Exercices: Espérance et écart type de la loi binomiale

Une étude récente sur les habitudes numériques indique que $85\%$ des adolescents français de 15 à 16 ans utilisent l'authentification à deux facteurs sur leurs comptes de jeux vidéo. Si l'on sélectionne un échantillon aléatoire de $20$ adolescents :

1. a) Identifier les paramètres $n$ et $p$ de la loi binomiale qui modélise cette situation.
2. b) Calculer le nombre attendu (moyenne) d'adolescents qui utilisent ce système de sécurité dans l'échantillon.

Une plateforme de streaming musical a constaté que la probabilité qu'un utilisateur « saute » un morceau recommandé par l'algorithme avant la fin est de $0,3$. Si, un après-midi, vous écoutez une liste de $12$ morceaux recommandés :

1. a) Déterminer l'espérance et la variance du nombre de morceaux que vous devriez sauter.
2. b) Calculer l'écart type et interpréter l'information qu'il apporte sur la dispersion des données dans ce contexte.

Dans un centre de formation professionnelle, $40\%$ des étudiants utilisent les transports en commun pour se rendre en cours. On prélève au hasard un échantillon de $50$ étudiants du centre. Calculer la moyenne et l'écart type du nombre d'étudiants qui utilisent les transports en commun dans cet échantillon.

Une joueuse de basket professionnelle a un taux de réussite aux lancers francs de $80\%$. Si, lors d'un entraînement, elle effectue une série de $15$ lancers :

1. a) Quel est le nombre moyen de paniers que l'on peut s'attendre à la voir marquer ?
2. b) Calculer l'écart type. Que se passerait-il pour l'écart type si sa probabilité de réussite était de $50\%$ ? Le vérifier par le calcul.

On considère une variable aléatoire discrète $X$ qui suit une loi binomiale $B(n, p)$. Sachant que le nombre d'expériences est $n = 100$ et que l'espérance de la loi est $\mu = 60$ :

1. a) Déterminer la valeur de la probabilité de succès $p$.
2. b) Calculer la variance de cette loi.

Dans une usine de composants pour smartphones, on sait que $2\%$ des écrans tactiles présentent un petit défaut esthétique. Les écrans sont expédiés aux magasins dans des boîtes de $250$ unités.

1. a) Calculer le nombre moyen d'écrans défectueux que l'on trouvera dans une boîte.
2. b) Calculer l'écart type de la variable « nombre d'écrans défectueux par boîte ».

On lance $30$ fois un dé équilibré à six faces et on note le nombre de fois où le « 6 » apparaît.

1. a) Définir la variable aléatoire et sa loi.
2. b) Calculer l'espérance de la variable et son écart type. Arrondir les résultats à deux décimales.

Un QCM comporte $10$ questions ayant chacune trois réponses possibles, dont une seule est correcte. Si un élève répond à toutes les questions au hasard :

1. a) Quelle est la valeur de la moyenne du nombre de bonnes réponses ?
2. b) Si l'élève a besoin d'au moins $5$ bonnes réponses pour réussir, la moyenne est-elle au-dessus ou en dessous du seuil de réussite ? Justifier la réponse.

Sophie analyse un lot de $n = 100$ déclarations de revenus choisies au hasard dans un centre des impôts, où la probabilité qu'une déclaration contienne des déductions incorrectes est $p = 0{,}2$. Pour résumer le comportement de l'échantillon, elle effectue le calcul suivant dans son cahier :

« Moyenne de déclarations erronées : $\mu = 100 \cdot 0{,}2 = 20$.

Écart type : $\sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}2} = \sqrt{20} \approx 4{,}47$ déclarations ».

1. a) Identifier l'erreur conceptuelle commise par Sophie et expliquer pourquoi son raisonnement est incorrect.
2. b) Corriger le calcul et déterminer le véritable écart type $\sigma$ de la loi.
3. c) Déterminer l'intervalle de valeurs typiques $]\mu - \sigma\ ;\ \mu + \sigma[$ avec la valeur correcte et interpréter sa signification pour l'inspecteur du centre.

