Funcions lògiques i taules de veritat

Completa la taula de veritat de la funció $f = a \cdot b + \overline{c}$ per a les vuit combinacions de les entrades $a$, $b$ i $c$, i indica en quantes la sortida val $1$.

Explica què és la forma canònica d'una funció lògica (suma de productes amb totes les variables a cada terme) i per què qualsevol taula de veritat té una única forma canònica, encara que admeti moltes expressions simplificades equivalents.

D'aquesta taula de veritat parcial se'n coneixen les sortides: $f(0,0,0) = 0$, $f(0,0,1) = 1$, $f(0,1,0) = 0$, $f(0,1,1) = 1$, $f(1,0,0) = 0$, $f(1,0,1) = 0$, $f(1,1,0) = 1$, $f(1,1,1) = 1$. Obtén la funció canònica com a suma de productes (minterms) de les combinacions que donen $1$ i simplifica-la aplicant propietats de l'àlgebra de Boole.

Demostra amb taules de veritat les lleis de De Morgan: $\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$ i $\overline{a + b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$. Explica amb les teves paraules què permeten fer aquestes lleis a l'hora de dissenyar circuits.

Simplifica $f = \overline{\overline{a} + b}$ aplicant De Morgan i la doble negació, pas a pas, indicant cada llei utilitzada. Després dibuixa el circuit original (NOT, OR, NOT) i el simplificat, i compta les portes estalviades.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En el control d'un semàfor de vianants intel·ligent, dissenyes el circuit per a la llum verda de vianants ($V = 1$) a partir de tres senyals: polsador de vianants ($P$), sensor de vehicle d'emergències aproximant-se ($A$) i temporitzador d'hora punta ($T$). Les especificacions de seguretat són:

1. Si es detecta un vehicle d'emergències ($A = 1$), el semàfor de vianants ha de romandre en vermell ($V = 0$) sota qualsevol circumstància.

2. En absència d'emergències, es dona pas als vianants si el vianant ho sol·licita ($P = 1$) o si el temporitzador indica cicle automàtic ($T = 1$).

3. Per seguretat intrínseca davant de trencament de cable, els sensors es cablen amb lògica activa a nivell baix: el polsador accionat lliura $P = 0$ (en repòs $P = 1$) i la presència d'ambulància lliura $A = 0$ (en repòs $A = 1$). El temporitzador manté lògica activa a nivell alt ($T = 1$).

1. a) Elabora la taula de veritat de la sortida $V$ en funció dels senyals lògics reals mesurats ($A, P, T$).
2. b) Obtén la funció lògica simplificada en suma de productes per Karnaugh.
3. c) Justifica què passaria amb la seguretat de la cruïlla si el cable del sensor d'emergències $A$ es talla accidentalment (quedant a nivell lògic $0$ per una resistència pull-down) enfront de si queda a nivell alt ($1$). Quina de les dues opcions representa un disseny de fallada segura (fail-safe)?

Verifica raonant-ho (sense taules) aquestes propietats de l'àlgebra de Boole: $a + 1 = 1$, $a \cdot 0 = 0$, $a + a = a$, $a \cdot \overline{a} = 0$. Què significa físicament cadascuna si $a$ és un interruptor?

Demostra la llei d'absorció $a + a \cdot b = a$ de dues maneres: algebraicament (traient factor comú) i amb la taula de veritat. Explica quina utilitat pràctica té aquesta llei en simplificar circuits digitals.

El circuit d'aturada d'emergència d'una empaquetadora industrial respon a tres sensors $A, B, C$ segons l'expressió:

Actualment està muntat amb inversors, portes AND de 3 entrades i una porta OR de 4 entrades.

1. a) Simplifica la funció $P$ mitjançant un mapa de Karnaugh fins a obtenir la mínima expressió en suma de productes. Quantes portes i entrades totals estalvies respecte al muntatge original?
2. b) Un operari afirma: «Podem substituir tot el circuit per una única porta XOR de tres entrades, $P = A \oplus B \oplus C$, perquè la taula de veritat coincideix en la majoria de combinacions». Demostra mitjançant la taula de veritat si l'afirmació és园 vertadera o falsa, indicant per a quines combinacions d'entrada la màquina actuaria de manera incorrecta.
3. c) Analitza la funció simplificada en el mapa de Karnaugh: si les entrades passen d'$ABC = 110$ a $ABC = 111$, prediu raonadament si hi ha risc que aparegui un pols transitori espuri (glitch o risc estàtic 1) a la sortida a causa dels retards de commutació de les portes, i justifica com es resoldria aquest risc.

Escriu la taula de veritat de la porta NOR de dues entrades ($A$ i $B$) i explica com es construeix a partir d'una porta OR i una porta NOT. Indica amb una frase quan dona sortida $1$.

En una línia de producció has d'implementar el circuit d'aturada d'un actuador la funció booleana simplificada del qual és $S = \overline{A \cdot B} + C$. Al magatzem només disposes de circuits integrats 74HC00 (cada integrat conté 4 portes NAND de dues entrades independents).

Un tècnic substitueix directament cada operador pel seu equivalent estàndard i afirma que necessitarà 2 integrats complets (5 portes NAND en total).

1. a) Demostra formalment mitjançant les lleis de De Morgan i l'àlgebra de Boole que és possible implementar la funció $S$ emprant únicament 4 portes NAND de dues entrades, indicant quins senyals has de connectar a cada entrada.
2. b) Dibuixa l'esquema elèctric del circuit optimitzat i raona quants circuits integrats 74HC00 es necessiten realment.
3. c) En la tecnologia CMOS de l'integrat 74HC00, prediu quin problema tècnic passaria si deixes les entrades de les portes sobrants a l'aire (flotants) en un entorn industrial amb soroll electromagnètic, i justifica com s'han de connectar per evitar un consum excessiu o una avaria del xip.

Un sistema de refrigeració d'emergència ha d'activar una turbina ($T = 1$) en funció de l'estat de tres variables: pressió crítica ($P$), temperatura elevada ($E$) i fallada de ventilació forçada ($V$). Els requisits de seguretat imposen que la turbina s'activi per als minterms: $T(P, E, V) = \sum m(1, 2, 5, 6, 7)$.

Per reduir espai a la placa, es decideix implementar tota la lògica amb un únic multiplexor comercial de 4 entrades de dades ($D_0, D_1, D_2, D_3$) i 2 entrades de selecció ($S_1, S_0$), sense afegir cap porta lògica externa.

1. a) Justifica el fonament teòric d'utilitzar un multiplexor com a generador universal de funcions lògiques.
2. b) Si connectes les variables $P$ i $E$ a les entrades de selecció ($S_1 = P, S_0 = E$), determina raonadament quin valor constant ($0, 1$) o quin senyal ($V, \overline{V}$) s'ha de connectar a cada entrada de dades $D_0, D_1, D_2$ i $D_3$.
3. c) Si per restriccions de cablatge s'intercanvien les entrades de selecció de manera que $S_1 = V$ i $S_0 = E$, obtén les noves funcions que caldria introduir a $D_0, D_1, D_2, D_3$ en funció de la variable restant $P$.