Exercices: Intégrales définies. Calcul à l'aide d'une primitive

Calculer la valeur de l'intégrale suivante à l'aide d'une primitive ; elle représente l'aire sous la parabole $f(x) = x^2 + 2$ sur l'intervalle $[0, 3]$ :

Une entreprise de messagerie a constaté que le coût marginal de traitement de ses colis (en euros par colis) est donné par la fonction $C'(x) = 0,06x + 2$, où $x$ est le nombre de colis. Calculer l'augmentation du coût total lorsque le nombre de colis traités passe de 10 à 20, à l'aide de l'intégrale :

Calculer l'aire du domaine plan délimité par la droite $f(x) = 2x - 4$, l'axe $OX$ et les droites verticales $x = 2$ et $x = 5$. Remarquer que sur cet intervalle la fonction est toujours positive ou nulle.

Soit une fonction continue $f(x)$ ; on connaît les valeurs suivantes de ses intégrales :

• $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12$

• $\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4$

À l'aide des propriétés de l'intégrale, calculer la valeur de $\int_{3}^{5} f(x) \, dx$.

Déterminer la valeur de l'intégrale de la fonction exponentielle de base entre 0 et 1 :

Remarque : Exprimer le résultat en fonction du nombre $e$.

Le flux de clients entrant dans un centre commercial un samedi matin peut être modélisé par la fonction $f(t) = 100 + 20t$ (clients par heure), où $t$ est le temps en heures depuis l'ouverture ($t=0$). Calculer le nombre total de clients entrés entre la deuxième et la quatrième heure après l'ouverture :

Calculer l'aire délimitée par la courbe $f(x) = 4 - x^2$ et l'axe des abscisses ($OX$).

Calculer la valeur de l'intégrale suivante d'une fonction rationnelle simple :

Rappel : $\ln(e) = 1$ et $\ln(1) = 0$.

Xavier et Lucie calculent en classe l'intégrale $\int_1^3 (4x - 1)\,dx$. Xavier choisit comme primitive $F(x) = 2x^2 - x$ et obtient un résultat numérique. Lucie, elle, décide d'utiliser la primitive $G(x) = 2x^2 - x + 5$ et affirme avec conviction : « Moi, je dois trouver un résultat supérieur de 5 unités au tien, parce que ma primitive vaut exactement 5 unités de plus en tout point ». a) Expliquer en justifiant l'erreur conceptuelle de Lucie en démontrant, à l'aide de l'expression théorique du calcul d'une intégrale avec une constante $+C$ quelconque, pourquoi la constante disparaît toujours. b) Calculer la valeur de l'intégrale en évaluant d'abord la primitive de Xavier puis celle de Lucie, et vérifier que les deux démarches conduisent nécessairement à la même valeur numérique.

On considère la fonction $f(x) = x^2 + 1$ sur l'intervalle $[1 ; 3]$. La fonction étant continue et strictement croissante sur cet intervalle, l'aire sous sa courbe (donnée par l'intégrale $\int_1^3 (x^2 + 1)\,dx$) est encadrée par l'aire d'un petit rectangle (de base la longueur de l'intervalle et de hauteur la valeur minimale $f(1)$) et l'aire d'un grand rectangle (de même base et de hauteur la valeur maximale $f(3)$). a) Calculer les aires des deux rectangles pour donner une estimation préalable : entre quelles deux valeurs entières le résultat de l'intégrale doit-il se situer ? b) À l'aide d'une primitive de $f$, calculer la valeur exacte de l'intégrale. c) Vérifier que la valeur exacte obtenue respecte l'encadrement estimé et calculer quel pourcentage de l'aire du grand rectangle représente la valeur exacte de l'aire sous la courbe.

Calculer l'aire du domaine du plan délimité par la courbe de la fonction $f(x) = x^2 - 4x + 3$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 2$. Tenir compte de la position de la courbe par rapport à l'axe sur l'intervalle donné pour mener correctement le calcul.

Déterminer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = -x^2 + 4x$ et $g(x) = x$. Pour cela, déterminer d'abord les points d'intersection des deux courbes et esquisser le domaine afin d'identifier laquelle des fonctions est au-dessus sur l'intervalle d'intégration.

Une entreprise de messagerie a estimé que son taux de variation des recettes quotidiennes (en centaines d'euros) est donné par la fonction $I'(t) = 0,3t^2 - 2t + 10$, où $t$ est le temps en heures depuis l'ouverture ($0 \le t \le 8$). Utiliser une primitive pour calculer l'augmentation totale des recettes entre la troisième heure ($t=3$) et la sixième heure ($t=6$) de sa journée.

Déterminer la valeur du paramètre positif $k$ pour que l'aire délimitée par la courbe de la fonction $f(x) = kx^2$, l'axe $OX$ et les droites $x = 0$ et $x = 3$ soit exactement égale à $18$ unités d'aire.

