minutes et d'écart type $4$ minutes. Identifier les paramètres de cette loi et l'écrire avec la notation abrégée $X \sim N(\mu, \sigma)$.

Observer le graphique suivant, qui représente la distribution des masses des chatons nouveau-nés dans un refuge pour animaux. Sachant que la distribution est symétrique, indiquer graphiquement la valeur de la moyenne de la population $\mu$.

Deux marques d'ampoules, « LuzEterna » et « BrilloMax », ont une durée de vie moyenne de $1200$ heures. Cependant, l'écart type de « LuzEterna » est de $50$ heures, tandis que celui de « BrilloMax » est de $150$ heures.

• Laquelle des deux marques propose un produit plus « homogène » ou régulier dans sa durée de vie ?

• Si vous deviez tracer les deux courbes en cloche sur le même repère, laquelle serait la plus haute et la plus étroite ?

À l'épreuve de géographie du baccalauréat, les notes ont suivi une loi $N(6,5; 1,2)$, alors qu'en histoire elles ont suivi une loi $N(7,2; 1,2)$.

• Quel paramètre est identique dans les deux matières ?

• Expliquer ce que signifie ce paramètre dans le contexte de la « dispersion » des notes des élèves.

La loi normale centrée réduite est un cas particulier très utilisé en statistiques pour pouvoir utiliser les tables d'aires. Indiquer les valeurs fixes de sa moyenne ($\mu$) et de son écart type ($\sigma$). La représenter symboliquement.

On a représenté ci-dessous deux courbes de lois normales qui modélisent le temps de charge de deux modèles de smartphones différents. Les deux ont le même écart type. Lequel des deux modèles (A ou B) a la moyenne de population $\mu$ la plus grande ? Justifier votre réponse en vous appuyant sur la position des courbes sur l'axe.

Un nutritionniste affirme que la consommation quotidienne de sucre des adolescents d'une ville suit une loi normale. Si l'on note cette variable $X \sim N(45 ; 8)$, les valeurs étant en grammes :

• Quelle est la valeur attendue de la consommation de sucre pour un adolescent choisi au hasard ?

• Quel paramètre indique si les données sont très regroupées autour de cette valeur ou très dispersées ?

Imaginez que vous comparez la précision de deux machines qui découpent des tasseaux de bois. La machine 1 coupe selon une loi $N(100\,;\,0{,}1)$ et la machine 2 selon une loi $N(100\,;\,0{,}5)$ (en centimètres).

• Laquelle des deux machines est la plus précise ?

• Relier la notion de « précision » à la valeur de l'écart type $\sigma$ dans une loi normale.

Lucie analyse la dépense mensuelle d'électricité des ménages de sa commune, qui suit une loi normale $X \sim N(60\,;\,12)$ en euros. Pour l'année prochaine, le fournisseur d'électricité annonce une mise à jour des tarifs qui transforme de manière affine le coût mensuel selon la formule $Y = 1,05 \cdot X + 8$ (une hausse de $5\%$ sur la consommation plus $8$ € fixes d'entretien).\n\nLucie affirme dans son rapport : « Comme chaque facture est multipliée par $1,05$ et augmentée de $8$ €, les deux paramètres changent de la même façon, donc la nouvelle loi sera $Y \sim N(1,05 \cdot 60 + 8\,;\,1,05 \cdot 12 + 8) = N(71\,;\,20,6)$ ».\n\na) Identifier l'erreur conceptuelle commise par Lucie et expliquer, du point de vue de la dispersion des données, pourquoi ajouter une quantité fixe ne modifie pas l'écart type.\nb) Corriger le calcul et écrire la loi normale correcte que suit la variable $Y$.

À partir de séries climatiques de Météo-France, on modélise la température maximale quotidienne durant le mois de mai dans deux villes par des lois normales : dans la ville côtière A, elle suit $X_A \sim \mathcal{N}(21\,;\,2)$ en °C, tandis que dans la ville intérieure B, elle suit $X_B \sim \mathcal{N}(21\,;\,5)$ en °C.\n\na) Interpréter la signification des paramètres $\mu$ et $\sigma$ dans les deux villes : dans laquelle le climat est-il le plus régulier ou prévisible en mai ? Relier votre réponse à la largeur et à la hauteur de leurs courbes en cloche respectives.\nb) Si une association veut organiser une course populaire et a besoin que la température ne dépasse pas $25$ °C pour éviter les coups de chaleur, dans laquelle des deux villes y a-t-il la plus grande probabilité de dépasser cette limite ? Justifier en comparant à combien d'écarts types la valeur $25$ °C se situe de la moyenne dans chaque ville, sans consulter de table.

