Exercices: Coefficients binomiaux

Pour organiser la fête de fin d'année de terminale, on doit choisir un comité des fêtes composé de $3$ élèves. Si la classe compte $20$ élèves volontaires, de combien de façons différentes peut-on choisir ce groupe ? (L'ordre dans lequel on choisit les élèves n'importe pas : seule compte la composition du comité.) Utiliser la formule des coefficients binomiaux :

$$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

Calculer et simplifier la valeur des expressions suivantes sans utiliser la calculatrice, en appliquant les propriétés des factorielles :

1. a) $\frac{8!}{6!}$

1. b) $\binom{7}{2}$

1. c) $5! - 4!$

Avant d'étudier la loi binomiale, il est essentiel de distinguer le type de variable. Classer les variables aléatoires suivantes en discrètes ou continues :

1. Le nombre de « likes » que reçoit une publication Instagram en une heure.

2. Le temps exact que met un élève pour arriver au lycée.

3. Le nombre de personnes dont le test antigénique est positif dans un échantillon de $50$ individus.

4. La taille des joueurs de l'équipe de France de basket-ball.

Une étude affirme que $70\%$ des adolescents français utilisent TikTok quotidiennement. Si l'on choisit au hasard un groupe de $8$ adolescents d'un lycée :

1. a) Identifier les paramètres $n$ et $p$ de la loi binomiale que suit cette situation.
2. b) Définir la variable aléatoire $X$ associée à cette expérience.
3. c) Quelle est la probabilité que exactement les $8$ adolescents utilisent l'application ? (Écrire seulement la mise en place de la formule).

Sachant que, pour une loi binomiale $B(n, p)$, la probabilité d'obtenir $k$ succès est :

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$

Calculer la probabilité d'obtenir exactement $2$ fois « pile » en lançant une pièce équilibrée $4$ fois.

Dans le cadre des coefficients binomiaux, il existe une propriété de symétrie qui affirme que $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$.

Vérifier cette propriété en calculant les valeurs de $\binom{10}{8}$ et $\binom{10}{2}$. Quelle conclusion en tirez-vous concernant l'effort de calcul lorsque $r$ est un nombre proche de $n$ ?

Un examen de type QCM comporte $5$ questions de type vrai ou faux, et les réponses à certaines questions n'influencent pas celles aux autres (ce sont des événements indépendants). Un élève répond à toutes au hasard, de sorte que, pour chaque question, la probabilité de répondre correctement est $p=0,5$. Soit $X$ le nombre de questions auxquelles il répond correctement.

1. a) Quelle est la probabilité que l'élève ne réponde correctement à aucune question, c'est-à-dire $P(X=0)$ ?

1. b) En utilisant l'événement contraire, expliquer comment calculer la probabilité que l'élève réponde correctement à au moins une question, $P(X \geq 1)$.

Pour une loi binomiale $X \sim B(100; 0,2)$, calculer :

1. a) L'espérance ($\mu = n \cdot p$).
2. b) La variance ($\sigma^2 = n \cdot p \cdot q$).
3. c) L'écart type ($\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$).

Expliquer brièvement ce que signifie la valeur de l'espérance dans ce contexte.

Mathis résout un exercice sur l'organisation d'activités scolaires : il doit calculer combien de comités de 3 élèves on peut former à partir d'un groupe de 8 délégués de classe. Dans son cahier, il écrit :

$$\binom{8}{3} = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$$

Sa camarade Léa vérifie le calcul et lui signale que le résultat est faux.

1. a) Expliquer en détail l'erreur de raisonnement commise par Mathis. Quelle quantité a-t-il réellement calculée et pourquoi ne correspond-elle pas à la formation d'un comité sans rôles distincts ?
2. b) Justifier quel facteur manque au dénominateur de sa formule, quel rôle joue ce facteur pour éviter les répétitions, puis calculer la valeur correcte de $\binom{8}{3}$.

