Exercices: Droite de régression de y en x

On connaît les paramètres statistiques d'une série à deux variables : moyenne de $X$ égale à $4$, moyenne de $Y$ égale à $6$, variance de $X$ égale à $1,5$ et covariance égale à $3$. Déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.

Dans une étude sur la relation entre la quantité d'engrais appliquée ($X$, en kg/ha) et la production obtenue ($Y$, en tonnes/ha), on a calculé la droite de régression de $Y$ en $X$ et on a trouvé $y = 0,4x + 2,1$. Estimer la production obtenue si l'on applique $15$ kg/ha d'engrais.

Soit le tableau suivant donnant trois couples de valeurs d'une série à deux variables :

• $X$ : $1 \quad 2 \quad 3$

• $Y$ : $2 \quad 4 \quad 5$

Calculer le coefficient directeur de la droite de régression de $Y$ en $X$.

La droite de régression de $Y$ en $X$ d'une série à deux variables est $y = 1,2x - 0,5$. Sachant que la moyenne marginale de la variable $X$ est $\bar{x} = 3$, quelle est la valeur exacte de la moyenne marginale $\bar{y}$ ?

Le nuage de points suivant montre la relation entre les années d'expérience d'un groupe de techniciens et leur salaire mensuel en centaines d'euros, ainsi que la droite de régression de $Y$ en $X$. À partir de la représentation graphique, estimer visuellement le salaire attendu pour un technicien ayant $6$ années d'expérience et déterminer l'ordonnée à l'origine de la droite.

Dans une série à deux variables, on sait que les écarts types sont $\sigma_x = 2$ et $\sigma_y = 5$, et que le coefficient de corrélation linéaire est $r = -0,8$. Déterminer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ sachant que le point moyen de la série est le point $(10\,;\,20)$.

Les variables $X$ et $Y$ représentent respectivement le nombre d'heures d'entraînement hebdomadaire et le temps en secondes mis pour parcourir $100$ mètres plat par un groupe d'athlètes. Si la droite de régression de $Y$ en $X$ est $y = -0,5x + 14$, interpréter la signification physique du coefficient directeur de cette droite dans le contexte du problème.

Une série à deux variables a pour sommes les valeurs suivantes : $\sum x_i = 20$, $\sum y_i = 40$, $\sum x_i^2 = 120$, $\sum x_i y_i = 180$, et le nombre total d'observations est $N = 10$. Calculer la covariance et la variance de $X$, et écrire l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.

Marc a obtenu les paramètres statistiques suivants en étudiant la relation entre les heures hebdomadaires de travail en mathématiques ($X$) et la note obtenue dans la matière ($Y$, de $0$ à $10$) dans sa classe de première : $\bar{x} = 6$, $\bar{y} = 6,5$, $\sigma_x^2 = 4$, $\sigma_y^2 = 2,25$ et covariance $\sigma_{xy} = 2,4$. Pour prédire la note qu'obtiendra un élève qui travaille $8$ heures ($x = 8$), Marc écrit dans son cahier :

Il remplace $x = 8$ et conclut que la note estimée sera de $7,6$.

1. a) Identifier les deux erreurs conceptuelles commises par Marc dans l'écriture de l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ et expliquer pourquoi elles sont incorrectes.
2. b) Écrire l'équation corrigée de la droite de régression de $Y$ en $X$ et calculer la note que le modèle prédit réellement pour $x = 8$.

Une direction territoriale de Météo-France étudie la relation entre l'altitude ($X$, en centaines de mètres) et la température moyenne annuelle ($Y$, en $^\circ\text{C}$) dans cinq stations d'observation du Massif central :

• Station 1 : $(4; 14,3)$

• Station 2 : $(6; 13,3)$

• Station 3 : $(8; 12,0)$

• Station 4 : $(10; 10,9)$

• Station 5 : $(12; 9,5)$

1. a) Avant tout calcul algébrique, estimer en justifiant le signe que doivent avoir la covariance et le coefficient directeur de la droite de régression de $Y$ en $X$. Estimer aussi approximativement de combien de degrés la température diminue pour chaque $100\text{ m}$ d'élévation.
2. b) Vérifier cette estimation en calculant les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$, la variance $\sigma_x^2$ et la covariance $\sigma_{xy}$, et déterminer l'équation exacte de la droite de régression de $Y$ en $X$.
3. c) Utiliser la droite pour prédire la température attendue à $900\text{ m}$ ($x = 9$) et à $3000\text{ m}$ ($x = 30$). Apprécier si les deux prédictions sont raisonnables en distinguant interpolation et extrapolation.

