Exercices: Primitive d'une fonction

Soit la fonction $f(x) = 4x^3 - 6x + 1$. Vérifier en justifiant si la fonction $F(x) = x^4 - 3x^2 + x + 5$ est l'une de ses primitives. Pour cela, utiliser la définition d'une primitive fondée sur la dérivation.

Déterminer l'ensemble de toutes les primitives de la fonction polynôme $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$. Penser à inclure la constante d'intégration $C$ et à expliquer ce que représente géométriquement cette valeur sur le graphique des fonctions obtenues.

Calculer la primitive de la fonction $f(x) = e^x + \cos(x)$ qui passe par l'origine du repère, c'est-à-dire par le point $(0\,;\,0)$.

Dans le service marketing d'une célèbre marque de baskets, on a déterminé que le revenu marginal (la dérivée du revenu total) est donné par la fonction $I'(x) = 100 - 4x$, où $x$ représente le nombre d'unités vendues. Déterminer la fonction de revenu total $I(x)$ sachant que si aucune unité n'est vendue, le revenu est nul ($I(0) = 0$).

Déterminer l'intégrale indéfinie de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}$ pour les valeurs de $x > 0$. Utiliser la linéarité de l'intégrale pour traiter chaque terme séparément.

Déterminer la fonction $F(x)$ dont la dérivée est $f(x) = \sqrt{x}$ et qui vérifie la condition $F(1) = 2$. Exprimer le résultat final avec l'exposant sous forme de fraction.

Un drone se déplace de telle sorte que sa vitesse en mètres par seconde suit la fonction $v(t) = 2t + 3$. Si à l'instant initial ($t = 0$) le drone se trouve à la position $s = 10$ mètres, obtenir la fonction de position $s(t)$ en intégrant la fonction vitesse.

Déterminer une fonction $G(x)$ telle que $G'(x) = 5 \cdot e^x - 2x$ et dont la courbe passe par le point $(0 ; 7)$. Une fois la fonction trouvée, vérifier le résultat en dérivant la fonction obtenue.

Charles affirme que les fonctions $F(x) = \ln(x^2+1)$ et $G(x) = \ln(3x^2+3)$ ne peuvent pas être des primitives d'une même fonction parce que, dans leurs expressions algébriques, ne figure explicitement aucune constante numérique ajoutée, c'est-à-dire qu'il n'observe pas la forme $G(x) = F(x) + C$.

1. a) Dériver les deux fonctions et vérifier si Charles a raison ou si, au contraire, elles ont toutes deux la même dérivée $f(x)$.
2. b) Identifier l'erreur conceptuelle de Charles en appliquant les propriétés des logarithmes à $G(x)$ et déterminer la valeur exacte de la constante réelle $C$ qui vérifie $G(x) = F(x) + C$.

On souhaite vérifier si la fonction $F(x) = \dfrac{2x-1}{x^2+1}$ est une primitive de $f(x) = \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2+1)^2}$. Pour y répondre, deux camarades de classe débattent de la stratégie à suivre :

• Mathis propose de calculer directement l'intégrale $\int \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2+1)^2} \, dx$ à l'aide des méthodes d'intégration des fonctions rationnelles.

• Sarah propose de dériver la fonction $F(x)$ en appliquant la formule de dérivation d'un quotient et de comparer le résultat obtenu avec l'expression de $f(x)$.

1. a) Justifier laquelle des deux méthodes est la plus directe et la plus adaptée au regard de la définition mathématique d'une primitive.
2. b) Appliquer la méthode la plus adaptée pour déterminer, en justifiant, si $F(x)$ est ou non une primitive de $f(x)$.

Soit la fonction $f(x) = \dfrac{6x}{x^2+3} + 4e^{2x}$. Vérifier si la fonction $F(x) = 3 \ln(x^2+3) + 2e^{2x} + \pi$ est l'une de ses primitives. Justifier la réponse à l'aide de la définition d'une primitive et expliquer le rôle de la constante $\pi$ dans ce contexte.

Un drone de surveillance se déplace en ligne droite et sa vitesse en mètres par seconde, au bout de $t$ secondes, est donnée par la fonction $v(t) = 3t^2 - 6t + 10$. Sachant qu'à l'instant initial ($t=0$) le drone se trouve à une distance de 15 mètres du point de contrôle, déterminer l'expression de la fonction de position $s(t)$.

Une start-up de développement d'applications mobiles estime que le revenu marginal (en milliers d'euros) pour chaque millier de téléchargements supplémentaires de sa nouvelle application est donné par la fonction :

$I'(x) = \dfrac{1}{x+1} + 2x$

où $x$ représente le nombre de milliers de téléchargements ($x > 0$).

