Exercices: Dérivation d'une fonction composée

Soit la fonction $f(x) = (3x^2 - 5)^4$. Identifier la fonction « externe » et la fonction « interne ». Une fois celles-ci identifiées, appliquer la formule de dérivation d'une fonction composée pour déterminer sa fonction dérivée $f'(x)$.

Calculer la dérivée de la fonction racine suivante :

$g(x) = \sqrt{5x + 2}$

Utiliser la structure de la dérivée d'une fonction composée pour les puissances, en rappelant que $\sqrt{u} = u^{1/2}$.

Dans le service marketing d'une start-up de mode, on a estimé que le nombre d'utilisateurs inscrits sur son site suit la fonction :

$U(t) = e^{0,5t + 2}$

où $t$ est le temps en mois. Déterminer l'expression du taux de croissance instantané du nombre d'utilisateurs (c'est-à-dire la dérivée $U'(t)$).

Déterminer la fonction dérivée de $h(x) = \ln(x^2 + 3x)$. Pour cela, rappeler que si $y = \ln(u)$, alors $y' = \frac{u'}{u}$.

La formule de dérivation d'une fonction composée nous dit que, pour une composée de fonctions $y = f(g(x))$, sa dérivée est $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Appliquer ce principe pour dériver la fonction trigonométrique :

$f(x) = \sin(4x - 1)$

Un fabricant de composants électroniques détermine que le coût total (en euros) de production de $x$ unités d'un nouveau capteur est donné par :

$C(x) = (x + 10)^{3}$

Calculer le coût marginal lorsque l'on produit $x$ unités (c'est-à-dire déterminer $C'(x)$).

Observer le schéma suivant, qui représente la composée de deux fonctions $u(x)$ et $v(x)$. Sachant que $f(x) = (v \circ u)(x)$, utiliser les informations du diagramme pour calculer $f'(x)$.

$u(x) = x^3 + 1 \quad \longrightarrow \quad v(u) = \sqrt{u}$

Calculer la dérivée des fonctions polynômes composées suivantes, en simplifiant le résultat au maximum :

1. a) $f(x) = (1 - x)^5$
2. b) $g(x) = (2x + 3)^2$

Marc prépare le baccalauréat et doit dériver la fonction $f(x) = \sqrt{5x^2 - 2x + 1}$. Dans son cahier, il écrit la résolution suivante :

Il justifie que, d'après le tableau des dérivées usuelles, « la dérivée de la racine est toujours un divisé par le double de la racine elle-même ».

1. a) Identifier la fonction externe $v(u)$ et la fonction interne $u(x)$ dont $f(x) = v(u(x))$ est la composée.
2. b) Expliquer, en justifiant, l'erreur de raisonnement commise par Marc dans l'application de la dérivée d'une fonction composée et préciser quel facteur il a oublié.
3. c) Corriger le calcul en écrivant l'expression simplifiée de la fonction dérivée $f'(x)$ et calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x = 1$.

On souhaite calculer la fonction dérivée de $f(x) = \ln\left(\frac{2x + 1}{x + 3}\right)$ pour toute valeur de l'ensemble de définition où $x > -0,5$. Pour cela, on propose deux méthodes différentes :

• Méthode A (dérivée directe d'une fonction composée) : considérer $u(x) = \frac{2x + 1}{x + 3}$, calculer la dérivée du quotient $u'(x)$ puis appliquer $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.

• Méthode B (propriétés des logarithmes) : appliquer au préalable la propriété $\ln\left(\frac{A}{B}\right) = \ln A - \ln B$ pour transformer la fonction en une différence de deux logarithmes simples, puis dériver terme à terme.

1. a) Développer la dérivée en suivant les deux méthodes et vérifier que l'on obtient la même expression simplifiée dans les deux cas.
2. b) Comparer la quantité d'opérations algébriques de chaque procédé et justifier laquelle des deux méthodes vous recommanderiez à un camarade pour minimiser le risque d'erreurs de calcul.

Calculer la fonction dérivée de la fonction polynôme composée suivante et déterminer le coefficient directeur de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $x = 1$ :

$f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^5$

Une entreprise de fabrication de composants électroniques a estimé que le coût total (en milliers d'euros) de production de $x$ unités d'un nouveau modèle de processeur est donné par la fonction :

$C(x) = \sqrt{2x^2 + 5x + 100}$

Déterminer l'expression du coût marginal $C'(x)$ en utilisant la dérivée d'une fonction composée, puis calculer ce coût lorsque l'on produit exactement $10$ unités.

Le nombre d'abonnés d'une influenceuse connue sur un réseau social, exprimé en milliers de personnes, suit un modèle de croissance donné par la fonction :

$S(t) = 50 \cdot \ln(t^2 + 4t + 5)$

où $t$ est le temps en mois depuis le lancement de sa campagne publicitaire. Le graphique représente la fonction et le point correspondant à $t = 3$.

Calculer le rythme de croissance du nombre d'abonnés (la dérivée) au troisième mois ($t = 3$).