Pour une étude sur les enseignements de spécialité au lycée, vous devez calculer à la main la valeur du coefficient binomial $\binom{25}{23}$. Votre professeure vous suggère d'envisager trois méthodes avant de vous lancer dans les calculs :

• Méthode A : appliquer strictement la définition en développant les factorielles complètes : $\dfrac{25!}{23! \cdot 2!}$, en calculant d'abord les produits du numérateur et du dénominateur.

• Méthode B : utiliser la propriété de symétrie $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ pour transformer le coefficient binomial en $\binom{25}{2}$ et simplifier les facteurs avant de multiplier.

• Méthode C : construire le triangle de Pascal ligne par ligne de la ligne 0 à la ligne 25, en additionnant les valeurs successives grâce à la relation de Pascal.

1. a) Comparer les trois méthodes et justifier laquelle est la plus efficace dans ce cas précis, et pourquoi les deux autres sont déconseillées lors d'une épreuve écrite à durée limitée.
2. b) Appliquer la méthode choisie pour calculer le résultat final en détaillant toutes les étapes de la simplification.

Dans un centre sportif de haut niveau, on veut sélectionner un groupe de 4 athlètes pour représenter la France lors d'une compétition internationale de relais. S'il y a 12 athlètes disponibles dans le centre (7 hommes et 5 femmes), calculer :

1. a) Le nombre total de façons différentes de choisir l'équipe de 4 personnes.

1. b) Dans combien de ces combinaisons l'équipe serait-elle composée d'exactement 2 hommes et 2 femmes ?

1. c) Utiliser les propriétés des coefficients binomiaux pour démontrer, sans calculer la valeur numérique, que :

$$\binom{12}{4} = \binom{11}{3} + \binom{11}{4}$$

Une jeune entrepreneuse a lancé une application de mode durable. D'après ses études de marché, $35\%$ des utilisateurs qui téléchargent l'application finissent par effectuer un achat au cours de la première semaine. Si 10 nouveaux utilisateurs indépendants se sont inscrits aujourd'hui :

1. a) Définir la variable aléatoire $X$ et justifier si elle suit une loi binomiale, en indiquant ses paramètres.
2. b) Calculer la probabilité que exactement 4 de ces utilisateurs effectuent un achat.
3. c) Quelle est la probabilité que, au plus, 2 utilisateurs achètent au cours de la première semaine ?

On sait que $15\%$ des emballages produits par une usine de recyclage du plastique ne respectent pas les normes de pureté requises. Un inspecteur qualité sélectionne au hasard 8 emballages pour analyse. On considère que les emballages sont choisis de façon indépendante et que la probabilité que chacun soit défectueux est toujours $0,15$.

1. a) Calculer la probabilité que tous les emballages sélectionnés soient conformes (respectent les normes).
2. b) Calculer la probabilité qu'au moins un des emballages soit défectueux.
3. c) Quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 6 emballages conformes dans l'échantillon ?

Un QCM comporte 12 questions, chacune avec 4 propositions de réponse dont une seule est correcte. Un élève qui n'a rien révisé décide de répondre à toutes les questions au hasard.

1. a) Calculer le nombre attendu de réponses correctes (espérance) et l'écart type de cette loi.
2. b) Quelle est la probabilité que l'élève réussisse l'examen (obtienne au moins 6 bonnes réponses) ?
3. c) Si l'examen comportait 100 questions, quels seraient les paramètres de la loi binomiale obtenue ? (Ne pas effectuer les calculs de probabilité).

Lors d'une campagne de vaccination dans un lycée, on a observé que $10\%$ des élèves ressentent un effet secondaire léger (comme une douleur au bras). On choisit une classe de 25 élèves vaccinés :

1. a) Quel est le nombre moyen d'élèves dont on peut s'attendre à ce qu'ils aient des effets secondaires ?
2. b) Calculer la probabilité que le nombre d'élèves ayant des effets secondaires soit inférieur à la moyenne.
3. c) Quelle est la probabilité que exactement 3 élèves aient des effets secondaires ?