On considère la fonction définie par morceaux :

$f(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 5 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Calculer la valeur de l'intégrale $\int_{0}^{2} f(x) \, dx$ en appliquant la relation de Chasles par rapport à l'intervalle d'intégration.

Un graphiste crée un nouveau logo dont la silhouette supérieure est définie par la fonction $f(x) = 4 - \frac{x^2}{4}$ et la base inférieure par l'axe $OX$. Si le logo est situé entre $x = -2$ et $x = 2$, calculer l'aire totale de la surface du logo à l'aide d'une intégrale.

Déterminer l'aire du domaine fini délimité par la courbe $y = \frac{1}{x}$, l'axe des abscisses et les droites $x = 1$ et $x = e^2$. Exprimer le résultat en unités d'aire, sous forme exacte, à l'aide de logarithmes.

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction $f(x) = x^3 - x$ et l'axe $OX$. Remarquer que la fonction change de signe sur l'intervalle délimité par ses racines ; il faudra donc déterminer ces racines pour poser les intégrales nécessaires.

En raison de la sécheresse estivale dans un bassin hydrographique du sud de la France, le rythme de variation du volume d'eau retenu dans un barrage (mesuré en hectomètres cubes par semaine, $\text{hm}^3\text{/semaine}$) au cours des 6 semaines centrales de l'été ($t \in [0 ; 6]$) suit le modèle : $$v(t) = 0,3t^2 - 1,8t$$ a) Justifier analytiquement, en étudiant le signe de $v(t)$ sur l'intervalle $]0 ; 6[$ et sans calculer d'intégrale, pourquoi le barrage perd de l'eau sans interruption pendant ces six semaines. b) Calculer $\int_0^6 v(t)\,dt$ à l'aide d'une primitive, puis interpréter à la fois le signe et la valeur numérique obtenus en lien avec l'eau retenue. c) Sachant qu'au début de la période ($t=0$) le barrage contenait $45\text{ hm}^3$, déterminer le volume d'eau restant à la fin de la sixième semaine et trouver à quelle semaine précise le rythme de perte a été le plus fort.

Le service fidélisation d'une compagnie de télécommunications en France analyse le rythme des résiliations de contrats après une modification des tarifs. Le rythme auquel se produisent les résiliations (en centaines de clients par mois) est modélisé par la fonction $f(t) = 6 - 0,5t$, où $t \ge 0$ désigne le temps écoulé en mois. On sait qu'après $k$ mois depuis le début ($t=0$), le nombre cumulé de résiliations a atteint $3200$ clients (c'est-à-dire $32$ centaines de clients). a) Poser l'équation reliant l'intégrale $\int_0^k (6 - 0,5t)\,dt$ au total cumulé et calculer l'expression de l'intégrale en fonction de la borne supérieure $k$ à l'aide d'une primitive. b) Résoudre l'équation du second degré obtenue pour trouver les deux valeurs possibles de $k$. c) Justifier laquelle des deux valeurs doit être écartée, en tenant compte du sens économique du problème et de l'ensemble sur lequel le rythme de résiliations a un sens ($f(t) \ge 0$).

Soit la fonction polynôme du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$. On sait qu'elle admet un extremum au point $P(1 ; -4)$ et que l'intégrale de la fonction sur l'intervalle $[0 ; 3]$ est égale à $0$.

1. a) Déterminer les valeurs des paramètres $a$, $b$ et $c$.
2. b) Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $f(x)$ et l'axe des abscisses $OX$.

Une entreprise de logistique a modélisé le flux d'arrivée des colis dans son entrepôt central par la fonction $f(x) = |x^2 - 4x|$, où $x$ représente le nombre d'heures écoulées depuis l'ouverture ($x=0$) jusqu'à la fermeture ($x=5$).

1. a) Exprimer la fonction $f(x)$ comme une fonction définie par morceaux.

1. b) Calculer le nombre total de colis reçus pendant les 5 heures, sachant que cette valeur est égale à l'intégrale de $f(x)$ sur l'intervalle $[0\,;5]$.

1. c) Représenter graphiquement la fonction $f(x)$ sur l'intervalle $[0\,;5]$ et hachurer l'aire associée au calcul de la question b).

On considère les fonctions $f(x) = x^3 - 3x$ et $g(x) = x$. Leurs courbes représentatives sont données sur la figure.

1. a) Déterminer tous les points d'intersection des deux courbes.

1. b) Calculer l'aire totale des domaines finis délimités par les courbes de $f(x)$ et $g(x)$. Attention : les positions relatives des courbes (laquelle est au-dessus) peuvent changer selon les intervalles trouvés.

Le taux de variation du bénéfice net d'une startup technologique (en milliers d'euros par mois) est donné par la fonction $B'(t) = 20 - 10e^{-0,2t}$, où $t$ est le temps en mois écoulé depuis le lancement de son produit phare.

1. a) Si au moment du lancement ($t=0$) le bénéfice cumulé était de $0$ euros, déterminer l'expression de la fonction de bénéfice cumulé $B(t)$.
2. b) Calculer, à l'aide d'une primitive, le bénéfice net total obtenu par l'entreprise entre le mois 5 et le mois 10. Exprimer le résultat en euros, arrondi à l'unité.