Soit la fonction exponentielle composée $g(x) = e^{x^2 - 4x + 1}$. Déterminer les points de la courbe où la tangente est horizontale.

Déterminer la dérivée de la fonction suivante, qui associe la dérivée d'un quotient et celle d'une fonction composée :

$h(x) = \frac{(3x - 1)^2}{x^2 + 1}$

Simplifier le résultat final autant que possible.

La valeur de marché d'une action technologique (en euros) a fluctué au cours d'une séance de bourse de 8 heures selon la fonction :

$V(t) = 10 + 2 \cdot \sqrt{(t - 4)^2 + 9}$

où $t$ est le temps en heures ($0 \le t \le 8$). Déterminer le taux de variation instantané de la valeur de l'action à la fin de la sixième heure de la séance.

Déterminer la valeur du paramètre constant $k$ dans la fonction $f(x) = \ln(kx^2 + 1)$ sachant que le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse $x = 1$ est égal à $1$.

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables. On connaît les valeurs suivantes :

• $g(2) = 5$

• $g'(2) = 3$

• $f'(5) = -4$

Utiliser la formule de dérivation d'une fonction composée pour calculer la valeur de la dérivée de la fonction composée $H(x) = (f \circ g)(x)$ au point $x = 2$, c'est-à-dire déterminer $H'(2)$.

Une coopérative d'huile d'olive modélise son coût total quotidien de conditionnement $C$ (en centaines d'euros) en fonction du volume $q$ (en milliers de litres conditionnés) par la fonction :

Au cours d'une journée de 8 heures continues ($0 \le t \le 8$, où $t$ est mesuré en heures), le volume cumulé est donné par la fonction :

1. a) Justifier, à partir de la dérivée d'une fonction composée, la signification économique de la dérivée composée $\frac{dC}{dt}$ et l'exprimer théoriquement en fonction de $C'(q)$ et $q'(t)$.
2. b) Déterminer l'expression analytique du taux de variation instantané du coût par rapport au temps, $\frac{dC}{dt}$.
3. c) Calculer la valeur exacte de $\frac{dC}{dt}$ deux heures après le début du poste ($t = 2$) et interpréter le résultat en indiquant les unités économiques correspondantes.

Un service d'études économiques analyse l'évolution d'un indice de confiance des entreprises $I(x)$, qui dépend du taux d'inflation annuel $x$ (exprimé en pourcentage), modélisé par la fonction :

Actuellement, le taux d'inflation en France est de $6\,\%$ ($x = 6$).

1. a) Estimer : Sans dériver analytiquement, justifier quel doit être le signe de $I'(6)$ compte tenu du contexte économique (la confiance des entreprises augmente-t-elle ou diminue-t-elle face à une hausse de l'inflation ?). À partir de la forme de la fonction, estimer, en justifiant, si l'impact négatif sur la confiance sera plus faible ou plus brutal lorsque l'inflation passe de $6\,\%$ à $7\,\%$ que lorsqu'elle passe de $1\,\%$ à $2\,\%$.
2. b) Calculer : Déterminer la fonction dérivée $I'(x)$ à l'aide de la dérivée d'une fonction composée et calculer sa valeur exacte en $x = 6$.
3. c) Vérifier : Déterminer la tangente à la courbe en $x = 6$, l'utiliser pour estimer la valeur de l'indice si l'inflation montait légèrement à $6,2\,\%$ et évaluer si le résultat obtenu est cohérent avec l'estimation initiale.

Calculer la fonction dérivée de l'expression suivante, en simplifiant le résultat au maximum à l'aide d'identités trigonométriques ou de propriétés des logarithmes :

Déterminer les valeurs des paramètres $a, b \in \mathbb{R}$ pour que la fonction suivante soit continue et dérivable sur tout son ensemble de définition, en portant une attention particulière à la composition dans la seconde branche :

Une entreprise de marketing numérique a déterminé que le nombre d'utilisateurs actifs d'une plateforme sociale, $U(t)$, mesuré en milliers, suit une fonction qui dépend de l'investissement publicitaire $x$ (en milliers d'euros), lequel varie à son tour avec le temps $t$ (en mois). Les fonctions sont :

Calculer le taux de variation instantané du nombre d'utilisateurs par rapport au temps lorsque exactement $t = 2$ mois se sont écoulés. Interpréter si la croissance du nombre d'utilisateurs accélère ou ralentit à cet instant.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g(x)$ au point d'abscisse $x = 1$. La fonction est définie par la composition suivante :

Dans l'étude d'un marché en situation de monopole, on a constaté que le prix d'un produit $p$ (en euros) et la quantité demandée $q$ (en unités) sont liés de façon implicite par l'équation suivante :

Sachant que la recette totale est donnée par la fonction $I = p \cdot q$, utiliser la dérivée d'une fonction composée et la dérivation implicite pour déterminer la dérivée de la recette par rapport au prix, $\frac{dI}{dp}$, lorsque le prix est de $p = 4$ euros (on ne considère que la valeur positive de $q$).