Déterminer la fonction de revenu total $I(x)$, sachant que s'il n'y a aucun téléchargement ($x=0$), le revenu est nul.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la fonction $F(x) = a \cdot e^{x^2} + b \cdot \ln(x)$ soit une primitive de la fonction $f(x) = 4x \cdot e^{x^2} + \dfrac{5}{x}$. Une fois ces valeurs trouvées, écrire l'expression de toutes les primitives de $f(x)$.

La dérivée d'une fonction $f(x)$ est $f'(x) = 6x^2 - 10x + 1$. Déterminer l'expression de $f(x)$ sachant que sa courbe coupe l'axe des ordonnées (axe $Y$) au point $y = 7$.

Déterminer la fonction $f(x)$ dont on sait que la dérivée seconde est $f''(x) = 12x - 4$. On sait de plus que la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 1$ est horizontale, et que la courbe passe par le point $(0 ; 5)$.

Le coût marginal de fabrication d'un nouveau modèle d'écouteurs sans fil est défini par la fonction $C'(q) = \sqrt{q+4}$, où $q$ est le nombre d'unités produites. Si les coûts fixes de l'usine (coûts lorsque la production est nulle) s'élèvent à $5000$ euros, déterminer la fonction de coût total $C(q)$.

Parmi toutes les primitives de la fonction $f(x) = \dfrac{2}{x-2} + 3x^2$, déterminer celle dont la courbe passe par le point $(3\,;\,10)$. Exprimer le résultat sous forme simplifiée à l'aide de logarithmes népériens.

Une coopérative de livraison du dernier kilomètre dans une ville française renouvelle sa flotte en achetant des camionnettes électriques. L'équipe économique estime que le rythme de variation du coût total hebdomadaire est modélisé par la fonction de coût marginal $C'(x) = 12x + 50$ (en euros par semaine et par véhicule supplémentaire), où $x \geq 0$ est le nombre de véhicules en service. On sait que les coûts fixes hebdomadaires (coûts de structure lorsqu'aucun véhicule n'est en tournée, $x = 0$) sont de $1\,800$ euros.

1. a) Modéliser la fonction de coût total hebdomadaire $C(x)$ en calculant sa primitive et en justifiant comment se détermine la valeur de la constante d'intégration.
2. b) La fonction de coût moyen par véhicule est définie par $\bar{C}(x) = \dfrac{C(x)}{x}$. Calculer le coût moyen si la coopérative utilise une flotte de $10$ camionnettes et expliquer, en le justifiant, pourquoi le terme du coût moyen dû à la constante d'intégration (coût fixe moyen) diminue lorsque la taille de la flotte augmente.

Trouver une fonction affine $f(x) = ax + b$ sachant que l'une de ses primitives (il en existe une infinité), que l'on notera $F_1(x)$, vérifie simultanément les trois conditions suivantes :

1. Elle admet un extremum local au point d'abscisse $x = 2$.

2. Sa courbe coupe l'axe vertical des ordonnées au point $(0 ; -5)$.

3. Sa valeur en cet extremum local est exactement $3$, c'est-à-dire $F_1(2) = 3$.

1. a) Déduire l'expression de $f(x)$ et la formule de la primitive $F_1(x)$, en expliquant clairement quelle information l'existence d'un extremum local de $F_1$ apporte sur la valeur de $f(2)$.
2. b) Déterminer si l'extremum local en $x = 2$ est un maximum ou un minimum local, en argumentant à partir du signe de la fonction $f(x)$ de part et d'autre de ce point.

On considère la fonction de bénéfice marginal d'une jeune entreprise de développement logiciel, définie par la fonction par morceaux suivante :

où $x$ représente le nombre d'années depuis la création de l'entreprise et $f(x)$ le rythme de croissance des bénéfices en milliers d'euros par an.

Déterminer la fonction de bénéfices cumulés $F(x)$ sachant qu'elle est continue sur tout son ensemble de définition et qu'au moment de son lancement ($x=0$) l'entreprise disposait de fonds initiaux de $10$ milliers d'euros.

Une célèbre plateforme de streaming a établi que la vitesse d'acquisition de nouveaux abonnés en France suit la fonction $v(t) = \frac{\ln(t+1)}{(t+1)^2}$, où $t$ est le temps en mois écoulé depuis une campagne de marketing viral.

Déterminer la fonction donnant le nombre total d'abonnés supplémentaires $S(t)$ générés par la campagne, sachant qu'à l'instant initial ($t=0$) aucun abonné n'était attribuable à cette campagne. Exprimer le résultat sous forme simplifiée en utilisant l'intégration par parties.

