Exercices: Lois uniforme et exponentielle

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[2 ; 10]$. Calculer $P(X \leqslant 5)$ et $P(4 \leqslant X \leqslant 7)$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0 ; 1]$. Donner son espérance, puis calculer $P(X > 0,35)$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,5$. Calculer $P(X \leqslant 2)$ et $P(X > 3)$ (arrondir au millième), puis donner $E(X)$.

Un bus arrive à un arrêt de Bordeaux à un instant aléatoire entre $8$ h $00$ et $8$ h $20$, de façon uniforme. Léa arrive à l'arrêt à $8$ h $00$.

1. a) Quelle est la probabilité que Léa attende moins de $5$ minutes ?
2. b) Quelle est la probabilité qu'elle attende plus de $12$ minutes ?
3. c) Quel est le temps d'attente moyen ?

La durée de vie $X$, en années, d'un composant électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$.

1. a) Calculer la probabilité que le composant dure moins de $3$ ans (arrondir au centième).
2. b) Calculer la probabilité qu'il dure plus de $5$ ans.
3. c) Calculer la durée de vie moyenne.
4. d) Déterminer $t$ tel que $P(X \leqslant t) = 0,5$ (arrondir au centième).

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; 4]$ par $f(x) = \dfrac{x}{8}$ et nulle ailleurs.

1. a) Montrer que $f$ est une densité de probabilité.
2. b) Soit $X$ de densité $f$. Calculer $P(1 \leqslant X \leqslant 3)$.
3. c) Calculer l'espérance $E(X) = \int_0^4 x f(x)\,dx$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$.

1. a) Montrer que, pour tous réels $s, t \geqslant 0$, $P_{X > s}(X > s + t) = P(X > t)$ (absence de mémoire).
2. b) Un serveur informatique a une durée de fonctionnement avant panne, en heures, suivant une loi exponentielle avec $E(X) = 1\,000$. Sachant qu'il a fonctionné $500$ heures, calculer la probabilité qu'il fonctionne encore au moins $1\,000$ heures (arrondir au millième).
3. c) Déterminer la durée $t$ telle que la probabilité de panne avant $t$ soit égale à $0,9$ (arrondir à l'heure).

Une usine de Lille fabrique des tiges dont la longueur $X$ (en cm), à partir d'une valeur nominale, est modélisée par la loi uniforme sur $[a ; b]$.

1. a) Montrer que l'espérance de $X$ vaut $\dfrac{a+b}{2}$ en calculant $\int_a^b \dfrac{x}{b-a}\,dx$.
2. b) On sait que $E(X) = 20$ et que $P(X \leqslant 19) = 0,25$. Déterminer $a$ et $b$.
3. c) Une tige est conforme si sa longueur est dans $[19,5 ; 21]$. Calculer la probabilité qu'une tige soit conforme, puis la probabilité que, sur $10$ tiges indépendantes, exactement $8$ soient conformes (arrondir au millième).

Soit $X$ de loi exponentielle de paramètre $\lambda$ et $F(x) = P(X \leqslant x)$ sa fonction de répartition.

1. a) Montrer que $\displaystyle\int_0^A \lambda x e^{-\lambda x}\,dx = \dfrac{1}{\lambda} - \left(A + \dfrac{1}{\lambda}\right)e^{-\lambda A}$ et en déduire $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.
2. b) Pour $\lambda = 0,02$, déterminer le plus petit entier $n$ tel que $P(X > n) \leqslant 0,01$.
3. c) Soit $Y$ la variable aléatoire égale à $\lceil X \rceil$ (partie entière supérieure). Montrer que, pour tout entier $k \geqslant 1$, $P(Y = k) = e^{-\lambda(k-1)}(1 - e^{-\lambda})$, et reconnaître la loi de $Y$.