Exercices: Problèmes

On a mesuré le temps en heures ($X$) et la distance parcourue en km ($Y$) par un cycliste lors de $5$ étapes, ce qui donne les couples de valeurs $(x_i\,;\,y_i)$ suivants : $(2\,;\,45)$, $(3\,;\,65)$, $(4\,;\,85)$, $(2\,;\,40)$ et $(5\,;\,110)$. Calculer la covariance de cette série statistique à deux variables.

La droite de régression de $Y$ en $X$ d'une série statistique à deux variables a pour équation $y = 3,2x - 1,5$. Si la moyenne de la variable $X$ est $\bar{x} = 4,5$, déterminer la valeur de la moyenne de la variable $Y$, $\bar{y}$.

Dans une étude sur le poids ($X$, en kg) et la taille ($Y$, en cm) d'un groupe d'élèves, on a obtenu un coefficient de corrélation linéaire $r = 0,85$. Si les écarts types marginaux sont $S_x = 12$ et $S_y = 8$, calculer la valeur exacte de la covariance $S_{xy}$.

Le diagramme de dispersion suivant montre la relation entre l'âge d'un groupe de véhicules ($X$, en années) et leur valeur marchande actuelle ($Y$, en milliers d'euros). En observant la forme du nuage de points, indiquer le signe de la covariance et préciser si la corrélation linéaire entre les deux variables est forte ou faible.

Pour estimer la consommation électrique mensuelle ($Y$, en kWh) en fonction du nombre de personnes vivant dans un logement ($X$), on a obtenu la droite de régression $y = 45x + 120$ avec un coefficient de corrélation $r = 0,92$. Estimer la consommation d'un logement de $4$ personnes et indiquer si l'estimation est très fiable ou peu fiable, en justifiant brièvement la réponse.

Le tableau de contingence suivant regroupe les données de $100$ pièces en céramique, classées selon leur taille ($X$ : Petite=$1$, Grande=$2$) et leur qualité ($Y$ : Défectueuse=$0$, Optimale=$1$). Écrire le tableau de la loi marginale de la variable $Y$ et calculer sa moyenne $\bar{y}$.

Pour une série statistique double, on connaît les paramètres suivants : $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 25$, la variance marginale de $X$, $S_x^2 = 16$, et la covariance $S_{xy} = 24$. Écrire l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.

Dans une étude reliant le budget marketing de plusieurs entreprises ($X$) à leurs bénéfices annuels ($Y$), on a calculé que le coefficient de corrélation linéaire est $r = 0,7$. Quel pourcentage de la variabilité des bénéfices est expliqué par le budget marketing d'après le modèle de régression linéaire proposé ?

Lors d'un contrôle de statistiques à deux variables, Marc doit analyser la relation entre deux variables à partir des équations de leurs droites de régression :

• Droite de régression de $Y$ en $X$ : $y = -0,75x + 12$

• Droite de régression de $X$ en $Y$ : $x = -0,48y + 10$

Marc écrit dans sa résolution :

1. « Le coefficient de corrélation linéaire est $r = \sqrt{(-0,75) \cdot (-0,48)} = \sqrt{0,36} = 0,6$, donc la corrélation entre les variables est positive et modérée. »

2. « La covariance de la série est directement le coefficient directeur de la première droite, c'est-à-dire $\sigma_{xy} = -0,75$. »

Identifier et expliquer en détail les deux erreurs conceptuelles commises par Marc, en calculant la valeur correcte de $r$. Justifier en outre s'il est possible ou non de déterminer la valeur numérique de $\sigma_{xy}$ en disposant uniquement des équations des droites.

Une station de ski des Pyrénées relève l'altitude en centaines de mètres ($X$) et la température moyenne en $^{\circ}\text{C}$ lors d'une journée d'hiver ($Y$) en cinq points de son domaine skiable :

1. a) Avant tout calcul, estimer en justifiant le signe de la covariance et du coefficient de corrélation linéaire $r$, en indiquant si l'on s'attend à une relation linéaire faible ou forte d'après la nature du phénomène physique.
2. b) Calculer les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$, la covariance $\sigma_{xy}$, les écarts types $\sigma_x$ et $\sigma_y$, ainsi que la valeur exacte de $r$.
3. c) Vérifier si la valeur de $r$ obtenue confirme l'estimation initiale et apprécier si un ajustement linéaire est adapté pour prévoir les températures à d'autres altitudes de la montagne.

