Exercices: Équations y' = ay + b et modélisation

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $y' = 3y$.

Vérifier que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4e^{-2x} + 3$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y + 6$.

Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $y' = -0,5y$ qui vérifie la condition initiale $f(0) = 8$.

Soit l'équation différentielle $(E) : y' = 2y - 6$.

1. a) Déterminer une solution particulière constante de $(E)$.
2. b) En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
3. c) Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0) = 5$.

Une tasse de café est posée dans une pièce de Lyon dont la température est constante, égale à $20\,°\mathrm{C}$. La température $T(t)$ du café, en degrés Celsius, à l'instant $t$ (en minutes) vérifie la loi de refroidissement de Newton : $T'(t) = -0,1\,(T(t) - 20)$. À l'instant $t = 0$, le café est à $80\,°\mathrm{C}$.

1. a) Écrire l'équation sous la forme $y' = ay + b$.
2. b) Déterminer l'expression de $T(t)$.
3. c) Calculer la température du café après $10$ minutes (arrondir au dixième).

Un condensateur initialement chargé à une tension de $12$ V se décharge dans une résistance. La tension $u(t)$, en volts, à l'instant $t$ (en secondes) vérifie $u'(t) + 2u(t) = 0$.

1. a) Déterminer $u(t)$.
2. b) Calculer la tension à $t = 1$ s (arrondir au centième).
3. c) Déterminer à partir de quel instant la tension est inférieure à $1$ V (arrondir au centième).

On considère l'équation différentielle $(E) : y' = -0,5y + 3$.

1. a) Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0) = 1$.
2. b) Étudier les variations de $f$ et déterminer sa limite en $+\infty$.
3. c) Montrer que l'équation $f(x) = 5$ admet une unique solution sur $[0 ; +\infty[$ et la calculer.
4. d) Montrer que si $g$ est une solution de $(E)$, alors $g - f$ est solution de $y' = -0,5y$. En déduire que $f$ est la seule solution de $(E)$ vérifiant $f(0) = 1$.

Une population de bactéries dans un bioréacteur à Toulouse est modélisée par une fonction $N$ (en milliers d'individus) de la variable $t$ (en heures) vérifiant $N'(t) = 0,4\,N(t)\left(1 - \dfrac{N(t)}{10}\right)$ avec $N(0) = 1$ (modèle de Verhulst). On pose $y(t) = \dfrac{1}{N(t)}$, et on admet que $N$ ne s'annule pas.

1. a) Montrer que $y$ est solution de l'équation différentielle $y' = -0,4y + 0,04$.
2. b) Résoudre cette équation avec la condition initiale appropriée.
3. c) En déduire l'expression de $N(t)$ et la limite de $N(t)$ en $+\infty$.
4. d) Déterminer à partir de quelle heure entière la population dépasse $5$ milliers d'individus.

On étudie la méthode d'Euler de pas $h = 0,1$ pour l'équation $y' = y$ avec $y(0) = 1$, qui définit $y_{k+1} = y_k + h\,y_k$.

1. a) Montrer que $(y_k)$ est une suite géométrique et donner $y_k$ en fonction de $k$.
2. b) Calculer l'approximation de $y(1)$ obtenue par cette méthode et la comparer à la valeur exacte $e$ (donner l'erreur absolue, arrondie au millième).
3. c) Avec un pas $h = \frac{1}{n}$, donner l'approximation de $y(1)$ et justifier qu'elle tend vers $e$ quand $n$ tend vers $+\infty$.