Exercices: Coefficient de corrélation linéaire

Dans une étude sur le rendement de panneaux solaires, on a calculé que la covariance entre le rayonnement solaire reçu ($X$) et l'énergie produite ($Y$) est $\sigma_{xy} = 15,2$. Sachant que les écarts types sont $\sigma_x = 4,0$ et $\sigma_y = 3,9$, calculer le coefficient de corrélation linéaire et interpréter le résultat.

Considérer les couples de variables statistiques suivants. Indiquer, en justifiant, si le coefficient de corrélation linéaire entre elles sera positif, négatif ou proche de zéro :

1. a) Le nombre d'heures d'entraînement hebdomadaire d'un athlète et son temps pour parcourir 100 mètres plat.
2. b) La quantité de pluie tombée au cours d'un mois et les ventes de parapluies ce même mois.
3. c) Le dernier chiffre du numéro de sécurité sociale d'une personne et sa taille en centimètres.

Le coefficient de corrélation linéaire entre les dépenses de publicité ($X$, en milliers d'euros) et le chiffre d'affaires ($Y$, en milliers d'euros) d'une entreprise est $r = 0,88$. Sachant que les écarts types marginaux sont $\sigma_x = 2,5$ et $\sigma_y = 12,4$, déterminer la valeur de la covariance $\sigma_{xy}$.

Observer les trois nuages de points étiquetés A, B et C. Associer chacun d'eux à la valeur du coefficient de corrélation linéaire qui le décrit le mieux, parmi les valeurs suivantes : $r = -0,92$, $r = 0,05$ et $r = 0,95$.

Dans une série statistique à deux variables, on sait que le coefficient directeur de la droite de régression de $Y$ en $X$ est $m_{yx} = 1,25$ et que celui de la droite de régression de $X$ en $Y$ est $m_{xy} = 0,65$. Sachant que la dépendance entre les variables est directe, calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$.

On a mesuré le temps de réaction ($X$, en secondes) et le nombre d'erreurs commises ($Y$) lors d'un test de coordination psychomotrice pour 3 personnes, et obtenu les couples de valeurs suivants : $(1 ; 2)$, $(2 ; 4)$ et $(3 ; 5)$. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de Pearson pour ce petit jeu de données.

Le coefficient de détermination d'un modèle mathématique reliant l'âge d'un véhicule utilitaire ($X$, en années) à sa valeur marchande ($Y$, en euros) est $R^2 = 0,7225$. Sachant que la valeur du véhicule diminue avec l'âge, quelle est la valeur exacte du coefficient de corrélation linéaire $r$ ?

Classer la force (forte, modérée ou faible/nulle) et le sens (positive ou négative) de la corrélation linéaire pour chacun des coefficients suivants, obtenus dans différentes études statistiques :

1. a) $r = 0,98$
2. b) $r = -0,12$
3. c) $r = -0,85$
4. d) $r = 0,55$

Dans une classe de première, Sergio analyse deux matières pour déterminer dans laquelle la dépendance linéaire par rapport aux heures de travail hebdomadaires est la plus grande. Après calculs, il obtient pour la matière A un coefficient de corrélation $r_A = 0,42$ et pour la matière B (où il mesure le nombre d'erreurs à un contrôle en fonction des heures de travail) un coefficient $r_B = -0,81$. Sergio conclut dans son rapport : « La relation linéaire est beaucoup plus forte dans la matière A que dans la B car $0,42 > -0,81$ ; de plus, le signe négatif en B montre que le modèle linéaire n'est pas valable pour prévoir les erreurs. » Identifier et formuler avec précision les deux erreurs conceptuelles commises par Sergio, expliquer pourquoi ses affirmations sont fausses et déterminer dans laquelle des deux matières la droite de régression expliquera le plus grand pourcentage de la variabilité.

Une station météorologique dans les Pyrénées relève l'altitude par rapport à un point de référence ($X$, en centaines de mètres) et la température moyenne durant une semaine d'hiver ($Y$, en $^\circ\text{C}$) à cinq altitudes différentes : $(1 ; 9)$, $(2 ; 8)$, $(3 ; 6)$, $(4 ; 4)$ et $(5 ; 3)$. Réaliser les tâches suivantes :

1. a) Avant tout calcul, observer la tendance des couples de valeurs : quel signe attend-on pour la covariance et pour $r$ ? Estimer en justifiant si la valeur de $|r|$ sera plus proche de $0$, de $0,5$ ou de $1$.
2. b) Vérifier cette estimation en calculant les moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$, les écarts types $\sigma_x$ et $\sigma_y$, la covariance $\sigma_{xy}$ et le coefficient de corrélation linéaire $r$.
3. c) À partir de la valeur obtenue pour $r$, calculer le coefficient de détermination $r^2$ et interpréter quel pourcentage de la variabilité de la température est expliqué par l'altitude.