Une entreprise de marketing numérique a recueilli des données sur l'investissement dans des campagnes sur les réseaux sociaux ($X$, en milliers d'euros) et sur les revenus générés par les ventes ($Y$, en dizaines de milliers d'euros) pendant $5$ mois consécutifs :

• $X$ : $2,5 \quad 3,0 \quad 3,5 \quad 4,0 \quad 4,5$

• $Y$ : $12 \quad 14 \quad 15 \quad 18 \quad 19$

Déterminer la droite de régression des revenus en fonction de l'investissement et estimer les revenus attendus si l'on investit $5000$ euros.

Dans une étude de biomécanique, on analyse la relation entre la longueur du fémur ($X$, en cm) et la taille d'un individu ($Y$, en cm). On dispose des résumés statistiques suivants pour un échantillon de $50$ personnes :

$\bar{x} = 45$, $\bar{y} = 170$, $\sigma_x = 3,2$, $\sigma_y = 8,5$, $r = 0,92$.

Déterminer la droite de régression de $Y$ en $X$ et estimer la taille d'une personne dont le fémur mesure $48$ cm. Justifier brièvement la fiabilité de cette estimation.

Les droites de régression d'une série à deux variables ont pour équations $y = 0,5x + 4$ et $x = 1,6y - 2$. Déterminer les coordonnées du point moyen de la série et le coefficient de corrélation linéaire $r$, en justifiant son signe.

Lors d'une expérience de thermodynamique, on mesure la température d'un liquide ($Y$, en °C) en fonction du temps écoulé ($X$, en minutes). La droite de régression obtenue est $y = -1,5x + 85$. Sachant que le coefficient de détermination est $R^2 = 0,95$ et que l'expérience a duré $30$ minutes au total, est-il fiable d'estimer la température à $45$ minutes à l'aide de cette droite ? Justifier la réponse en s'appuyant sur les notions d'interpolation et d'extrapolation.

On a étudié la relation entre la quantité d'impuretés dans un alliage métallique ($X$, en $\%$ ) et sa résistance à la traction ($Y$, en MPa). Après analyse de $20$ échantillons, on a obtenu $\bar{x} = 2,1$, $\bar{y} = 450$, et une droite de régression de $Y$ en $X$ donnée par $y = -15x + 481,5$. Calculer la covariance de la série sachant que la variance des impuretés est $\sigma_x^2 = 0,8$.

Le nuage de points suivant montre la relation entre la profondeur à laquelle se trouve un filon de minerai ($X$, en mètres) et le coût d'extraction par tonne ($Y$, en milliers d'euros). La droite tracée est la droite de régression de $Y$ en $X$. À partir du graphique, lire les coordonnées des deux points marqués sur la droite, déterminer son équation exacte et estimer le coût d'extraction pour une profondeur de $120$ mètres.

La droite de régression de $Y$ en $X$ d'une série à deux variables est $y = 3x - 2$. Si l'on ajoute $4$ unités à toutes les valeurs observées de la variable $X$ et que l'on multiplie par $2$ toutes les valeurs de la variable $Y$, quelle sera la nouvelle équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ ?

Dans un centre météorologique, on relie la pression atmosphérique ($X$, en hPa) à la probabilité de précipitations ($Y$, en $\%$). Sachant que le point moyen de la série est le point $(1013 ; 40)$, que l'écart type de la pression est $5$ hPa, que celui de la probabilité est $20\%$, et que le coefficient de corrélation linéaire est $-0,85$, déterminer l'équation de la droite de régression permettant d'estimer la probabilité de pluie connaissant la pression atmosphérique.

À partir des microdonnées de l'enquête Budget de famille de l'INSEE, on extrait un échantillon de $5$ ménages pour analyser la dépense mensuelle en alimentation ($Y$, en centaines d'euros) en fonction des revenus nets mensuels du ménage ($X$, en milliers d'euros) :

• Ménage A : $(1,5; 3,0)$

• Ménage B : $(2,0; 3,8)$

• Ménage C : $(2,5; 4,5)$

• Ménage D : $(3,0; 5,1)$

• Ménage E : $(3,5; 6,1)$

1. a) Modéliser la relation linéaire entre les deux variables en calculant la droite de régression de $Y$ en $X$ (détailler le calcul de $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x^2$ et $\sigma_{xy}$).
2. b) Interpréter la signification socioéconomique du coefficient directeur $m_{yx} = 1,5$ et de l'ordonnée à l'origine $n = 0,75$ dans le contexte réel, en portant une attention particulière aux unités de mesure de chaque variable.
3. c) Estimer la dépense en alimentation pour un ménage ayant $2800$ euros de revenus mensuels et pour un autre ayant $8500$ euros de revenus mensuels. Justifier laquelle des deux estimations offre la meilleure garantie statistique en s'appuyant sur l'étendue des données observées.