D'après les données de l'Institut national de la statistique et des études économiques (INSEE), $30\,\%$ des ménages français sont locataires. Pour une étude sociologique locale, on sélectionne un échantillon aléatoire de $n = 80$ ménages d'une commune.

1. a) Définir la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de ménages locataires dans l'échantillon et indiquer les paramètres de la loi binomiale qui la modélise.
2. b) Calculer le nombre moyen attendu de ménages locataires et l'écart type de la loi.
3. c) Déterminer l'intervalle $]\mu - \sigma\ ;\ \mu + \sigma[$ des résultats les plus probables. Si l'on trouve finalement $35$ ménages locataires dans l'échantillon choisi, peut-on considérer ce résultat comme atypique d'après cet intervalle ? Justifier la réponse.

Sur un réseau social bien connu, on a estimé que la probabilité qu'un utilisateur interagisse avec une publication de contenu culturel est $p = 0,18$. Si un « influenceur » lance une campagne qui touche un groupe de $n = 150$ abonnés :

1. a) Calculer le nombre attendu d'abonnés qui interagiront avec la publication et son écart type.

1. b) Si le coût de la campagne est de $50$ € fixes plus $2$ € par interaction prévue (d'après la moyenne), quel est le budget attendu pour cette action publicitaire ?

Une variable aléatoire discrète suit une loi binomiale $X \sim B(n, p)$. On sait que son espérance est $\mu = 12$ et que son écart type est $\sigma = 3$.

1. a) Déterminer les valeurs des paramètres $n$ (nombre d'épreuves) et $p$ (probabilité de succès).

1. b) Justifier si cette loi pourrait être approchée par une loi normale, à partir des valeurs obtenues.

Deux joueurs de basket, Alice et Bruno, s'entraînent aux lancers francs. Alice a une probabilité de réussite de $0,8$ et effectue $50$ lancers. Bruno a une probabilité de $0,6$ mais effectue $80$ lancers.

1. a) Lequel des deux joueurs a le plus grand nombre attendu de paniers ?

1. b) Lequel des deux joueurs présente la plus grande dispersion (écart type) dans ses résultats ? Interpréter ce que cela signifie en termes de régularité de jeu.

Une entreprise de logistique utilise des drones pour la livraison de colis dans des zones urbaines. La probabilité qu'un drone subisse un retard dû aux conditions météorologiques est de $5\%$. Si, au cours d'une journée, on effectue $200$ vols indépendants :

1. a) Calculer l'espérance et la variance du nombre de vols qui arrivent en retard.

1. b) Le protocole de maintenance se déclenche si, au cours d'une journée, le nombre de retards dépasse la valeur $\mu + 2\sigma$. Calculer cette valeur seuil.

Lors d'une enquête sur les habitudes de lecture réalisée auprès de $60$ adolescents, on sait que le nombre attendu de lecteurs habituels de presse numérique est $21$.

1. a) Déterminer la probabilité $p$ qu'un adolescent choisi au hasard soit lecteur habituel de presse numérique.

1. b) Calculer l'écart type de cette loi.

1. c) Si l'on sélectionne un autre échantillon dont le nombre d'adolescents est doublé ($n=120$), comment varie l'écart type par rapport à l'échantillon initial ? Justifier la réponse par le calcul.

On a constaté que $40\%$ des élèves d'un centre de langues se présentent à l'examen officiel de niveau B2. Si cette année $100$ élèves sont inscrits :

1. a) Déterminer les paramètres de la variable $X$ qui représente le nombre d'élèves qui se présentent à l'examen.

1. b) Pour les lois binomiales, on considère que les valeurs les plus « typiques » ou probables se trouvent dans l'intervalle $]\mu - \sigma\ ;\ \mu + \sigma[$. Calculer cet intervalle dans ce cas précis.

Le service de contrôle qualité d'une usine d'ampoules LED sait que la probabilité qu'une unité soit défectueuse est $p = 0,02$. Les ampoules sont conditionnées en boîtes de $n$ unités.