Une entreprise de logistique souhaite étudier la relation entre le poids des colis ($X$, en kg) et le coût du transport ($Y$, en euros). Pour cela, elle sélectionne un échantillon de 5 colis et obtient les données suivantes :

• Poids ($X$) : 2, 4, 5, 8, 11

• Coût ($Y$) : 12, 15, 18, 25, 30

Calculer les moyennes, les écarts types marginaux, la covariance et le coefficient de corrélation linéaire. D'après le résultat, le poids est-il un bon prédicteur linéaire du coût du transport ?

Dans une étude d'agronomie, on a calculé que le coefficient de corrélation linéaire entre la température moyenne mensuelle en degrés Celsius ($C$) et la production d'une culture en tonnes ($P$) est $r = 0,82$. Si l'on décide d'exprimer la température en degrés Fahrenheit à l'aide de la formule $F = 1,8C + 32$ et la production en kilogrammes à l'aide de $K = 1000P$, quel sera le nouveau coefficient de corrélation entre $F$ et $K$ ? Justifier la réponse à partir des propriétés mathématiques de ce coefficient.

Les données d'un essai clinique sur la dose d'un médicament ($X$, en mg) et le temps de guérison ($Y$, en jours) pour $N=10$ patients sont résumées par les sommes suivantes :

$\sum x_i = 120$, $\sum y_i = 80$, $\sum x_i^2 = 1540$, $\sum y_i^2 = 680$, $\sum x_i y_i = 910$.

Calculer le coefficient de corrélation linéaire et interpréter le résultat dans le contexte du problème médical.

Le nuage de points suivant montre la relation entre les heures de travail hebdomadaires ($X$) et la note obtenue à un contrôle ($Y$) pour un groupe d'élèves.

Analyser visuellement le nuage de points et répondre en justifiant :

1. a) Si l'on ne tenait pas compte du point aberrant situé en bas à droite, comment serait le coefficient de corrélation linéaire ?
2. b) Quel effet produit l'inclusion de ce point aberrant sur la valeur du coefficient de corrélation de Pearson par rapport au cas précédent ?

Dans une étude de marché, on a obtenu les deux droites de régression linéaire reliant le prix d'un produit ($X$) et sa demande mensuelle ($Y$). Les équations de ces droites sont :

Droite 1 : $y = -1,5x + 120$

Droite 2 : $x = -0,6y + 75$

Calculer le coefficient de corrélation linéaire et indiquer le degré de liaison entre le prix et la demande.

Dans une série statistique à deux variables, on sait que la variance de la première variable est $\sigma_x^2 = 25$, la covariance est $\sigma_{xy} = 18$ et le coefficient de corrélation linéaire est $r = 0,6$. À partir de ces données, déterminer la valeur exacte de la variance de la seconde variable, $\sigma_y^2$.

Un entraîneur de basket-ball analyse les minutes jouées ($X$) et les points marqués ($Y$) par 6 de ses joueurs lors d'un match, et obtient les couples de données suivants : $(10 ; 4)$, $(15 ; 8)$, $(20 ; 12)$, $(25 ; 14)$, $(30 ; 20)$, $(35 ; 22)$. Calculer le coefficient de détermination $R^2$ et expliquer quel pourcentage de la variabilité des points marqués est expliqué linéairement par les minutes jouées.

Étant données les droites de régression $y = 0,8x + 2,5$ et $x = 1,1y - 1,2$, calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$. Déterminer ensuite la moyenne de la variable $Y$.

À partir d'un échantillon de 5 cantons, une étude sur le parc automobile analyse la relation entre l'âge moyen des voitures ($X$, en années) et la dépense annuelle moyenne en réparations par véhicule ($Y$, en centaines d'euros), et fournit les observations suivantes : $(4; 2,5)$, $(6; 3,5)$, $(8; 5,0)$, $(10; 6,0)$ et $(12; 8,0)$.

