Exercices: Primitives de forme composée

Calculer l'intégrale indéfinie suivante d'une fonction puissance composée, en ajustant la constante nécessaire pour que l'expression à intégrer coïncide avec la dérivée de la fonction intérieure :

Déterminer la primitive de la fonction exponentielle dont la dérivée nécessite un petit ajustement numérique du coefficient :

Déterminer l'intégrale indéfinie de la fonction rationnelle suivante. Observer que le numérateur est presque la dérivée du dénominateur : il s'agit donc d'une intégrale de type logarithmique :

Calculer l'intégrale de la fonction trigonométrique suivante. Se rappeler qu'en intégrant $\cos(f(x))$, il faut tenir compte de la dérivée de l'argument $f'(x)$ :

Résoudre l'intégrale de la fonction racine suivante. Pour faciliter le calcul, l'exprimer d'abord comme une puissance d'exposant fractionnaire :

Dans l'étude d'une campagne publicitaire sur les réseaux sociaux, on a déterminé que le rythme de croissance du nombre d'abonnés d'un compte, $x$ jours après le début de la campagne, est donné par la fonction $f'(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$, avec $x \geq 0$.

Déterminer l'expression générale de la fonction du nombre total d'abonnés $f(x)$, sachant qu'il s'agit d'une intégrale de type logarithmique :

Calculer l'intégrale de la fonction puissance suivante multipliée par une constante. Veiller à identifier correctement la dérivée de la base pour ajuster le coefficient :

Une entreprise de messagerie a calculé que son coût marginal (le coût d'envoi d'un colis supplémentaire) suit la fonction $C'(x) = 6 \cdot e^{3x}$. Déterminer l'expression de la fonction de coût total $C(x)$ en calculant son intégrale indéfinie :

Lors d'une évaluation écrite, Hélène devait calculer l'intégrale indéfinie suivante :

Voici sa résolution :

1. a) Dériver la fonction $F(x) = 5 \ln|3x + 2|$ obtenue par Hélène et vérifier si elle coïncide avec l'expression initiale à intégrer. Expliquer avec vos mots quel facteur numérique elle a oublié d'inclure et pourquoi la dérivée d'une fonction composée oblige à diviser par 3 lorsqu'on intègre des expressions à argument affine $ax+b$.
2. b) Écrire la résolution correcte étape par étape et déterminer la primitive particulière $G(x)$ dont la courbe passe par le point $(0 ; 2)$.

On vous demande de calculer l'intégrale indéfinie :

1. a) Méthode 1 : Développer d'abord le carré du binôme et intégrer le polynôme obtenu terme à terme.
2. b) Méthode 2 : La résoudre directement comme une intégrale de type puissance $\int [u(x)]^n \cdot u'(x) \, dx$, en ajustant la constante nécessaire pour faire apparaître la dérivée de l'argument intérieur.
3. c) Développer l'expression obtenue avec la méthode 2 et expliquer pourquoi les deux solutions sont correctes et équivalentes bien qu'elles diffèrent par le terme constant. Quelle méthode choisiriez-vous si l'énoncé demandait de calculer $\int (4x - 1)^6 \, dx$ ? Justifier ce choix.

Un créateur de contenu a constaté que le taux de croissance de ses abonnés sur un réseau social suit une fonction marginale donnée par $f'(x) = (2x + 5)^3$, où $x$ représente le temps en mois. Calculer la famille de primitives $F(x)$ qui décrivent le nombre total d'abonnés.

Une entreprise de messagerie détermine que le coût marginal d'envoi d'un colis à une distance $x$ (en centaines de kilomètres) est donné par la fonction $C'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 4}$. Déterminer la fonction de coût total $C(x)$, sachant qu'il existe des frais de gestion fixes (lorsque $x=0$) de $10$ euros.

La vitesse de charge d'une batterie au graphène en laboratoire suit la fonction $v(t) = t \cdot e^{t^2}$, où $t$ est le temps en minutes. Calculer la fonction qui représente l'énergie totale accumulée $E(t)$, sachant qu'à l'instant initial $t = 0$, l'énergie accumulée est de $5$ unités.