1. a) Si l'on souhaite que le nombre moyen d'ampoules défectueuses par boîte soit exactement $1,6$, combien d'ampoules chaque boîte doit-elle contenir ?

1. b) Avec cette valeur de $n$, calculer la probabilité qu'une boîte ne contienne aucune ampoule défectueuse.

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale. Si le nombre d'épreuves est $n = 25$ et que la variance est $Var(X) = 4$ :

1. a) Calculer les deux valeurs possibles de la probabilité de succès $p$.

1. b) Pour chaque valeur de $p$ trouvée, calculer l'espérance correspondante $\mu$.

1. c) Si l'on sait que la loi est asymétrique positive (c'est-à-dire que le succès est moins probable que l'échec), quelle valeur de $p$ retiendriez-vous ? Justifier la réponse.

Dans une usine de composants électroniques, la probabilité qu'une puce soit défectueuse sur la chaîne de montage est $p = 0{,}4$. On prélève un échantillon de contrôle qualité de $n = 5$ puces.

Pour calculer la moyenne et l'écart type du nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon, deux analystes proposent des méthodes différentes :

• Méthode A : Établir le tableau de la loi de probabilité en calculant $P(X = k)$ pour chaque $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ avec la formule de la loi binomiale, puis appliquer les formules générales des variables discrètes : $\mu = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$ et $\sigma = \sqrt{\sum x_i^2 \cdot P(X = x_i) - \mu^2}$.

• Méthode B : Appliquer directement les expressions $\mu = n \cdot p$ et $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$.

1. a) Appliquer la méthode B pour calculer la moyenne et l'écart type de ce lot.
2. b) Comparer l'efficacité des deux démarches : conduisent-elles exactement à la même valeur numérique ? Justifier pourquoi la méthode B est préférable et expliquer quelles difficultés pratiques poserait la méthode A si la taille de l'échantillon était $n = 150$.
3. c) Si l'on règle les machines et que la probabilité de défaut baisse à $p = 0{,}1$ en conservant $n = 5$, raisonner (sans calculer la racine carrée numériquement) pour savoir si la dispersion $\sigma$ augmentera ou diminuera par rapport au cas précédent, en analysant le produit $p \cdot q$.

Un cabinet de conseil en transports audite la ponctualité des lignes de bus urbaines d'une grande ville française. Dans le rapport final, à cause d'une erreur de mise en page, les paramètres d'origine $n$ et $p$ de la loi binomiale $B(n, p)$ du nombre de bus qui arrivent en retard par tranche horaire ont été effacés. Cependant, dans le résumé des conclusions, on peut encore lire deux données statistiques : la moyenne des retards est $\mu = 20$ bus et l'écart type est $\sigma = 4$ bus.

1. a) Démontrer algébriquement qu'à partir du quotient $\frac{\sigma^2}{\mu}$, on peut déduire directement la valeur de $q = 1 - p$ dans toute loi binomiale.
2. b) Utiliser cette relation pour calculer la probabilité $p$ qu'un bus soit en retard et le nombre total $n$ de bus contrôlés par tranche horaire lors de l'audit.
3. c) On suppose que le rapport indiquait seulement que $\sigma = 4$ et que la taille de l'échantillon était $n = 100$. Écrire l'équation permettant de déterminer $p$, trouver ses deux solutions possibles et expliquer pourquoi il existe deux valeurs distinctes de $p$ qui donnent exactement le même écart type.

Un créateur de contenu sur un réseau social sait que la probabilité qu'un nouvel utilisateur s'abonne à sa chaîne après avoir vu un « short » est de $p = 0,12$. L'algorithme l'informe que, lors de sa dernière campagne, la moyenne de nouveaux abonnés a été de $18$ personnes.

1. a) Déterminer la taille de l'échantillon $n$ (nombre de visionnages) analysé par l'algorithme.
2. b) Calculer l'écart type de cette loi.
3. c) Quelle est la probabilité que le nombre d'abonnés soit exactement égal à la moyenne ?