Résoudre les questions suivantes relatives au dénombrement et aux factorielles :

1. a) Déterminer la valeur de $n$ dans l'égalité suivante :

$$\binom{n}{2} = 21$$

1. b) Simplifier l'expression suivante en laissant le résultat en fonction de $n$ :

$$\frac{(n+1)! + n!}{(n-1)!}$$

1. c) Combien de nombres à 5 chiffres peut-on former en utilisant uniquement les chiffres $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ si l'on n'autorise aucune répétition de chiffre ? Comment le résultat changerait-il si l'on autorisait les répétitions ?

Un créateur de contenu sur TikTok sait que la probabilité qu'une de ses vidéos devienne « virale » (dépasse les 100 000 vues) est de 0,05. S'il décide de publier une vidéo par jour pendant une semaine (7 jours), et que l'on suppose que les vidéos sont indépendantes les unes des autres :

1. a) Quelle est la probabilité qu'aucune de ses vidéos ne devienne virale ?

1. b) Calculer la probabilité qu'au moins 2 vidéos soient virales.

1. c) Représenter à l'aide d'un arbre pondéré les possibilités de succès (V, vidéo virale) et d'échec (N, vidéo non virale) pour les 3 premiers jours et attribuer les probabilités à chaque branche.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une entreprise de messagerie utilise des drones pour livrer des colis dans des zones rurales. On a constaté que la probabilité qu'un drone commette une erreur de précision à l'atterrissage est de 0,12. Si un drone effectue 15 atterrissages au cours d'une journée :

1. a) Calculer la probabilité qu'il réussisse tous les atterrissages.
2. b) Calculer la probabilité qu'il commette des erreurs lors de plus de 2 atterrissages.
3. c) Si l'entreprise veut que le nombre moyen d'erreurs par journée soit au plus égal à 1, combien d'atterrissages le drone devrait-il effectuer par jour en conservant le même taux d'erreur ?

Un institut de sondage en France veut sélectionner un panel de consommateurs à partir d'un groupe de 12 volontaires. L'équipe technique envisage trois tailles possibles pour le panel : 3 personnes, 9 personnes ou 6 personnes.

1. a) Sans effectuer de calcul numérique préalable, estimer en justifiant s'il y aura plus de façons de former un panel de 3 personnes ($\binom{12}{3}$) ou de 9 personnes ($\binom{12}{9}$), ou si les deux nombres seront égaux, en s'appuyant sur la signification de « choisir ceux qui entrent » par rapport à « choisir ceux qui restent à l'écart ».
2. b) Vérifier votre estimation en calculant formellement $\binom{12}{3}$ et $\binom{12}{9}$ à l'aide de la formule avec les factorielles.
3. c) Avant de calculer $\binom{12}{6}$, estimer en justifiant si le nombre de combinaisons possibles pour un panel de 6 personnes sera supérieur, inférieur ou égal à $\binom{12}{3}$. Calculer ensuite $\binom{12}{6}$ et apprécier si le résultat concorde avec la place qu'occupe cette valeur dans la ligne correspondante du triangle de Pascal.

Dans un centre de santé de soins primaires de garde en Occitanie, la direction doit organiser les services de nuit par binômes de 2 médecins choisis parmi un effectif fixe de $n$ professionnels disponibles. La direction étudie la possibilité de recruter 1 médecin de plus, ce qui porterait l'effectif à $n+1$ professionnels et permettrait de disposer de 7 binômes possibles de plus qu'auparavant.

1. a) Poser une équation reliant les coefficients binomiaux $\binom{n+1}{2}$, $\binom{n}{2}$ et l'augmentation annoncée du nombre de binômes.
2. b) Résoudre l'équation pour déterminer le nombre $n$ de médecins qui composent actuellement l'effectif.
3. c) Démontrer, en appliquant la formule de Pascal $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$, que la différence $\binom{n+1}{2} - \binom{n}{2}$ équivaut directement à $\binom{n}{1}$, en vérifiant que votre résultat précédent s'obtient immédiatement sans avoir à résoudre une équation du second degré.