Dans un laboratoire de physique, on a mesuré l'allongement d'un ressort élastique ($Y$, en cm) en y suspendant différentes masses ($X$, en kg). Les résultats obtenus lors de l'expérience sont :

$X$ : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$

$Y$ : $2,1$, $3,9$, $6,2$, $7,8$, $10,1$, $12,2$

Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ et l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.

Une entreprise de technologie veut prévoir le nombre de ventes d'un nouveau smartphone ($Y$, en milliers d'unités) en fonction des mentions quotidiennes sur les réseaux sociaux ($X$, en milliers). On a recueilli les données de $8$ lancements précédents, ce qui donne les sommes suivantes :

$\sum x_i = 160$, $\sum y_i = 400$, $\sum x_i^2 = 3600$, $\sum y_i^2 = 21500$, $\sum x_i y_i = 8600$.

Calculer la covariance, le coefficient de corrélation linéaire et estimer les ventes obtenues si l'on enregistre $25$ mille mentions le jour du lancement.

Le diagramme de dispersion ci-joint représente la relation entre la température moyenne mensuelle ($X$, en $^\circ\text{C}$) et la consommation de gaz naturel ($Y$, en $\text{m}^3$) dans une ville au cours de l'année écoulée. Sachant que les moyennes marginales sont $\bar{x} = 15$ et $\bar{y} = 120$, et que le coefficient directeur de la droite de régression de $Y$ en $X$ est $-3,5$, déterminer l'équation de cette droite et estimer la consommation de gaz pour un mois de température moyenne $8 \ ^\circ\text{C}$.

En étudiant la relation statistique entre deux variables $X$ et $Y$, on a obtenu les droites de régression suivantes :

Droite de $Y$ en $X$ : $y = 0,5x + 4$

Droite de $X$ en $Y$ : $x = 1,5y - 3$

Calculer les coordonnées du point moyen de la série statistique double $(\bar{x}, \bar{y})$.

On a réalisé une étude sur le nombre d'heures d'entraînement hebdomadaire ($X$) et le temps obtenu lors d'une épreuve d'athlétisme ($Y$, en secondes) pour un groupe de coureurs. Après analyse, on sait que $\bar{x} = 12$, $\bar{y} = 45$, $S_x = 3$, $S_y = 2$ et que la covariance est $S_{xy} = -4,8$.

Calculer la droite de régression de $X$ en $Y$ et estimer combien d'heures par semaine s'est entraîné un athlète ayant réalisé un temps de $42$ secondes à l'épreuve.

Le tableau à double entrée suivant montre la répartition de $50$ familles selon le nombre d'enfants ($X$) et le nombre de véhicules qu'elles possèdent ($Y$) :

Calculer la moyenne et l'écart type de la distribution conditionnelle du nombre de véhicules des familles sachant qu'elles ont exactement $1$ enfant (c'est-à-dire la distribution $Y|X=1$).

Le coefficient de corrélation entre les revenus mensuels ($X$, en euros) et les dépenses de loisirs ($Y$, en euros) d'un groupe de personnes est $r = 0,75$. Si l'on exprime les revenus en milliers d'euros ($X' = \frac{X}{1000}$) et que l'on augmente les dépenses de loisirs d'une somme fixe de $50$ euros en raison d'une subvention ($Y' = Y + 50$), quel sera le nouveau coefficient de corrélation linéaire entre $X'$ et $Y'$ ? Justifier la réponse à l'aide des propriétés de la covariance et des écarts types.

Pour une série statistique double, on connaît les données suivantes : effectif total $n = 10$, moyennes marginales $\bar{x} = 5$ et $\bar{y} = 8$, variances marginales $S_x^2 = 4$ et $S_y^2 = 9$. De plus, l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ est $y = 1,2x + 2$.

Calculer la valeur exacte de la covariance $S_{xy}$ et du coefficient de corrélation linéaire $r$.

Lors d'un test de contrôle qualité industriel, on mesure deux variables, $X$ et $Y$, et l'on obtient les quatre premiers couples de données $(x_i\,;\,y_i)$ : $(1\,;\,2)$, $(2\,;\,4)$, $(3\,;\,5)$ et $(4\,;\,7)$. Le cinquième couple relevé est $(5\,;\,k)$, où $k$ est un réel positif en attente de validation.

1. a) Exprimer en fonction de $k$ les moyennes marginales $\bar{x}$ et $\bar{y}$, la variance $\sigma_x^2$ et la covariance $\sigma_{xy}$.
2. b) Sachant que la droite de régression de $Y$ en $X$ doit passer exactement par l'origine du repère $(0\,;\,0)$, déduire la valeur exacte que doit prendre $k$.
3. c) Avec la valeur de $k$ trouvée, déterminer l'équation de cette droite de régression et calculer le coefficient de détermination $R^2$ pour justifier si la droite obtenue a un pouvoir explicatif suffisant.