Dans un jeu vidéo de stratégie populaire, les points d'expérience obtenus par les joueurs lors d'une mission précise suivent une loi normale de moyenne $\mu = 4500$ points et d'écart type $\sigma = 800$ points. Si les développeurs veulent attribuer une médaille spéciale seulement aux $15\%$ des joueurs qui obtiennent les scores les plus élevés, à partir de combien de points cette médaille commencera-t-elle à être attribuée ?

Le temps de charge complète d'un nouveau modèle de trottinette électrique suit une loi normale $N(240, 20)$, où le temps est mesuré en minutes.

Un adolescent affirme que sa trottinette met habituellement moins de $215$ minutes à se charger.

1. a) Calculer la probabilité qu'une trottinette choisie au hasard mette moins de ces $215$ minutes.
2. b) Si le fabricant améliore la batterie et que la nouvelle loi devient $N(230, 15)$, la probabilité de mettre moins de $215$ minutes a-t-elle augmenté ou diminué ? Justifier votre réponse en calculant la nouvelle probabilité.

Une étude a été réalisée sur le temps que les jeunes de $16$ à $18$ ans passent chaque jour sur un célèbre réseau social de vidéos courtes. On sait que ce temps suit une loi normale de moyenne $\mu = 110$ minutes. Sachant que $33\%$ des utilisateurs passent plus de $125$ minutes par jour sur la plateforme, calculer la valeur de l'écart type $\sigma$ de cette loi.

La masse des cartables des élèves d'un lycée suit une loi normale de moyenne $\mu = 6,2$ kg et d'écart type $\sigma = 1,4$ kg. Déterminer l'intervalle de fluctuation centré sur la moyenne qui contient $90\%$ des masses des cartables des élèves. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte du problème.

Les notes obtenues lors d'un devoir surveillé de mathématiques suivent une loi normale $X \sim N(5,8; 1,2)$. Sans utiliser la table de la loi normale pour cette question, et en vous appuyant sur les propriétés de symétrie de la courbe en cloche, sachant que $P(X \leq k) = 0,72$, calculer en justifiant :

1. a) $P(X > k)$
2. b) $P(X \leq 5,8)$
3. c) $P(5,8 - (k - 5,8) \leq X \leq k)$

Une entreprise de livraison express garantit que le temps de livraison de ses colis dans une ville suit une loi normale d'écart type $12$ minutes. Après analyse de milliers d'envois, on observe que seulement $2,5\%$ des colis mettent plus de $75$ minutes à être livrés. À partir de ces informations, calculer le temps moyen ($\mu$) de livraison de l'entreprise.

On présente ci-dessous deux graphiques représentant la distribution de la durée de vie de deux types d'ampoules LED de marques différentes, A et B. Les deux suivent une loi normale.

1. a) En observant la forme des courbes, laquelle des deux marques a le plus grand écart type ? Justifier en reliant la dispersion à la forme de la courbe en cloche.
2. b) Si la marque A suit une loi $N(25000, 2000)$ et la marque B une loi $N(28000, 3500)$, calculer la probabilité qu'une ampoule de la marque A dure plus longtemps que la durée moyenne de la marque B.

Dans une station de ski, l'épaisseur de neige au mois de janvier suit une loi normale de moyenne $85$ cm et d'écart type $18$ cm.

1. a) Quelle est la probabilité qu'un jour de janvier l'épaisseur soit supérieure à $100$ cm ?
2. b) Pour pouvoir ouvrir une piste noire, une épaisseur minimale de $x$ cm est nécessaire, et l'on sait que cette piste est ouverte $70\%$ des jours de janvier. Quelle est cette épaisseur minimale $x$ ?

Une coopérative d'huile d'olive conditionne des bidons dont le volume en millilitres suit une loi normale $X \sim N(\mu ; 15)$, d'écart type $\sigma = 15$ ml,. La réglementation d'étiquetage exige de garantir qu'au moins $95\%$ des bidons contiennent $1000$ ml ou plus (c'est-à-dire $P(X \ge 1000) = 0,95$, ou de manière équivalente $P(X < 1000) = 0,05$).\n\na) Estimer : Avant de calculer, justifier si la moyenne $\mu$ à laquelle on doit régler la machine doit être supérieure, égale ou inférieure à $1000$ ml. Sachant que, pour toute loi normale, l'intervalle $]\mu - \sigma ;\ \mu + \sigma[$ concentre $68,26\%$ de la production et $]\mu - 2\sigma ;\ \mu + 2\sigma[$ en concentre $95,44\%$, estimer entre quelles valeurs approximatives devrait se situer $\mu$.\nb) Vérifier : Calculer avec précision la valeur que doit avoir $\mu$ sachant que, pour une loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$, on a $P(Z \le 1,645) = 0,95$ (et, par symétrie, $P(Z \le -1,645) = 0,05$). Comparer le résultat avec votre estimation préalable et apprécier s'il est cohérent avec la marge de sécurité de la coopérative.