Calculer les primitives de la fonction suivante, en appliquant la formule des fonctions de type logarithmique :

La figure donne la courbe de la fonction à intégrer $f(x)=\dfrac{\cos(x)}{2+\sin(x)}$.

Déterminer la primitive de la fonction $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ dont la courbe représentative passe par le point $P(4\,;\,10)$. Indice : Exprimer la racine sous la forme d'une puissance d'exposant négatif pour identifier la forme de la fonction composée.

Le service marketing d'une marque de baskets a constaté que les ventes quotidiennes $V(t)$ varient de façon saisonnière selon la dérivée $V'(t) = 100 \cdot \cos(2t)$, où $t$ est le temps en jours écoulés depuis le début de la campagne. Déterminer la fonction des ventes totales $V(t)$ sachant que le premier jour ($t=0$), $500$ ventes ont été réalisées.

Résoudre l'intégrale indéfinie suivante en identifiant la structure de la dérivée d'une fonction composée (de type puissance) :

On considère la fonction $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$.

1. a) Déterminer sa primitive générale $F(x)$, écrite sous la forme $F(x) = \ldots + C$, où $C$ est la constante d'intégration.

1. b) Déterminer la valeur de la constante $C$ pour que la primitive vérifie $F(0) = \ln(2) + 3$.

On considère la famille de fonctions rationnelles continues dépendant d'un paramètre réel $k \neq 0$ :

1. a) Calculer la famille générale de primitives $F_k(x) = \int f_k(x) \, dx$, en indiquant par quelle constante il faut multiplier et diviser pour la transformer en une intégrale de type logarithmique $\frac{u'(x)}{u(x)}$.
2. b) Déterminer les valeurs exactes de $k$ et de la constante d'intégration $C$ sachant que la primitive cherchée vérifie simultanément deux conditions : sa courbe coupe l'axe des ordonnées en $y = 1$ et passe aussi par le point $(4 ; 1 + \ln(5))$.
3. c) Avec la primitive particulière obtenue à la question précédente, justifier si $F(x)$ admet un point à tangente horizontale dans son ensemble de définition, sans avoir à appliquer de nouveau les règles de dérivation depuis le début.

Dans une exploitation agricole intensive d'Almería, le débit instantané d'eau demandé par un système de fertirrigation durant les 4 premières heures de fonctionnement continu est régi par la fonction marginale :

où $t$ représente le temps écoulé en heures ($t \in [0, 4]$) et $c(t)$ est exprimé en mètres cubes par heure ($\text{m}^3/\text{h}$).

1. a) Avant de calculer la primitive, estimer de façon argumentée le volume total d'eau consommé pendant ces 4 heures : calculer le débit au début ($t=0$) et à la fin de l'intervalle ($t=4$), puis utiliser ces deux valeurs extrêmes pour établir un minorant et un majorant de la consommation totale.
2. b) Modéliser la fonction de volume cumulé d'eau $V(t) = \int c(t) \, dt$ comme une intégrale de type puissance composée avec argument affine, sachant qu'à l'instant initial aucune eau n'avait encore été consommée ($V(0) = 0$).
3. c) Calculer à l'aide de $V(4)$ le volume exact consommé au bout des 4 heures et vérifier si l'estimation de la question a) était cohérente avec cette valeur exacte.

Calculer la primitive de la fonction $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^6}}$ qui s'annule en 0 (dont la courbe passe par l'origine du repère). La figure donne la courbe de $f$, définie sur $]-1\,;\,1[$, qui admet des asymptotes verticales en $x=-1$ et $x=1$. Indication : essayer de relier l'exposant du numérateur à celui du dénominateur pour repérer une structure de type arc sinus.

Un nouveau jeu vidéo en monde ouvert consomme des données mobiles selon un débit donné par la fonction $D'(t) = \frac{e^t}{1 + e^{2t}}$, où $t$ est le temps en heures et $D'(t)$ se mesure en gigaoctets par heure (Go/h). Si au début de la partie ($t=0$) le compteur de données indiquait $0,5$ Go, déterminer la fonction $D(t)$ qui permet de calculer la consommation totale cumulée à tout instant.