Dans une enquête sur la vie scolaire en classe de première, on analyse le nombre d'absences injustifiées ($X$) et la note à l'évaluation finale ($Y$) d'un échantillon d'élèves. On obtient les statistiques suivantes : $\bar{x} = 4$, $\bar{y} = 6$, $\sigma_x^2 = 5$, $\sigma_y^2 = 3,2$ et $\sigma_{xy} = -3,6$.

On propose deux tâches de prédiction :

• Tâche 1 : estimer la note attendue ($Y$) pour un élève ayant $x = 6$ absences.

• Tâche 2 : estimer le nombre probable d'absences ($X$) d'un élève dont la note finale a été $y = 3,3$.

Pour résoudre la tâche 2, deux professeurs proposent des méthodes différentes :

• Le professeur A calcule la droite de $Y$ en $X$, remplace $y = 3,3$ et isole algébriquement la valeur de $x$.

• Le professeur B soutient qu'isoler est incorrect et qu'il faut déterminer la droite de $X$ en $Y$ pour remplacer directement $y = 3,3$.

1. a) Justifier laquelle des deux méthodes est statistiquement rigoureuse au regard du critère des moindres carrés qui définit les droites de régression.
2. b) Déterminer les équations des deux droites de régression ($Y$ en $X$, et $X$ en $Y$).
3. c) Appliquer les deux méthodes pour la tâche 2, comparer les résultats numériques obtenus et expliquer à quoi tient l'écart entre les deux à l'aide du coefficient de détermination linéaire $r^2$.

Démontrer analytiquement que si les variables $X$ et $Y$ ont une corrélation linéaire parfaite ($r = 1$ ou $r = -1$), alors la droite de régression de $Y$ en $X$ coïncide exactement avec la droite de régression de $X$ en $Y$. Expliquer brièvement quelle implication géométrique cela a sur l'angle formé par les deux droites dans le plan.

Dans une étude sur le rendement de panneaux solaires, la variable $X$ représente l'irradiance solaire ($W/m^2$) et la variable $Y$ la puissance électrique générée ($W$). On sait que la droite de régression de $Y$ en $X$ est donnée par $y = 0,18x + 5$, et la droite de régression de $X$ en $Y$ par $x = 5y - 10$. Calculer les moyennes marginales $\bar{x}$ et $\bar{y}$, et déterminer le pourcentage exact de la variabilité de la puissance électrique qui est expliqué par l'irradiance solaire.

On dispose d'un ensemble de données à deux variables $(x_i, y_i)$ où la variable $X$ prend les valeurs $1, 2, 3, 4$ et la variable $Y$ prend les valeurs $2, k, 5, 8$. Sachant que le coefficient directeur de la droite de régression de $Y$ en $X$ est $m_{yx} = 1,9$, poser une équation et déterminer la valeur exacte du paramètre $k$.

Dans une analyse macroéconomique, on relie le taux d'inflation ($X$, en $\%$ ) au taux de chômage ($Y$, en $\%$). La droite de régression de $Y$ en $X$ est $y = -0,6x + 8$. Si la variance marginale de l'inflation est $\sigma_x^2 = 4$ et la variance marginale du chômage est $\sigma_y^2 = 2,25$, déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r$ et le pourcentage de la variabilité du chômage qui est expliqué par le modèle de régression linéaire.

Un ingénieur en génie civil étudie la relation entre la charge supportée par une poutre ($X$, en tonnes) et sa déformation maximale ($Y$, en millimètres). Certaines données du rapport d'origine ont été perdues, mais on sait que la moyenne de la charge est $\bar{x} = 15$, que la variance de la charge est $\sigma_x^2 = 16$, que la covariance est $\sigma_{xy} = 18$, que le coefficient de corrélation est $r = 0,9$ et que l'ordonnée à l'origine de la droite de régression de $Y$ en $X$ est $b = 2$. Calculer la moyenne de la déformation $\bar{y}$, l'écart type $\sigma_y$ et l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.