1. a) Modéliser la relation en calculant les écarts types, la covariance et le coefficient de corrélation linéaire $r$. Comment qualifieriez-vous l'intensité de l'ajustement linéaire ?
2. b) Calculer le coefficient de détermination $r^2$ et interpréter, dans le contexte du problème, quel pourcentage de la variabilité de la dépense en réparations correspond à la dispersion résiduelle (non expliquée par l'âge du véhicule).
3. c) Si une compagnie d'assurance décide d'exprimer l'âge en mois ($X' = 12X$) et le coût en euros ($Y' = 100Y$), justifier algébriquement, à l'aide des propriétés de la covariance et de l'écart type, quel sera le nouveau coefficient de corrélation $r'$ sans refaire de calculs sur les données numériques individuelles.

On connaît quatre observations d'une série statistique à deux variables : $(1 ; 2)$, $(2 ; 4)$, $(3 ; 6)$ et $(4 ; 8)$. On va ajouter une cinquième observation de la forme $(5 ; y_5)$.

1. a) Déterminer la valeur que doit prendre $y_5$ pour que le coefficient de corrélation linéaire soit exactement $r = 1$. Justifier la réponse à partir de la relation fonctionnelle existant entre les quatre premiers points, sans calculer de variances.
2. b) Exprimer la covariance $\sigma_{xy}$ en fonction de $y_5$ et calculer la valeur que doit prendre $y_5$ pour que la covariance soit exactement $0$. Vérifier qu'avec cette valeur les écarts types sont strictement positifs et en déduire la valeur de $r$.
3. c) Avec la valeur de $y_5$ trouvée à la question b, on obtient $r = 0$. Cela signifie-t-il qu'il n'existe aucune relation entre les deux variables dans cet échantillon de cinq points ? Expliquer la différence entre « absence de corrélation linéaire » et « absence de relation » en observant le nuage de points obtenu.

On étudie la relation entre deux variables $X$ et $Y$ à partir de trois observations expérimentales : $(0 ; 2)$, $(3 ; 8)$ et $(5 ; k)$. On sait au préalable qu'il existe une dépendance fonctionnelle linéaire parfaite et positive entre les deux variables, c'est-à-dire que le coefficient de corrélation est $r = 1$. Sans calculer les écarts types, déterminer la valeur du paramètre $k$.

Soit une série statistique à deux variables $(X, Y)$ où la variable $Y$ s'obtient à partir de la variable $X$ par la transformation affine $Y = -4X + 7$, avec $X$ non constante ($\sigma_x > 0$). Démontrer analytiquement, à l'aide des définitions algébriques de la covariance et de l'écart type, que le coefficient de corrélation linéaire entre $X$ et $Y$ est exactement $-1$.

Étant données deux variables statistiques $X$ et $Y$, on définit leurs variables centrées réduites correspondantes $Z_x = \frac{X - \bar{x}}{\sigma_x}$ et $Z_y = \frac{Y - \bar{y}}{\sigma_y}$. Démontrer pas à pas que la covariance entre les variables centrées réduites, $\sigma_{z_x z_y}$, est exactement égale au coefficient de corrélation linéaire $r_{xy}$ des variables d'origine.

Dans une étude d'ingénierie sur la résistance de certains matériaux polymères, on a obtenu deux droites de régression dont les équations cartésiennes sont $3x - 2y - 8 = 0$ et $x - 2y + 4 = 0$.

1. a) Identifier en justifiant quelle est la droite de régression de $Y$ en $X$ et quelle est la droite de régression de $X$ en $Y$.
2. b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ entre les deux variables.

Le nuage de points suivant représente la relation entre la température d'un réacteur chimique ($X$, centrée en 0) et le rendement de la réaction ($Y$). Les points relevés sont $(-2 ; 4)$, $(-1 ; 1)$, $(0 ; 0)$, $(1 ; 1)$ et $(2 ; 4)$.

1. a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de Pearson pour ces données.
2. b) À la vue du résultat et du graphique ci-joint, expliquer en détail pourquoi le coefficient de corrélation prend cette valeur alors qu'il existe une dépendance fonctionnelle exacte ($y = x^2$) entre les variables.

Les variables aléatoires $X$ et $Y$ ont pour variances $\sigma_x^2 = 16$ et $\sigma_y^2 = 25$, et leur coefficient de corrélation linéaire est $r_{xy} = 0,4$. On définit une nouvelle variable $W = X + kY$, où $k$ est une constante réelle. Déterminer la valeur exacte de $k$ pour que les variables $X$ et $W$ soient non corrélées (c'est-à-dire $r_{xw} = 0$).