Le temps de livraison (en minutes) des tournées en heure de pointe d'une entreprise de logistique suit une loi normale $X \sim N(40 ; 6)$ (moyenne $40$ min, écart-type $6$ min). La direction établit un indice de coût opérationnel lié au retard, défini par la transformation affine $Y = 1,5 \cdot X - 30$ (en euros). On souhaite calculer la probabilité que le coût d'une livraison dépasse $45$ €.\n\nDeux membres de l'équipe proposent des stratégies différentes :\n- Méthode 1 : Déterminer d'abord les paramètres de la nouvelle variable $Y$ en appliquant la transformation affine $Y \sim N(a\mu+b\ ;\ a\sigma)$, puis centrer et réduire directement la valeur $45$ pour la loi de $Y$.\n- Méthode 2 : Isoler, à partir de l'inéquation $1,5 \cdot X - 30 > 45$, le temps de livraison de la variable d'origine $X$ qui correspond à ce coût, puis centrer et réduire cette valeur pour $X \sim N(40 ; 6)$.\n\na) Appliquer les deux méthodes en détaillant les étapes intermédiaires et vérifier qu'elles conduisent exactement à la même valeur de $Z$ centrée réduite. Calculer cette probabilité sachant que $P(Z \le 1,67) = 0,9525$.\nb) Discuter en justifiant laquelle des deux méthodes serait la plus avantageuse et la plus efficace si l'entreprise avait besoin de calculer non seulement cette probabilité, mais aussi les percentiles $10$, $50$ et $90$ du coût $Y$.

L'algorithme d'un réseau social connu analyse le temps de visionnage des « reels » par les utilisateurs. On a constaté que ce temps suit une loi normale $X \sim N(\mu ; \sigma)$. Les analystes de données ont établi que seulement $15,87\%$ des utilisateurs passent plus de $45$ minutes par jour, tandis que $2,28\%$ passent moins de $10$ minutes. Calculer, en justifiant, le temps moyen de visionnage ($\mu$) et l'écart type ($\sigma$) du comportement des utilisateurs de ce réseau social.

Une entreprise de livraison durable utilise des trottinettes électriques pour ses tournées. L'autonomie des batteries de ces trottinettes suit une loi normale de moyenne $60$ km. On sait que la probabilité qu'une trottinette ait une autonomie supérieure à $75$ km est égale à $0,0668$. À la suite d'une mise à jour logicielle, l'autonomie de toutes les trottinettes augmente de $10\%$ plus un supplément fixe de $2$ km. Déterminer l'écart type initial des batteries et les nouveaux paramètres (moyenne et écart type) après la mise à jour logicielle.

Lors d'un championnat d'e-sport, le score obtenu par les joueurs lors d'une phase de qualification suit une loi normale $N(\mu, \sigma)$. Le comité d'organisation a établi que l'intervalle de fluctuation centré sur la moyenne pour $95,44\%$ des joueurs est $[1250 ; 1750]$ points.

1. Calculer la moyenne et la variance du score des joueurs.

2. Si, pour accéder à la finale, il faut figurer parmi le « top » $5\%$ des meilleurs joueurs, quel est le score minimal nécessaire ?

Un fabricant de composants pour télescopes spatiaux produit des lentilles dont le diamètre suit une loi normale. D'après le contrôle qualité, la moyenne est de $120$ mm. Pour qu'une lentille soit acceptée, son diamètre doit appartenir à l'intervalle $[118 ; 122]$ mm. Si le fabricant souhaite que $99,73\%$ de sa production soit acceptable afin d'éviter des pertes économiques, quelle doit être la valeur maximale de l'écart type du procédé de fabrication ?

L'empreinte carbone annuelle (en tonnes de $CO_2$) des ménages d'une ville européenne suit une loi normale. On a observé que $33\%$ des ménages émettent moins de $4,5$ tonnes et que $33\%$ des ménages émettent plus de $6,2$ tonnes.

