Exercices: Aire sous une courbe

Un athlète s'entraîne pour un marathon. Sa vitesse sur un tronçon de 15 minutes est constante et donnée par la fonction $v(t) = 12$ km/h, où $t$ est le temps en heures. Utiliser l'intégrale pour calculer la distance parcourue (l'aire sous la courbe de vitesse) entre les instants $t = 0$ et $t = 0,25$ heures. Vérifier le résultat à l'aide de la formule géométrique de l'aire d'un rectangle.

Une entreprise de location de trottinettes électriques a constaté que le rythme de consommation d'énergie de l'un de ses modèles suit la fonction $f(x) = 2x + 1$, où $x$ représente les kilomètres parcourus. Calculer l'aire délimitée par la courbe de $f(x)$, l'axe $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 3$. À quelle figure géométrique cette région correspond-elle ?

Calculer l'aire de la région plane limitée par la parabole $f(x) = x^2 + 2$, l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 2$. La fonction étant toujours positive sur cet intervalle, poser directement l'intégrale en utilisant une primitive.

Le service marketing d'une nouvelle application de musique a déterminé que le revenu marginal pour chaque millier de nouveaux abonnés est $I'(x) = 10 - x$ (en centaines d'euros), où $x$ est le nombre de milliers d'abonnés. Calculer le bénéfice total cumulé (aire sous la courbe) lorsque le nombre d'abonnés passe de $x = 1$ à $x = 4$ mille.

Déterminer l'aire du domaine limité par la fonction constante $f(x) = 4$, l'axe $OX$ et les droites $x = -1$ et $x = 2$. Justifier le résultat graphiquement en calculant l'aire du rectangle obtenu sans utiliser d'intégrales.

Calculer l'aire du domaine colorié sur la figure suivante, sachant que la courbe correspond à la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ et que le domaine est limité par l'axe $OX$ et la droite verticale $x = 4$.

Soit la fonction polynôme $f(x) = 3x^2 + 2x$. Déterminer l'aire limitée par sa courbe représentative et l'axe $OX$ sur l'intervalle $[1 ; 2]$. Vérifier que, sur cet intervalle, la fonction ne coupe pas l'axe $OX$ (c'est-à-dire qu'elle est toujours positive), ce qui facilite le calcul direct.

Un graphiste crée un logo qui comprend une forme délimitée par la fonction $f(x) = e^x$. Calculer l'aire de la partie du logo comprise entre l'axe $OX$, la courbe elle-même et les droites $x = 0$ et $x = 1$. (Rappel : une primitive de $e^x$ est elle-même.)

Marc doit calculer l'aire du domaine plan limité par la courbe $f(x) = x^2 - 2x$, l'axe des abscisses ($OX$) et les droites verticales $x = 0$ et $x = 3$. Sur sa copie, il écrit :

« $\text{Aire} = \int_0^3 (x^2 - 2x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_0^3 = \left(\frac{27}{3} - 9\right) - 0 = 0\text{ u}^2$ ».

Ayant obtenu zéro, il conclut que la fonction ne délimite aucune surface avec l'axe sur cet intervalle.

1. a) Relever et justifier l'erreur conceptuelle commise par Marc et expliquer pourquoi une intégrale peut être nulle alors que l'aire géométrique délimitée est strictement positive.
2. b) Corriger la démarche de Marc : déterminer les points d'intersection de la fonction avec l'axe $OX$, découper l'intervalle en les régions correspondantes et calculer la valeur exacte de l'aire réelle.

L'accès à un tunnel de ventilation souterrain a un profil parabolique modélisé par la fonction $f(x) = 9 - x^2$ (où $x$ et $f(x)$ sont mesurés en mètres), délimité en bas par le sol horizontal ($y = 0$). On souhaite déterminer l'aire de la section transversale de cet accès.