Remarque : vous pouvez utiliser la propriété de linéarité de la covariance : $\sigma_{x, x+ky} = \sigma_x^2 + k\sigma_{xy}$.

Lors d'une expérience de thermodynamique, on mesure la pression ($P$) d'un gaz pour différents volumes ($V$) à température constante. La théorie physique prévoit une relation du type $P = \frac{k}{V}$. Pour linéariser le modèle et appliquer une régression linéaire, on définit une nouvelle variable auxiliaire $X = \frac{1}{V}$. On a obtenu les couples expérimentaux $(V, P)$ suivants : $(2; 12,1)$, $(4; 5,9)$, $(5; 4,8)$, $(8; 3,0)$.

Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $X$ et $P$. Le résultat obtenu confirme-t-il la théorie physique sous-jacente ?

La variance résiduelle (ou erreur quadratique moyenne) de la régression de $Y$ en $X$ fournit une mesure de la dispersion des points autour de la droite d'ajustement, et peut se calculer par l'expression $\sigma_e^2 = \sigma_y^2 (1 - r^2)$. Dans une étude socioéconomique, on sait que la variance de la variable dépendante $Y$ est $36$ et que la droite de régression de $Y$ en $X$ laisse une variance résiduelle de $6,25$. Sachant que le coefficient directeur de cette droite de régression est négatif, déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r$ et interpréter statistiquement sa signification.

Un laboratoire d'astrophysique enregistre cinq mesures conjointes de deux grandeurs aux valeurs très élevées :

$(10\,002; 50\,010),\ (10\,004; 50\,016),\ (10\,006; 50\,022),\ (10\,008; 50\,028),\ (10\,010; 50\,034)$.

Pour déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r$, l'équipe hésite entre trois stratégies :

• Méthode 1 (directe) : calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sigma_x^2$, $\sigma_y^2$ et $\sigma_{xy}$ en appliquant les formules aux données d'origine.

• Méthode 2 (changement d'échelle et d'origine) : centrer ou réduire en définissant $U = \frac{X - 10\,006}{2}$ et $V = \frac{Y - 50\,022}{6}$, calculer $r_{uv}$ sur les valeurs réduites $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ et en déduire $r_{xy}$.

• Méthode 3 (déduction fonctionnelle) : chercher s'il existe une relation exacte $Y = aX + b$ entre les points et appliquer le résultat théorique sur les variables alignées.

1. a) Résoudre le problème en appliquant la méthode 2 et la méthode 3, en expliquant en détail les étapes suivies dans chacune.
2. b) Comparer de façon critique les trois méthodes : justifier laquelle est la plus efficace et expliquer quels inconvénients numériques présente la méthode 1 lorsqu'on calcule à la main ou avec des calculatrices usuelles.
3. c) Si la dernière mesure avait été $(10\,010; 50\,030)$ au lieu de $(10\,010; 50\,034)$, les trois méthodes seraient-elles encore valables ? Justifier laquelle serait invalidée et laquelle des deux restantes serait la plus adaptée pour calculer le nouveau $r$.

Une étude sur les conditions de travail analyse, dans deux secteurs professionnels distincts (secteur A et secteur B), la relation entre les années d'expérience dans le poste ($X$) et un indice de satisfaction au travail ($Y$, de 1 à 10 points). On relève trois observations dans chaque secteur :

• Secteur A : $(1\,;\,5)$, $(2\,;\,6)$ et $(3\,;\,7)$.

• Secteur B : $(7\,;\,1)$, $(8\,;\,2)$ et $(9\,;\,3)$.

1. a) Déduire, sans calculer de variances, le coefficient de corrélation linéaire du secteur A ($r_A$) et du secteur B ($r_B$), en justifiant la déduction à partir de la relation fonctionnelle observée dans chaque groupe.
2. b) Un analyste décide de réunir les deux groupes en un unique échantillon global de 6 observations. Calculer en détail les moyennes marginales $\bar{x}$ et $\bar{y}$, les écarts types $\sigma_x$ et $\sigma_y$, la covariance globale $\sigma_{xy}$ et le coefficient de corrélation global $r_{\text{global}}$.
3. c) Interpréter le résultat obtenu : comment est-il possible que, dans chaque secteur, la corrélation linéaire soit parfaite et positive ($r = 1$), mais que, en fusionnant les deux secteurs, le coefficient global soit fortement négatif ? Expliquer le rôle joué par la variable qualitative cachée « secteur » dans cette contradiction apparente (connue sous le nom de paradoxe de Simpson).