1. Justifier si la distribution est symétrique et calculer l'empreinte carbone moyenne de la ville.

2. Déterminer l'écart type de l'empreinte carbone de ces ménages.

Le temps que met un élève pour terminer une épreuve de mathématiques du baccalauréat suit une loi normale. On sait que le temps moyen est de $70$ minutes. Si la probabilité qu'un élève termine l'épreuve en moins de $60$ minutes est égale à la probabilité qu'il mette plus de $k$ minutes, et que la variance de la distribution est $25$, déterminer la valeur de $k$ en utilisant les propriétés des paramètres de la loi normale.

Une étude sur le sommeil des adolescents indique que le nombre d'heures de repos quotidien suit une loi normale. Si la valeur de la variance est numériquement égale à la moyenne, et que la probabilité de dormir plus de $10,36$ heures est de seulement $0,0228$, calculer la valeur de la moyenne ($\mu$) et de l'écart type ($\sigma$). (Remarque : vous devrez résoudre une équation du second degré en $\sqrt{\mu}$.)

Deux plateformes de streaming musical, « SoundCloud » et « Melody », se disputent le temps d'utilisation quotidien de leurs jeunes abonnés.

• Sur « SoundCloud », le temps suit une $N(45, 10)$.

• Sur « Melody », le temps suit une $N(40, 15)$.

Un utilisateur est considéré comme « très actif » lorsqu'il dépasse $65$ minutes d'écoute par jour :

1. Sur quelle plateforme est-il le plus probable de trouver un utilisateur « très actif » ?

2. Quelle valeur devrait avoir l'écart type de « Melody » pour que, en gardant sa moyenne égale à $40$, le pourcentage d'utilisateurs « très actifs » soit exactement le même que sur « SoundCloud » ?

Dans une étude sur le salaire mensuel des jeunes diplômés en sciences sociales en France, on suppose que la rémunération suit une loi normale $X \sim N(\mu, \sigma)$. Après avoir traité l'information de deux enquêtes d'insertion professionnelle par centrage et réduction, l'équipe de recherche pose le système d'équations linéaires suivant pour calculer les paramètres de la distribution :\n$$\begin{cases} \mu - 1,28 \cdot \sigma = 1100 \\ \mu + 0,84 \cdot \sigma = 1600 \end{cases}$$\n\na) Problème inverse (reconstruction) : interpréter et déduire quelles sont les deux informations probabilistes (ou en pourcentage) concernant les salaires de $1100$ € et $1600$ € qui ont conduit à ce système. On s'appuiera sur le fait que, pour une loi normale centrée réduite $Z \sim N(0,1)$, on a $P(Z \le 1,28) = 0,90$ et $P(Z \le 0,84) = 0,80$.\nb) Résoudre le système pour déterminer le salaire moyen $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ de cette population.\nc) Le ministère du Travail retient un seuil salarial de $1300$ € et l'on constate que $25\,\%$ des diplômés perçoivent un salaire inférieur à ce montant. Écrire l'équation linéaire en $\mu$ et $\sigma$ qui modéliserait cette nouvelle information. (Donnée de la loi normale centrée réduite : $P(Z \le 0,67) = 0,7486 \approx 0,75$.)

Le délai d'attente (en jours) pour une intervention chirurgicale programmée dans un service de santé régional suit une loi normale $X \sim N(90, 20)$. La loi de garanties fixe un délai maximal de $120$ jours ; si le patient attend plus longtemps, l'administration doit l'orienter vers un établissement privé conventionné, avec le surcoût public correspondant.\n\na) Modéliser la situation actuelle en calculant le pourcentage de patients devant être réorientés parce qu'ils dépassent $120$ jours. (Donnée : $P(Z \le 1,5) = 0,9332$).\nb) La direction de l'hôpital ne dispose du budget que pour appliquer une seule des deux mesures suivantes :\n- Plan A : Recruter des renforts au bloc opératoire pour réduire la moyenne de $10$ jours, en conservant la même dispersion organisationnelle ($X_A \sim N(80, 20)$).\n- Plan B : Standardiser les protocoles de convocation et de préparation préopératoire pour réduire l'écart type de moitié, en conservant la moyenne ($X_B \sim N(90, 10)$).\nCalculer le nouveau pourcentage de réorientations obtenu avec chacun des plans. (Données : $P(Z \le 2) = 0,9772$ ; $P(Z \le 3) = 0,9987$).\nc) Justifier mathématiquement pourquoi réduire l'écart type (Plan B) est beaucoup plus efficace pour limiter le pourcentage de réorientations que réduire la moyenne (Plan A), en analysant la rapidité avec laquelle les probabilités décroissent dans la queue d'une courbe en cloche lorsqu'on s'éloigne de la moyenne en unités de $\sigma$.