Le graphique suivant montre un nuage de points reliant la vitesse d'un véhicule ($X$, en km/h) à la distance de freinage ($Y$, en mètres). On a tracé les deux droites de régression : la droite A (en bleu) et la droite B (en vert). Identifier en justifiant, à partir des propriétés des coefficients directeurs, laquelle des deux droites est la droite de régression de $Y$ en $X$ et déterminer son équation sachant que les deux se coupent au point $(80 ; 40)$ et que la bleue passe par $(100 ; 56)$.

Dans une étude pharmaceutique, on modélise la concentration d'un principe actif dans le sang ($Y$, en mg/L) en fonction de la dose administrée ($X$, en mg). On effectue un changement de variable en standardisant les deux variables, c'est-à-dire que l'on pose $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ et $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$. Démontrer algébriquement que la droite de régression de $Z_y$ en $Z_x$ passe par l'origine du repère et que son coefficient directeur est exactement le coefficient de corrélation linéaire $r$.

On a étudié une série statistique à deux variables de $100$ couples de valeurs. On sait que la somme des carrés des résidus (la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées $y_i$ et celles estimées par la droite $\hat{y}_i$) est égale à $150$. Si la variance marginale de la variable $Y$ est $\sigma_y^2 = 4$, déterminer le coefficient de détermination $R^2$ à l'aide de la relation $\sum (y_i - \hat{y}_i)^2 = N \cdot \sigma_y^2 (1 - r^2)$, puis calculer la valeur absolue du coefficient directeur de la droite de régression de $Y$ en $X$, sachant que la variance marginale de $X$ est $\sigma_x^2 = 9$.

Un laboratoire universitaire étudie la relation entre deux grandeurs physiques continues, $X$ et $Y$, et obtient les équations de leurs deux droites de régression linéaire par la méthode des moindres carrés. À cause d'une erreur d'étiquetage dans le logiciel, on n'a pas conservé la droite correspondant à chaque régression :

• Droite 1 ($r_1$) : $2x - 5y + 11 = 0$

• Droite 2 ($r_2$) : $8x - 5y - 7 = 0$

1. a) Déduire par un raisonnement lequel des deux est la droite de régression de $Y$ en $X$ et laquelle est celle de $X$ en $Y$. Pour cela, analyser les deux attributions possibles et démontrer analytiquement que l'une d'elles est mathématiquement impossible, en s'appuyant sur la propriété du produit de leurs coefficients directeurs $m_{yx} \cdot m_{xy} = r^2$ et sur l'intervalle admissible du coefficient de corrélation linéaire.
2. b) Déterminer les coordonnées exactes du point moyen $(\bar{x}, \bar{y})$ de la série à deux variables et calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$.
3. c) Sachant de plus que l'écart type de $X$ est $\sigma_x = 2,5$, reconstituer analytiquement la valeur de la covariance $\sigma_{xy}$ et de la variance $\sigma_y^2$.

Un analyste sportif d'un club de football étudie la relation entre les kilomètres parcourus à haute intensité par match ($X$, en km) et les récupérations de balle dans le camp adverse ($Y$) des joueurs. Après avoir saisi les données dans un logiciel, il présente un rapport avec les résultats suivants :

• Droite de régression de $Y$ en $X$ : $y = 0,8x - 1,2$

• Droite de régression de $X$ en $Y$ : $x = 1,5y + 2,1$

Le rapport contient trois affirmations de l'analyste :

1. « Comme les deux coefficients directeurs sont positifs, il existe une corrélation linéaire positive et très forte entre les deux variables ».

2. « Pour estimer la distance qu'un joueur devrait courir pour réaliser $y = 5$ récupérations, il suffit d'isoler la variable $x$ dans la première droite, ce qui donne $x = 7,75\text{ km}$ ».

3. « Si l'on change l'unité de mesure de la distance $X$ des kilomètres aux mètres ($X' = 1000X$), la covariance $\sigma_{x'y}$ comme le coefficient directeur $m_{yx}'$ de la droite de régression de $Y$ en $X$ seront multipliés par $1000$ ».

Évaluer de façon critique ce rapport :

1. a) Démontrer analytiquement que les deux équations fournies contiennent une contradiction statistique irréductible qui invalide le modèle.
2. b) Expliquer l'erreur de raisonnement commise par l'analyste dans l'affirmation 2.
3. c) Analyser algébriquement l'affirmation 3 à partir des définitions de la covariance et de la variance : déduire comment varient réellement $\sigma_{x'y}$ et le coefficient directeur $m_{yx}'$ lors du changement d'échelle $X' = k\cdot X$ et déterminer si l'affirmation est vraie ou fausse.