Soit la fonction $f(x) = \frac{ax^2 + b}{x^2}$. Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ sachant que l'une de ses primitives, $F(x)$, vérifie simultanément les trois conditions suivantes :

1. Sa courbe passe par le point $P(1 ; 4)$.

2. Elle admet un extremum local au point d'abscisse $x = 2$.

3. La tangente à la courbe de $F(x)$ en $x = -1$ a un coefficient directeur égal à $3$.

Une équipe de sociologues étudie la vitesse de propagation d'une fausse information sur un réseau social. Ils établissent que le rythme de partages par heure est donné par la fonction :

Déterminer l'expression de la fonction $C(t)$ représentant le nombre total de partages cumulés, sachant qu'à l'heure du début de l'étude ($t=0$), $100$ partages avaient déjà été effectués. Utiliser la décomposition en éléments simples pour calculer l'intégrale et donner le résultat sous la forme d'un seul logarithme.

La courbe ci-jointe est une parabole qui représente la fonction dérivée $f'(x)$ d'une fonction $f(x)$ continue sur tout l'intervalle $[-2 ; 2]$.

Sachant que $k = 4$ et que la fonction initiale $f(x)$ passe par le point $(0 ; 1)$, déterminer l'expression de $f(x)$ et justifier, à partir de la géométrie de la dérivée, combien de points d'inflexion la primitive admettra sur cet intervalle.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Déterminer la primitive $F(x)$ de la fonction $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}$ qui vérifie la condition $F(1) = 2 \cdot \ln(2)$.

Indication : utiliser le changement de variable $t = \sqrt{x}$.

On sait que le coefficient directeur de la tangente à la courbe d'une fonction $f(x)$ en tout point $(x ; f(x))$ est donné par l'expression $m(x) = (x^2 - 1) \cdot \ln(x)$ pour $x > 0$.

Déterminer l'expression de la fonction $f(x)$ sachant que sa courbe coupe l'axe des abscisses au point $x = 1$. Il faudra appliquer l'intégration par parties et simplifier le polynôme obtenu.

Une entreprise de logistique a calculé que le coût marginal de conservation d'un colis dans son entrepôt central (en euros par jour) dépend du temps $t$ (en jours) selon la fonction :

Déterminer la fonction de coût total $C(t)$ sachant que les coûts fixes d'entrée en entrepôt (coût en $t=0$) s'élèvent à $50$ euros.

Remarque : effectuer d'abord la division polynomiale afin d'obtenir une intégrale immédiate ou presque.

Dans un rapport sur la création nette mensuelle d'emplois dans un secteur technologique au cours du premier semestre de l'année ($0 \leq t \leq 6$, mesuré en mois), le rythme de variation est modélisé par la fonction continue $f(t) = 3t^2 - 12t + 9$ (en centaines d'emplois par mois). La fonction $E(t)$ représente l'emploi net cumulé depuis le début du semestre, avec $E(0) = 0$.

1. a) Sans calculer au préalable l'expression de la primitive $E(t)$ :

• Résoudre l'équation $f(t) = 0$ et étudier le signe de $f(t)$ sur l'intervalle $[0 ; 6]$ pour estimer à quels mois seront atteints un maximum local et un minimum local de l'emploi cumulé.

• Analyser qualitativement les périodes où $f(t) > 0$ par rapport à celles où $f(t) < 0$ afin d'estimer, de façon argumentée, si le bilan final en $t = 6$, $E(6)$, sera positif, négatif ou nul.

1. b) Déterminer analytiquement la primitive $E(t)$ qui vérifie la condition initiale $E(0) = 0$. Calculer exactement les valeurs $E(1)$, $E(3)$ et $E(6)$, les comparer aux prévisions faites à la question précédente et justifier si vos estimations qualitatives étaient correctes.

Dans une centrale photovoltaïque du sud de la France, le taux horaire de production et d'injection d'énergie dans le réseau pendant la matinée est décrit par la fonction continue $f(t)$ (en mégawatts), où $t$ représente le temps en heures écoulé depuis le lever du soleil ($0 \leq t \leq 8$) :

Pour calculer l'énergie cumulée $E(t)$, un élève propose la fonction suivante :

Comme au lever du soleil ($t = 0$) l'énergie cumulée est nulle ($E(0) = 0$), l'élève en déduit que $C = 0$ sur le premier intervalle et conserve cette même valeur pour le second, concluant qu'à 5 heures l'énergie cumulée est $E(5) = 6 \cdot 5 + 0 = 30\text{ MWh}$.

1. a) Expliquer avec rigueur mathématique l'erreur commise par l'élève en attribuant une seule constante $C$ aux deux intervalles. Justifier pourquoi toute primitive doit être dérivable et, par conséquent, continue en $t = 3$, et démontrer que la fonction proposée par l'élève présente une discontinuité par saut en ce point.
2. b) Corriger la démarche : écrire la famille des primitives à l'aide de deux constantes indépendantes ($C_1$ et $C_2$), imposer la condition de continuité en $t = 3$ et déterminer la fonction cumulée correcte $E(t)$ qui vérifie $E(0) = 0$. En déduire l'énergie réellement produite au bout de 5 heures.