À partir d'un échantillon de l'INSEE sur le niveau de vie dans cinq communes moyennes de France, on relie le revenu moyen disponible annuel par foyer ($X$, en dizaines de milliers d'euros) et la dépense moyenne annuelle en loisirs et culture ($Y$, en centaines d'euros) :

1. a) Modéliser la relation linéaire en déterminant l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.
2. b) Interpréter la signification socio-économique concrète du coefficient directeur obtenu et de l'ordonnée à l'origine dans le contexte de l'étude.
3. c) Utiliser le modèle pour prévoir la dépense de loisirs attendue dans une commune de revenu moyen par foyer $45\,000$ € ($x = 4,5$) et dans une autre de $120\,000$ € ($x = 12$). Comparer en justifiant la fiabilité des deux prévisions en distinguant interpolation et extrapolation.
4. d) Si l'on voulait estimer le revenu d'une commune à partir de sa dépense culturelle, justifier s'il serait mathématiquement adapté d'isoler $x$ directement dans l'équation obtenue à la question a).

Les droites de régression d'une série statistique double ont pour équations $y = -0,5x + 8$ (droite de $Y$ en $X$) et $x = -1,28y + 10$ (droite de $X$ en $Y$).

Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ et déterminer les moyennes marginales $\bar{x}$ et $\bar{y}$.

Dans une étude statistique portant sur deux variables $X$ et $Y$, on a effectué un changement de variable en réduisant ou en changeant l'échelle des données d'origine sous la forme $U = \frac{X - 10}{5}$ et $V = \frac{Y - 20}{2}$. On sait que la droite de régression de $V$ en $U$ est $v = 0,8u + 1,5$.

Déterminer, en revenant aux variables d'origine, l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$ sous sa forme réduite $y = mx + n$.

Une usine étudie la relation entre l'ancienneté de ses machines ($X$, en années) et le coût annuel de maintenance ($Y$, en centaines d'euros). On a relevé les données de $4$ machines, mais à cause d'une erreur informatique, le coût de maintenance de l'une d'elles a été perdu. Les couples $(x_i ; y_i)$ sont : $(2 ; 4)$, $(3 ; 5)$, $(5 ; k)$, $(6 ; 9)$.

Sachant que la moyenne marginale du coût de maintenance des quatre machines est $\bar{y} = 6,5$, déterminer la valeur de $k$ puis calculer l'équation de la droite de régression de $Y$ en $X$.

Démontrer, à l'aide des expressions des coefficients directeurs des droites de régression en fonction de la covariance et des variances marginales, que si le coefficient de corrélation linéaire est parfait ($r = 1$ ou $r = -1$), les deux droites de régression (celle de $Y$ en $X$ et celle de $X$ en $Y$) sont confondues.

Le diagramme de dispersion suivant montre la croissance d'une colonie de bactéries ($Y$, en milliers) en fonction du temps ($X$, en heures). Le nuage de points suggère une croissance exponentielle de la forme $Y = A \cdot e^{BX}$.

Pour linéariser le modèle, on propose d'effectuer le changement de variable $Z = \ln(Y)$. Si l'ajustement linéaire de $Z$ en $X$ donne la droite $z = 0,4x + 1,2$, déterminer les valeurs numériques des constantes $A$ et $B$ du modèle exponentiel d'origine.

On dispose du tableau d'effectifs conjoints suivant pour deux caractères qualitatifs $X$ et $Y$ :

Déterminer la valeur exacte du paramètre $k$ sachant que les variables $X$ et $Y$ sont statistiquement indépendantes.

Dans une étude statistique, la droite de régression de $Y$ en $X$ est $y = 2x - 3$ et la droite de régression de $X$ en $Y$ est $x = 0,4y + 2$. Sachant que la variance marginale de la variable $X$ est $S_x^2 = 5$, calculer la valeur de la variance marginale de $Y$, $S_y^2$, et la valeur de la covariance $S_{xy}$.

On a étudié deux groupes d'employés d'une même entreprise multinationale pour analyser la relation entre les années d'expérience ($X$) et le salaire mensuel ($Y$).

Dans le groupe A, composé de $10$ employés, on a obtenu : $\bar{x}_A = 5$, $\bar{y}_A = 1500$, et une covariance $S_{xy,A} = 200$.

Dans le groupe B, composé de $20$ employés, on a obtenu : $\bar{x}_B = 5$, $\bar{y}_B = 1500$, et une covariance $S_{xy,B} = 350$.