Une entreprise de logistique utilise des drones pour la livraison de colis dans des villes intelligentes. On sait que la variable $X$ qui représente le nombre de livraisons échouées dans un lot de $n$ envois suit une loi binomiale. Après une étude interne, on a constaté que la moyenne des échecs est $4$ et que la variance est $3,2$.

1. a) Calculer les paramètres $n$ et $p$ de la loi.
2. b) Si l'on effectue un envoi individuel, quelle est la probabilité que la livraison réussisse ?
3. c) Quelle est la probabilité que, dans un lot de $n$ envois, aucun n'échoue ?

Un analyste en cybersécurité étudie des attaques d'hameçonnage. La probabilité qu'un employé clique sur un lien malveillant est $0,005$. L'analyste souhaite envoyer une campagne de test à un groupe d'employés de taille $n$.

Déterminer le nombre minimal d'employés auxquels il faut envoyer le courriel pour que la probabilité qu'au moins un d'entre eux clique sur le lien soit supérieure à $90\%$.

Dans une étude sur l'usage des transports durables, on a observé que le nombre d'élèves qui viennent au lycée en trottinette électrique, par groupes de $50$ personnes, suit une loi binomiale $B(50,\,p)$, où $p$ est la probabilité qu'un élève utilise une trottinette électrique. L'écart type de ce nombre d'utilisateurs est $\sigma = 3$.

La figure montre comment varie l'écart type $\sigma=\sqrt{50\,p\,(1-p)}$ en fonction de $p$ et la droite $\sigma = 3$.

1. a) Trouver les deux valeurs possibles de la probabilité $p$ qu'un élève utilise une trottinette électrique.

1. b) Sachant que la trottinette est un moyen de transport minoritaire ($p < 0,5$), calculer le nombre moyen d'utilisateurs dans un échantillon de $100$ élèves.

Un jeu vidéo de stratégie donne une probabilité $p$ d'obtenir un « objet légendaire » en ouvrant un coffre. Un joueur ouvre $200$ coffres et constate que l'écart type de son gain est le double de celui obtenu si la probabilité de succès était $0,01$.

1. a) Poser une équation permettant de trouver la valeur de $p$.
2. b) Déterminer le nombre moyen d'objets légendaires attendu dans les $200$ coffres avec cette valeur de $p$.

On lance $n$ fois une pièce truquée. On sait que la probabilité d'obtenir pile est $p$. Si la moyenne du nombre de piles obtenus est $15$ et que l'écart type est $\sqrt{10}$, calculer :

1. a) La probabilité $p$ d'obtenir pile.

1. b) Le nombre de lancers $n$ effectués.

1. c) La probabilité d'obtenir exactement $2$ piles en seulement $5$ lancers.

Lors d'un contrôle qualité dans une usine d'ampoules LED, on analyse le nombre d'unités défectueuses dans des boîtes d'une taille donnée. La variance du nombre d'ampoules défectueuses par boîte est $3,75$ et on sait que la probabilité qu'une ampoule soit défectueuse est de $5\%$.

1. a) Combien d'ampoules contient chaque boîte ?
2. b) Si le fabricant veut diviser l'écart type par deux, comment devrait évoluer le nombre d'ampoules par boîte en conservant la même qualité de fabrication ($p$) ?

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale $B(n, p)$. On sait que son espérance est $\mu = 30$.

1. a) Quelle est la valeur minimale que peut prendre son écart type ? Justifier la réponse en raisonnant sur les valeurs possibles de $p$.
2. b) Si l'écart type est $\sigma = 5$, calculer la probabilité d'obtenir au moins un succès dans un échantillon de seulement $3$ individus de cette même population.

Trois instituts de recherche démographique analysent l'adhésion à trois mesures sociales en France à l'aide d'échantillons indépendants de même taille, $n = 400$ personnes chacun :

• Mesure 1 : la proportion estimée de partisans est $p_1 = 0{,}10$ (très minoritaire).

• Mesure 2 : la proportion estimée de partisans est $p_2 = 0{,}48$ (très partagée).