Déterminer les primitives de la fonction suivante, en effectuant les ajustements de constantes nécessaires pour que le numérateur soit exactement la dérivée de la fonction intérieure :

Un influenceur analyse le rythme de croissance de ses abonnés sur un réseau social. La vitesse de croissance est donnée par $S'(t) = \frac{300 \cdot \ln t}{t}$ abonnés par jour, où $t$ est le temps en jours écoulés depuis le lancement d'une campagne publicitaire ($t \ge 1$). Sachant qu'à l'instant initial ($t=1$) il comptait $5\,000$ abonnés, déterminer l'expression de la fonction $S(t)$.

Déterminer toutes les primitives de la fonction $f(x) = \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 13}$.

Calculer la primitive $F(x)$ de la fonction $f(x) = \dfrac{\tan x}{\cos^2 x}$ qui vérifie la condition $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2$. Quelle valeur prendrait la fonction en $x = 0$ ?

Dans un laboratoire de biologie, on étudie la propagation d'une bactérie. Le taux de variation de la population $P(t)$ en fonction du temps $t$ (en heures) suit la loi :

Si, initialement ($t=0$), il y a $1\,000$ bactéries, déterminer la population de bactéries au bout de $2$ heures.

Déterminer la fonction $f(x)$ sachant que sa dérivée seconde est $f''(x) = 12x^2 - 6x$ et que la tangente à sa courbe au point d'abscisse $x = 1$ est la droite $y = 4x - 2$.

Remarque : cet exercice demande d'intégrer deux fois de suite des fonctions faisant intervenir des puissances de fonctions composées.

D'après des données statistiques de l'INSEE sur les incidents dans les transports en commun d'une métropole, le taux auquel sont enregistrées les réclamations d'usagers (en centaines de personnes par heure) au cours d'une journée de travail entre 6 h ($t=0$) et 14 h ($t=8$) est décrit par la fonction marginale :

où $t$ est le temps écoulé en heures depuis 6 h.

1. a) Identifier la structure de la fonction à intégrer : exprimer le numérateur comme un multiple de la dérivée du dénominateur, écrire l'ajustement de constante nécessaire et déterminer la famille de primitives $R(t) = \int r(t) \, dt$.
2. b) Déterminer la fonction $R(t)$ qui exprime le nombre cumulé de réclamations (en centaines), sachant qu'à 6 h du matin aucune réclamation cumulée n'était enregistrée ($R(0) = 0$).
3. c) Un porte-parole de l'entreprise de transport affirme publiquement qu'avant 14 h ($t=8$) on ne dépassera en aucun cas 1500 réclamations. Modéliser et étudier analytiquement si cette affirmation est vraie ou fausse. Si elle est fausse, calculer à quelle heure exacte de la journée (en heures et minutes) la 1500e réclamation a été atteinte.

Lors d'un devoir, un élève propose la résolution suivante pour l'intégrale $\int e^{-x^2} \, dx$ :

« Comme la dérivée de l'exposant est $(-x^2)' = -2x$, je multiplie par $-2x$ à l'intérieur de l'intégrale et je compense en divisant par $-2x$ à l'extérieur pour avoir la dérivée en facteur :

1. a) Dériver la fonction $F(x) = -\frac{1}{2x} e^{-x^2}$ obtenue par l'élève en appliquant la formule de dérivation d'un produit ou d'un quotient et démontrer que le résultat ne coïncide pas avec la fonction à intégrer $e^{-x^2}$.
2. b) Expliquer l'erreur conceptuelle de fond : pourquoi la propriété de linéarité $\int k \cdot f(x)\, dx = k \int f(x)\, dx$ n'est-elle applicable que lorsque $k$ est une constante réelle non nulle et ne permet-elle pas de sortir des expressions qui dépendent de la variable d'intégration $x$ ?
3. c) En s'appuyant sur l'explication précédente, étudier les trois intégrales suivantes. Justifier rigoureusement lesquelles sont de forme composée et les résoudre en ajustant la constante correspondante, puis identifier celle qui ne peut structurellement pas être résolue ainsi :