Calculer la covariance totale $S_{xy}$ si l'on regroupait les $30$ employés en une seule série statistique double.

On étudie l'évolution du nombre de véhicules électriques immatriculés ($Y$, en dizaines) dans une région selon l'année écoulée ($X$). La série observée est :

Pour obtenir la droite de régression de $Y$ en $X$ et le coefficient de corrélation $r$, on envisage deux méthodes :

• Méthode 1 (directe) : calculer les sommes $\sum x_i$, $\sum y_i$, $\sum x_i^2$, $\sum y_i^2$ et $\sum x_i y_i$ directement sur les données numériques d'origine.

• Méthode 2 (changement de variable) : définir $U = X - 2022$ et $V = Y - 122$, calculer la droite de régression de $V$ en $U$ ($v = m \cdot u + n$) puis inverser algébriquement la transformation en substituant $u = x - 2022$ et $v = y - 122$.

1. a) Comparer les deux méthodes : démontrer théoriquement qu'un changement d'origine $U = X - h$ et $V = Y - k$ ne modifie ni la covariance ($\sigma_{uv} = \sigma_{xy}$) ni les variances marginales, et justifier laquelle des deux méthodes est préférable face au risque d'erreurs de calcul ou d'arrondi.
2. b) Appliquer la méthode 2 pour déterminer la droite de régression de $V$ en $U$.
3. c) Revenir aux variables d'origine pour en déduire la droite de régression de $Y$ en $X$ et calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$.

Deux centres de recherche A et B analysent, sur des échantillons indépendants d'élèves, la relation entre les heures hebdomadaires d'utilisation d'écrans récréatifs ($X$) et la note moyenne ($Y$). Étonnamment, les deux centres obtiennent exactement les mêmes équations de régression :

• Droite de $Y$ en $X$ : $y = -0,25x + 9$

• Droite de $X$ en $Y$ : $x = -y + 15$

1. a) Démontrer que le coefficient de corrélation linéaire $r$ et le point moyen $(\bar{x}, \bar{y})$ sont nécessairement identiques dans les deux études, en calculant leurs valeurs numériques exactes.
2. b) L'équipe A indique que la variance des heures d'écran dans son échantillon est $\sigma_{x,A}^2 = 16$, tandis que l'équipe B affirme que dans le sien elle est $\sigma_{x,B}^2 = 4$. Démontrer s'il est possible que les deux équipes aient raison simultanément en calculant, pour chaque centre, sa covariance $\sigma_{xy}$ et la variance des notes $\sigma_y^2$. Expliquer à partir de ce résultat pourquoi les coefficients directeurs des droites de régression ne suffisent pas à eux seuls pour reconstituer la covariance.
3. c) Si l'on fusionne les deux échantillons en un seul groupe de $100$ élèves ($N_A = 60$ du centre A et $N_B = 40$ du centre B), calculer la covariance globale en utilisant le fait qu'ils partagent le même point moyen, et justifier si la droite de régression de $Y$ en $X$ de l'ensemble différera de celle obtenue par chacun des centres séparément.

Défi du thème. Comment l'altitude conditionne-t-elle le climat de notre pays ? Devenez analyste climatique et rédigez un rapport synthétique à l'aide de GeoGebra ou d'un tableur.

1. Recueil des données : Consulter le site de Météo-France et rassembler dans un tableau l'altitude ($x$, en mètres) et la température moyenne annuelle ($y$, en °C) de $10$ préfectures de départements français situées dans différentes zones géographiques.

2. Étude à deux variables : Saisir les données dans le logiciel. Calculer les moyennes ($\bar{x}$, $\bar{y}$), les écarts types, la covariance et le coefficient de corrélation linéaire de Pearson ($r$). Représenter le nuage de points et déterminer la droite de régression de $y$ en $x$.

3. Prévision et causalité : Estimer la température attendue pour une commune située à $1250\text{ m}$ et argumenter la fiabilité de votre résultat. Vérifier si un modèle non linéaire (exponentiel ou puissance) améliorerait l'ajustement et s'interroger sur le fait que l'altitude soit ou non la cause directe de la variation de température ou que des variables cachées interviennent.

Rendre un court rapport (une page) comprenant le tableau, les graphiques et votre justification argumentée.

Seront évalués :

• La rigueur dans le calcul des paramètres statistiques à deux variables et de la droite de régression avec des outils numériques.

• L'habileté dans la représentation graphique et l'interprétation du coefficient $r$.

• Le recul critique lors de l'extrapolation de valeurs et du débat sur causalité et corrélation.