• Mesure 3 : la proportion estimée de partisans est $p_3 = 0{,}85$ (très largement consensuelle).

1. a) Estimer avant de calculer : Sans effectuer d'opérations numériques, prévoir et classer en justifiant les trois mesures de la plus faible à la plus forte dispersion (écart type $\sigma$) du nombre de personnes favorables. Justifier la prévision en analysant les propriétés du produit $p \cdot (1 - p)$ et sa symétrie.
2. b) Calculer : Obtenir la valeur exacte de l'écart type $\sigma$ pour chacune des trois lois.
3. c) Vérifier et commenter : Confronter les résultats à la prévision initiale. Puis calculer la valeur théorique maximale que pourrait atteindre $\sigma$ pour tout échantillon de $n = 400$ et en déduire pour quelle valeur de $p$ elle serait atteinte. Pourquoi un vote très serré ($p \approx 0{,}5$) présente-t-il une plus grande variabilité d'un échantillon à l'autre qu'un vote quasi unanime ?

Une plateforme de commerce électronique analyse les réclamations pour colis endommagés lors des expéditions en France métropolitaine. Le nombre quotidien de colis endommagés suit un modèle binomial $B(n, p)$. La direction logistique exige que le coefficient de variation de la loi, défini comme le rapport entre la dispersion et la moyenne ($CV = \frac{\sigma}{\mu}$), ne dépasse pas $5\,\%$ ($0{,}05$) pour considérer le processus quotidien comme statistiquement régulier et prévisible. D'après les relevés historiques, la probabilité qu'un colis soit endommagé est $p = 0{,}02$.

1. a) Obtenir une expression simplifiée du coefficient de variation $CV$ en fonction uniquement de $n$ et $p$.
2. b) Déterminer le nombre minimal d'envois quotidiens $n$ que la plateforme doit gérer pour satisfaire le critère de régularité ($CV \le 0{,}05$). Avec cette valeur minimale de $n$, calculer la moyenne et l'écart type du nombre de colis endommagés par jour.
3. c) On suppose que, pendant une période de soldes, la plateforme gère un volume fixe de $n = 3600$ colis par jour, mais que les conditions de transport se dégradent et que le taux $p$ peut varier entre $0{,}02$ et $0{,}50$. Pour quelle valeur de $p$ le nombre d'incidents atteindrait-il son plus grand écart type ? Quelle serait cette valeur de $\sigma_{\max}$ ? Expliquer en raisonnant quel impact opérationnel a une grande valeur de $\sigma$ sur la planification du personnel du service client.

Défi du thème. Comment le marché du travail touche-t-il les jeunes de votre entourage ? Vous allez élaborer un rapport quantitatif pour une proposition municipale en faveur de l'emploi à l'aide de données officielles de l'INSEE.

1. Données et modèle : Rendez-vous sur le site de l'INSEE et consultez le taux de chômage des jeunes de votre région afin de fixer la probabilité $p$ sous forme décimale (par exemple, $p = 0,28$). Définissez la variable $X$ : « nombre de jeunes au chômage dans un échantillon aléatoire de $n = 8$ jeunes », en la modélisant par $X \sim B(8, p)$.

2. Calcul et paramètres : Justifiez à la main le calcul de $P(X = 2)$ à l'aide des coefficients binomiaux : $\binom{8}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^6$. Calculez ensuite les paramètres statistiques de la loi : l'espérance $\mu = n \cdot p$ et l'écart type $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$.

3. Production finale : Utilisez GeoGebra ou un tableur pour générer le diagramme en barres de la loi. Rédigez un rapport bref (une page) interprétant $\mu$ et $\sigma$ dans le contexte réel et proposant deux mesures d'orientation professionnelle fondées sur les résultats.

Seront évalués :

• La rigueur dans l'obtention de la donnée réelle de l'INSEE et dans la définition du modèle binomial.

• L'exactitude du développement manuel avec les coefficients binomiaux et du calcul de $\mu$ et $\sigma$.

• La qualité du graphique numérique et la cohérence de l'interprétation socio-économique du rapport.