Soit la fonction $f(x) = \frac{k}{x^2}$ définie pour $x > 0$. On sait que l'aire du domaine délimité par la courbe de cette fonction, l'axe $OX$ et les droites verticales $x = 1$ et $x = k$ (avec $k > 1$) est égale à $0,75$ unités d'aire.

1. a) Calculer, en justifiant, la valeur du paramètre positif $k$.
2. b) Pour la valeur de $k$ trouvée, déterminer l'équation de la tangente à la courbe en $x = 2$.

Soit la fonction définie par une intégrale $F(x) = \int_{1}^{x^2} \ln(t) \, dt$, définie pour $x \geq 1$ :

1. a) Utiliser le théorème fondamental de l'analyse et la dérivée d'une fonction composée pour déterminer la fonction dérivée $F'(x)$.
2. b) Sans calculer explicitement l'intégrale, déterminer si la fonction $F(x)$ est croissante ou décroissante sur son ensemble de définition et justifier si elle admet un point d'inflexion.
3. c) Calculer la valeur exacte de $F(e)$ à l'aide d'une intégration par parties.

On souhaite concevoir le profil d'une rampe de skatepark. Le bord supérieur suit la courbe $f(x) = e^{x/2}$ et le bord inférieur est délimité par la tangente à cette courbe au point d'abscisse $x = 0$. Le domaine est fermé par la droite verticale $x = 2$.

1. a) Déterminer l'équation de la tangente mentionnée.
2. b) Calculer l'aire de la section transversale de la rampe (le domaine délimité par la courbe, la tangente et la droite verticale).

Calculer l'aire du domaine colorié de la figure, qui représente le logo d'une nouvelle marque de mode. Le logo est délimité par la courbe de la fonction $f(x) = \sqrt{x+4}$, l'axe des ordonnées $OY$ et la droite $y = \frac{1}{2}x + 1$.

Remarque : Vous devez d'abord trouver le point d'intersection des deux courbes dans le premier quadrant afin de déterminer correctement les bornes d'intégration.

On considère la fonction définie par une intégrale $F(x) = \int_2^x (t^3 - 6t^2 + 9t)\,dt$, définie pour tout $x \in \mathbb{R}$. Pour déterminer les intervalles de monotonie et les extrema de $F(x)$, deux élèves proposent deux démarches différentes : la méthode A consiste à calculer d'abord l'expression explicite de $F(x)$ en déterminant une primitive et en calculant l'intégrale à l'aide de celle-ci, puis à dériver par rapport à $x$ ; la méthode B propose d'appliquer directement le théorème fondamental de l'analyse pour écrire $F'(x)$ sans calculer aucune primitive au préalable. a) Développer entièrement la méthode A (en calculant la primitive, en l'appliquant sur $[2\,;\,x]$ puis en dérivant le polynôme obtenu) et vérifier que le résultat coïncide avec celui, immédiat, de la méthode B. b) Comparer les deux démarches : laquelle est la plus efficace ? Justifier pourquoi la méthode A serait impraticable pour un élève de lycée si la fonction sous l'intégrale était $g(t) = e^{-t^2}$, alors que la méthode B permettrait toujours de résoudre le problème. c) À partir de la dérivée $F'(x)$, déterminer les points critiques de $F(x)$, ses intervalles de croissance et de décroissance, et classer en justifiant ses extrema.

Le centre de tri d'une entreprise de commerce en ligne en France surveille le rythme de sortie des commandes au cours d'un poste de 8 heures grâce à la fonction suivante $r(t)$ (exprimée en centaines de colis par heure, avec $t \in [0\,;8]$) : $$r(t) = \begin{cases} a t^2 + b & \text{si } 0 \le t \le 2 \\ 10 - (t - 4)^2 & \text{si } 2 < t \le 8 \end{cases}$$ Pour que les changements de rythme ne provoquent pas d'engorgement opérationnel et qu'il soit légitime de calculer les intégrales à l'aide de primitives, morceau par morceau, sur l'intervalle complet, la fonction $r(t)$ doit être continue. a) Établir et justifier la condition algébrique exacte que doivent vérifier les constantes $a$ et $b$ pour assurer la continuité de $r(t)$ à l'instant de changement de morceau $t = 2$. b) On a constaté que pendant les deux premières heures du poste ($t \in [0\,;2]$), un total cumulé de $800$ colis ($8$ centaines) a été trié. Écrire l'intégrale définie correspondant à ce morceau, la calculer à l'aide d'une primitive et en déduire les valeurs des paramètres $a$ et $b$. c) Avec les valeurs trouvées, calculer le nombre total de colis triés à la fin du poste complet de 8 heures en utilisant la relation de Chasles pour les intégrales, et déterminer à quelle heure précise du poste le rythme de tri maximal a été atteint.