1. a) Avant d'intégrer, réaliser un encadrement justifié de l'aire entre deux valeurs numériques : calculer l'aire du rectangle circonscrit à la parabole (en utilisant les points d'intersection avec le sol et la hauteur du sommet) et l'aire d'un triangle isocèle inscrit de même base et de même hauteur. Justifier pourquoi l'aire réelle doit se situer dans cet intervalle.
2. b) Calculer l'aire exacte à l'aide de l'intégrale en utilisant une primitive.
3. c) Vérifier si le résultat obtenu confirme l'encadrement précédent et déterminer quel pourcentage exact de l'aire du rectangle circonscrit la parabole occupe.

Un concepteur de skateparks veut calculer l'aire de la section latérale d'une nouvelle rampe. Le profil de la rampe suit la courbe de la fonction $f(x) = \frac{1}{4}x^2 + 1$ sur l'intervalle $[0 ; 4]$, où $x$ et $y$ sont mesurés en mètres. Calculer l'aire de la paroi latérale comprise entre la rampe, l'axe des abscisses ($OX$) et les droites verticales $x=0$ et $x=4$.

Calculer l'aire de la région du plan comprise entre la courbe représentative de la fonction $f(x) = -x^2 + 4x$ et la droite $g(x) = x$. Pour cela, déterminer d'abord les points d'intersection des deux courbes et réaliser un schéma du domaine.

Une entreprise d'énergie solaire a déterminé que le taux d'économie mensuelle (en milliers d'euros) généré par l'un de ses panneaux après son installation est donné par la fonction $S(t) = t^2 - 6t + 8$, où $t$ est le temps en mois.

1. a) Déterminer pendant quels mois l'économie est négative (les coûts de maintenance dépassent l'économie réalisée).
2. b) Calculer l'économie nette totale (aire au-dessus de l'axe moins aire sous l'axe) pendant les 4 premiers mois.
3. c) Calculer l'aire physique totale comprise entre la courbe et l'axe $OX$ sur l'intervalle $[0, 4]$.

Déterminer l'aire du domaine limité par la courbe $f(x) = x^3 - 4x$ et l'axe des abscisses. Attention : la fonction peut prendre des valeurs positives et négatives ; il faut donc calculer séparément l'aire de chaque région puis les additionner en valeur absolue.

On considère la fonction bénéfice marginal d'une boutique d'applications mobiles $B'(x) = 100 - 2x$, où $x$ est le nombre d'abonnés quotidiens.

1. a) Déterminer la fonction bénéfice $B(x)$ sachant que, pour 0 abonné, le bénéfice est de $-500$ euros (frais fixes).
2. b) Utiliser l'intégrale pour calculer l'augmentation totale du bénéfice lorsque le nombre d'abonnés passe de 20 à 40.

Déterminer la valeur d'un paramètre positif $k$ pour que l'aire du domaine limité par la fonction $f(x) = kx^2$, l'axe $OX$ et la droite verticale $x=3$ soit égale à 18 unités d'aire.

Soit la fonction définie par morceaux :

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & \text{si } 1 < x \le 3 \end{cases}$

Calculer l'aire de la région limitée par la courbe représentative de $f(x)$ et l'axe des abscisses sur l'intervalle $[0, 3]$.

Calculer l'aire du domaine limité par les courbes représentatives des fonctions $f(x) = e^x$ et $g(x) = e^{-x}$ et la droite verticale $x = 1$. Représenter graphiquement le domaine avant de faire le calcul.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Dans une exploitation agricole irriguée de la Région de Murcie, une installation solaire photovoltaïque alimente les pompes à eau. Lors d'une journée d'été dégagée, la puissance électrique instantanée fournie est modélisée par la fonction $P(t) = -2(t - 14)^2 + 50$, où $t$ représente l'heure solaire de la journée ($t \in [9 ; 19]$) et $P(t)$ la puissance en kilowatts ($\text{kW}$). L'énergie totale cumulée (en $\text{kWh}$) est égale à l'aire sous la courbe de puissance.