Étudier l'existence de points à tangente horizontale pour la fonction $f(x) = (x^2 - 4)^2 \cdot e^{-x^2}$. Pour cela, calculer la dérivée première en appliquant la dérivée d'une fonction composée et celle d'un produit, puis l'égaler à zéro pour déterminer toutes les solutions possibles dans l'ensemble des réels.

Soit la fonction $h(x) = \log_2 \left( \sqrt[3]{x^3 + 3x^2} \right)$. Calculer la valeur de sa dérivée au point d'abscisse $x = 1$. Remarque : penser à appliquer la formule de dérivation d'une fonction composée pour les logarithmes de base différente de $e$.

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dont on connaît les données suivantes :

• $g(1) = 2$ et $g'(1) = 3$

• $f(2) = -1$ et $f'(2) = 5$

On définit une nouvelle fonction $H(x) = \sqrt{f(g(x)) + 5}$. Calculer la valeur de $H'(1)$ en appliquant rigoureusement la formule de dérivation d'une fonction composée. Commenter ce qui se passerait pour la dérivée si la valeur sous la racine était négative.

On considère la fonction composée $H(x) = \ln(x^2 + bx + c)$, où $b$ et $c$ sont des paramètres réels. On dispose des informations suivantes sur son comportement :

• La fonction $H(x)$ admet un extremum local au point d'abscisse $x = 2$.

• La tangente à la courbe de $H(x)$ au point d'abscisse $x = 1$ est parallèle à la droite d'équation $y = -x + 4$.

1. a) Appliquer la formule de dérivation d'une fonction composée pour obtenir l'expression de $H'(x)$ en fonction des paramètres $b$ et $c$.
2. b) Poser un système d'équations à partir des données précédentes et déterminer, en justifiant, les valeurs de $b$ et $c$. Démontrer en outre que, avec ces coefficients, l'argument du logarithme est strictement positif pour tout nombre réel, de sorte que l'ensemble de définition de $H(x)$ est $\mathbb{R}$ tout entier.
3. c) Déterminer la nature de l'extremum local situé en $x = 2$ (en indiquant s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum local) par une étude rigoureuse du signe de $H'(x)$ à gauche et à droite de ce point.

Un audit financier modélise la rentabilité nette de deux branches d'activité à l'aide de deux fonctions dérivables inconnues, $f$ et $g$. On ne dispose des expressions explicites d'aucune d'entre elles, mais on connaît exactement les données suivantes :

• La tangente à la courbe de $g(x)$ au point d'abscisse $x = 3$ a pour équation $y = -2x + 7$.

• Pour la fonction $f$, on a relevé les valeurs : $f(1) = 4$, $f'(1) = -3$, $f(3) = 2$ et $f'(3) = 5$.

À partir de ces données, on définit deux nouveaux indicateurs financiers composés :

1. a) Déduire, en justifiant, à partir de la tangente donnée, les valeurs numériques de $g(3)$ et du nombre dérivé $g'(3)$.
2. b) Appliquer la formule de dérivation d'une fonction composée pour déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction $h(x)$ au point d'abscisse $x = 3$. Justifier explicitement quelles valeurs de l'information fournie sur $f$ sont utilisées et lesquelles doivent être écartées, en mettant en garde contre l'erreur fréquente qui consiste à confondre $f'(g(3))$ avec $f'(3)$.
3. c) Calculer le taux de variation instantané $k'(3)$ et interpréter si l'indicateur $k(x)$ est en phase de croissance ou de décroissance en ce point.

Défi du chapitre. À quel rythme notre consommation électrique varie-t-elle ?

1. Recueil de données : Se rendre sur le site de RTE (Réseau de transport d'électricité) et relever la demande nationale (en MW) à six heures différentes de la journée d'hier. Saisir les couples heure-demande dans GeoGebra ou un tableur et ajuster une fonction polynôme $D(t)$.

2. Dérivation et fonction composée : On suppose que le coût de gros associé suit le modèle $C(D) = \sqrt{2 + 0,15 \cdot D^2}$ (en milliers d'euros). Appliquer les règles de dérivation et la dérivée d'une fonction composée pour déterminer analytiquement la fonction donnant le rythme de variation du coût par rapport au temps : $C'(t) = \frac{dC}{dD} \cdot D'(t)$.

3. Nombre dérivé et interprétation : Calculer la dérivée à deux moments clés : en heure creuse ($t = 4\text{ h}$) et en heure de pointe ($t = 21\text{ h}$). Interpréter la valeur et le signe de $D'(t)$ et $C'(t)$ comme des taux de variation instantanés.

4. Production finale : Rédiger un court rapport (une page) comportant le graphique, les développements mathématiques et une proposition argumentée sur la manière d'adapter les habitudes de consommation selon la vitesse à laquelle varie la dépense énergétique.

Seront évalués :

• Le recueil et la modélisation adaptée des données réelles dans GeoGebra ou un tableur.

• L'exactitude du calcul des dérivées, avec une application correcte de la dérivée d'une fonction composée.

• L'interprétation mathématique et socio-économique rigoureuse du nombre dérivé.

• La clarté des conclusions et la qualité de la présentation du rapport.