Lors d'un tournoi d'e-sport, la probabilité qu'un joueur professionnel de « League of Legends » réalise un « Pentakill » lors d'une partie compétitive est de $p = 0,008$. Une équipe décide de participer à une ligue qui comporte un certain nombre de parties $n$. On sait que la probabilité que l'équipe ne réalise aucun « Pentakill » dans toute la ligue est inférieure à $0,6$.

1. a) Déterminer, à l'aide de logarithmes, le nombre minimal de parties que l'équipe doit jouer pour que cette condition soit remplie.

1. b) Si elle joue finalement $120$ parties, calculer la probabilité qu'elle réalise exactement deux « Pentakills », en donnant le résultat final avec quatre décimales. Pour le calcul du coefficient binomial, utiliser la formule avec les factorielles : $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Un réseau social bien connu analyse le comportement de ses « stories ». On a constaté que la distribution du nombre d'utilisateurs qui interagissent avec une publicité suit une loi binomiale. Dans un échantillon d'utilisateurs, on sait que la moyenne des interactions est de $\mu = 12$ et la variance est de $\sigma^2 = 7,2$.

1. a) Calculer la taille de l'échantillon $n$ et la probabilité d'interaction $p$ de chaque utilisateur.

1. b) Une fois $n$ et $p$ obtenus, déterminer la probabilité que, dans un nouvel échantillon de même taille, le nombre d'interactions soit strictement supérieur à $2$ et inférieur ou égal à $4$.

Une entreprise de fabrication de composants pour smartphones réalise un contrôle qualité. Chaque lot de production d'une pièce critique contient $2\%$ d'unités défectueuses. Les pièces sont emballées dans des boîtes de $15$ unités. Un client achète une cargaison de $100$ boîtes.

1. a) Quelle est la probabilité que, dans une boîte choisie au hasard, il y ait au moins $2$ pièces défectueuses ?

1. b) Si le client renvoie la boîte lorsqu'elle contient plus d'une pièce défectueuse, combien de boîtes peut-on s'attendre à ce que le client renvoie parmi les $100$ qu'il a achetées ?

Dans le département de mathématiques d'un lycée, on veut former un comité de remise des diplômes. Il y a $12$ élèves de filière scientifique et $10$ de filière sciences sociales.

1. a) De combien de façons peut-on choisir un comité de $6$ personnes s'il doit y avoir au moins $4$ élèves de sciences sociales ? Utiliser les propriétés des coefficients binomiaux pour simplifier les calculs à la main.

1. b) Si le processus de sélection de chaque membre était indépendant et que la probabilité de choisir un élève de sciences sociales était la proportion réelle dans le groupe ($10/22$), quelle serait la probabilité que, dans un comité de $6$ personnes choisies avec remise, il y ait exactement $3$ de chaque filière ?

Une étude sur les habitudes de lecture des adolescents de 17 ans affirme que $70\%$ d'entre eux lisent habituellement au format numérique. On choisit au hasard $10$ adolescents.

1. a) Calculer la probabilité que le nombre d'adolescents qui lisent au format numérique soit égal au mode de cette loi binomiale. (Remarque : le mode d'une $B(n, p)$ est la valeur entière $k$ telle que $(n+1)p - 1 \leq k \leq (n+1)p$).

1. b) Sachant qu'au moins $8$ d'entre eux lisent au format numérique, quelle est la probabilité que les $10$ le fassent ? (Probabilité conditionnelle).

Démontrer, à l'aide de la définition du coefficient binomial avec les factorielles, l'identité suivante (connue sous le nom de formule de Pascal) :

$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$$

Appliquer ce résultat pour calculer la valeur de $\displaystyle \binom{10}{4} + \binom{10}{3}$ sans calculer chaque terme séparément.

Un examen de rattrapage consiste en $80$ questions de type QCM avec $4$ options chacune, dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard aux $12$ questions qu'il ne savait pas.

1. a) Soit $X$ la variable « nombre de bonnes réponses aux $12$ questions ». Définir les paramètres de la loi.