1. a) Interpréter la signification physique et temporelle des coordonnées du sommet de la parabole dans le contexte de l'exploitation.
2. b) Poser et calculer l'intégrale qui donne l'énergie totale cumulée pendant les heures centrales de la journée, entre $11:00$ h et $17:00$ h ($t = 11$ et $t = 17$).
3. c) Si le coût de l'électricité provenant du réseau pendant cette plage de pointe est de $0,18$ € par $\text{kWh}$, calculer l'économie totale générée par le pompage solaire sur cet intervalle de six heures.

Un architecte conçoit le profil latéral d'un gradin à ciel ouvert pour un auditorium municipal. La structure est délimitée par le sol (l'axe $OX$) et la courbe $f(x) = k \cdot (6x - x^2)$ sur l'intervalle $[0 ; 6]$, où $x$ et $y$ sont en mètres et $k > 0$ est une constante de hauteur à déterminer.

1. a) Poser l'équation intégrale qui représente l'aire latérale sous la courbe en fonction de $k$ et obtenir la valeur exacte de ce paramètre pour que la section occupe exactement $72\text{ m}^2$.
2. b) Avec la valeur de $k$ trouvée, on prévoit de couvrir d'une bâche imperméable la première moitié de l'auditorium (une aire de $36\text{ m}^2$), de $x = 0$ jusqu'à une droite verticale $x = c$. Sans poser d'intégrale supplémentaire, déduire et justifier la valeur de $c$ en utilisant les propriétés de symétrie de la parabole.
3. c) Si la bâche ne devait couvrir qu'un quart de l'aire totale ($18\text{ m}^2$) de $x = 0$ jusqu'à $x = c_1$, poser l'équation polynomiale que $c_1$ devrait vérifier et expliquer, sans la résoudre, pourquoi cette solution doit nécessairement vérifier $0 < c_1 < 3$.

On conçoit un nouveau logo pour une entreprise de technologie financière. La base du dessin est délimitée par les courbes des fonctions $f(x) = -x^2 + 6x$ et $g(x) = 2x$, représentées sur la figure.

1. a) Déterminer les points d'intersection des deux fonctions.
2. b) Calculer l'aire de la région délimitée par les deux courbes, qui représentera la zone principale du logo.
3. c) Si l'on décide d'ajouter une droite verticale $x = k$ (avec $0 < k < 4$) qui partage cette région en deux aires exactement égales, poser l'équation intégrale qui permettrait de trouver la valeur de $k$.

Une plateforme de streaming a constaté que le rythme de croissance des nouveaux abonnés quotidiens (en milliers) suit la fonction $f(t) = t \cdot e^{-t/4}$, où $t$ est le temps en jours depuis le lancement d'une série à succès.

Calculer le nombre total d'abonnés cumulés au cours des 8 premiers jours. Pour cela, vous devrez déterminer l'aire sous la courbe $f(t)$ sur l'intervalle $[0 ; 8]$. Remarque : Utiliser l'intégration par parties.

On considère la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x + 5}{x + 1}$ définie pour $x > -1$.

1. a) Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x)$, l'axe $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 3$.
2. b) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x = 0$.
3. c) Calculer l'aire du triangle formé par cette tangente, l'axe $OX$ et l'axe $OY$, et la comparer à l'aire obtenue à la question a).

Un architecte souhaite concevoir une grande baie vitrée de forme parabolique inversée donnée par la fonction $f(x) = 4 - x^2$. Pour lui donner de la stabilité, une traverse horizontale sera placée le long de la droite $y = a$ (avec $0 \le a < 4$).

Déterminer la valeur de la constante $a$ pour que l'aire de la partie de la baie située au-dessus de la traverse soit exactement égale à $\frac{9}{2}$ unités d'aire.

La fonction de recette marginale d'une coopérative agricole est donnée par $I'(x) = 100 - 0,2x^2$ (en euros par unité vendue), où $x$ représente le nombre de tonnes de produit.

1. a) Calculer la fonction de recette totale $I(x)$ sachant que pour une vente nulle, la recette est nulle.
2. b) Déterminer l'aire délimitée par la courbe $I'(x)$ et l'axe des abscisses sur l'intervalle où la recette marginale est positive. Expliquer la signification économique de cette valeur.

Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction $f(x) = |x^2 - 4|$, l'axe des abscisses et les droites $x = -1$ et $x = 3$.

Conseil : Identifier les intervalles sur lesquels l'expression à l'intérieur de la valeur absolue change de signe et décomposer l'intégrale en une somme de plusieurs intégrales selon le cas.

Soit la parabole $f(x) = x^2 - 4x + 3$, dont la courbe est représentée ci-dessous :

1. a) Déterminer l'équation de la tangente à la parabole au point où celle-ci coupe l'axe $OY$.

1. b) Calculer l'aire du domaine fini délimité par la parabole, la tangente trouvée à la question a) et l'axe des abscisses $OX$.

Calculer l'aire du domaine situé dans le premier quadrant, délimité par la courbe de la fonction $f(x) = \ln(x)$, l'axe des ordonnées $OY$, l'axe des abscisses $OX$ et la droite horizontale $y = 2$.

Remarque : Il peut être utile de calculer l'aire en intégrant par rapport à l'axe des y ou, sinon, en soustrayant des aires de rectangles connus.

On souhaite calculer l'aire du domaine plan situé dans le premier quadrant et limité simultanément par la courbe $y = x^2$, la droite $y = 6 - x$ et l'axe des abscisses ($y = 0$).

1. a) Analyser et comparer les trois stratégies suivantes pour résoudre le problème :

• Stratégie 1 : Déterminer l'intersection des deux fonctions, découper le domaine en deux parties verticales par rapport à l'axe $OX$ et additionner deux intégrales.

• Stratégie 2 : Exprimer $x$ en fonction de $y$ dans les deux équations et intégrer par rapport à l'axe $OY$ à l'aide d'une seule intégrale.

• Stratégie 3 : Intégrer la parabole jusqu'au point d'intersection avec la droite et ajouter l'aire géométrique du triangle formé par la droite et l'axe $OX$, sans intégrer la droite.

Justifier laquelle des trois stratégies est la plus efficace et présente le moins de risque d'erreur de calcul algébrique.

1. b) Résoudre le problème en appliquant la stratégie que vous avez choisie comme la plus adaptée.
2. c) Un élève affirme que l'aire demandée s'obtient directement en calculant $\int_0^6 ((6 - x) - x^2)\,dx$. Expliquer avec rigueur, sur le plan analytique et géométrique, quelle est la double erreur conceptuelle de cette proposition et quelle région du plan cette intégrale représenterait en réalité.

En sociologie économique, la courbe de Lorenz $L(x)$ décrit la distribution des revenus d'un pays, où $x \in [0 ; 1]$ représente la proportion cumulée de la population classée par revenu croissant et $L(x) \in [0 ; 1]$ la proportion cumulée du revenu total perçu par cette population. La droite $y = x$ représente l'égalité parfaite. L'indice de Gini, qui mesure les inégalités, est défini par l'expression $G = 2 \cdot \int_0^1 (x - L(x))\,dx$, de sorte que $G \in [0 ; 1]$ (où $0$ correspond à l'égalité absolue et $1$ à l'inégalité extrême).

Une étude de l'INSEE modélise le revenu d'un territoire avant impôts par la courbe $L(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^3$.

1. a) Vérifier analytiquement que la fonction satisfait les conditions aux bornes de toute courbe de Lorenz ($L(0) = 0$ et $L(1) = 1$) et calculer l'indice de Gini initial du territoire.
2. b) Pour réduire les inégalités sociales, l'administration met en place une réforme fiscale avec transferts directs, et prévoit que la nouvelle courbe de Lorenz soit de la forme $L_k(x) = x^k$ avec $k > 1$. Poser l'équation intégrale correspondante et déterminer la valeur exacte du paramètre $k$ nécessaire pour que l'indice de Gini devienne $0,25$.
3. c) Interpréter ce qui se passerait pour l'aire comprise entre la courbe et la droite d'égalité si le paramètre $k$ se rapprochait progressivement de $1$, et expliquer quelle implication économique aurait ce comportement sur la répartition des richesses.