1. b) Calculer la probabilité qu'il ait plus de bonnes réponses que de mauvaises.

1. c) S'il a besoin d'au moins une bonne réponse pour valider cette partie, calculer la probabilité qu'il échoue.

Une application de livraison a une probabilité de retard de livraison de $p = 0,15$. Un livreur effectue $20$ livraisons lors d'un service de nuit. Soit $X$ le nombre de livraisons en retard (on suppose que les livraisons sont indépendantes, de sorte que $X$ suit une loi binomiale $B(20;\ 0,15)$). La figure montre la loi de probabilité de $X$.

1. a) Quelle est la probabilité qu'il ait exactement $3$ retards ? Exprimer le coefficient binomial sous forme d'un produit de fractions avant d'effectuer les calculs.

1. b) Si le livreur reçoit une pénalité lorsqu'il a plus de $4$ retards, quelle est la probabilité qu'il soit pénalisé ? (Poser le calcul en utilisant l'événement contraire et justifier pourquoi c'est plus efficace dans ce cas, en comparant le nombre de probabilités individuelles à calculer avec chaque méthode).

D'après une enquête de l'INSEE, dans une grande aire métropolitaine, la probabilité qu'un usager régulier du RER juge positivement la ponctualité du service est de $p = 0,3$ ($30\%$). Dans une gare, on interroge de façon indépendante 5 voyageurs au hasard.

1. a) Définir la variable aléatoire $X =$ « nombre de voyageurs qui jugent positivement la ponctualité parmi les 5 personnes interrogées ». Justifier s'il s'agit d'une variable discrète ou continue et vérifier si elle remplit les conditions pour être modélisée par une loi binomiale $B(n, p)$.
2. b) Dans la formule $P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^3$, expliquer avec vos propres mots quel rôle spécifique joue le coefficient binomial $\binom{5}{2}$ par rapport aux facteurs $0,3^2$ et $0,7^3$. Pourquoi serait-il incorrect d'omettre le coefficient binomial dans le calcul de la probabilité ?
3. c) Le porte-parole d'une association d'usagers déclare : « Comme la probabilité individuelle de satisfaction n'est que de $0,3$, il est pratiquement trois fois plus probable de trouver 1 usager satisfait que 2 usagers satisfaits ». Modéliser les deux probabilités ($P(X=1)$ et $P(X=2)$), calculer leur quotient exact et déterminer mathématiquement si l'affirmation du porte-parole est correcte ou si elle commet une erreur en ignorant le poids du coefficient binomial par rapport aux probabilités individuelles.

Le comité social et économique d'une entreprise technologique à Paris lance un processus interne pour constituer une commission de négociation comptant $k$ représentants choisis parmi une liste de $n$ candidats salariés. On dispose de deux informations sur le processus :

1) Si l'on décidait de former une commission minimale de seulement 2 représentants, il y aurait exactement 45 combinaisons différentes de candidats : $\binom{n}{2} = 45$.

2) Pour des raisons de représentativité interne, le nombre de commissions possibles de taille $k$ coïncide exactement avec le nombre de commissions possibles si l'on élargit le comité à $k+2$ membres : $\binom{n}{k} = \binom{n}{k+2}$, où $k > 0$.

1. a) À partir de la première information, poser une équation et en déduire de façon argumentée le nombre total $n$ de salariés qui composent la liste de candidats.
2. b) En s'appuyant sur la propriété de symétrie des coefficients binomiaux ($\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$), établir une relation linéaire entre $n$, $k$ et $k+2$, et déterminer la valeur exacte de $k$.
3. c) Si finalement la liste de candidats augmentait d'une personne (pour atteindre $n+1$ membres) et que la taille du comité était fixée à $k+1$ membres, utiliser la formule de Pascal pour calculer combien de comités différents on pourrait former en additionnant deux coefficients binomiaux de la liste initiale, et interpréter la signification de chacun de ces termes dans le contexte de l'entreprise.