Simplificació amb mapes de Karnaugh

Explica com es construeix un mapa de Karnaugh de dues variables: quantes cel·les té, què representa cada cel·la i per què les columnes i files s'etiqueten seguint el codi Gray ($00$, $01$, $11$, $10$) en lloc de l'ordre binari habitual.

Trasllada a un mapa de Karnaugh de tres variables (columnes $ab$: $00$, $01$, $11$, $10$; files $c$: $0$, $1$) els minterms $0$, $2$, $5$ i $7$ d'una funció. Dibuixa el mapa complet amb els seus uns i zeros a cada cel·la.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un mapa de quatre variables, explica per què la cel·la de la cantonada superior esquerra és adjacent a la de la cantonada superior dreta, i forma amb un exemple l'agrupació de quatre cantonades: quin terme simplificat produeix un grup amb les quatre cantonades d'un mapa de quatre variables?

Enuncia les regles per formar grups en un mapa de Karnaugh: quines mides de grup són vàlides, què significa que les cel·les han de ser adjacents (inclosos els marges) i com s'obté el terme simplificat de cada grup.

En un mapa de dues variables hi ha uns a les cel·les $ab = 10$ i $ab = 11$. Descriu l'agrupació i raona quina variable s'elimina (la que canvia dins del grup) i quina queda fixa, escrivint el terme simplificat.

Explica per què un grup de dues cel·les elimina una variable, un de quatre cel·les n'elimina dues i un de vuit n'elimina tres. Quina mida de grup eliminaria totes les variables d'una funció de tres variables i quina funció en resulta llavors?

Un grup rectangular d'un mapa cobreix les cel·les on $a = 1$, amb $b$ i $c$ prenent tots els valors. Escriu el terme que representa aquest grup i justifica la regla: «el terme conté només les variables que no canvien dins del grup, negades si valen $0$ i sense negar si valen $1$».

El mapa de Karnaugh de la figura correspon a una funció de tres variables $f(a, b, c)$. Assenyala les agrupacions que faries (dibuixa-les o descriu-les per les seves cel·les) i obtén la funció mínima resultant.

La funció $f(a,b,c)$ val $1$ per a les combinacions $1$, $3$, $5$ i $7$ (en decimal, amb $a$ com a bit més significatiu). Trasllada la taula de veritat a un mapa de Karnaugh de tres variables, forma l'agrupació més gran possible i obtén la funció mínima. Comprova el resultat substituint dues combinacions.

Simplifica amb un mapa de tres variables la funció que val $1$ en els minterms $1$, $2$, $3$ i $6$ (amb $a$ com a bit més significatiu): dibuixa el mapa, marca les dues agrupacions necessàries i escriu la funció mínima com a suma de dos productes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La figura mostra un mapa de Karnaugh de quatre variables $f(a,b,c,d)$ amb set uns. Assenyala l'agrupació més gran possible, escriu la funció mínima i comprova el resultat amb les combinacions $0000$ i $0101$.

La funció de tres variables $f$ val $1$ en els minterms $1$, $3$, $4$, $5$ i $7$. Dibuixa el mapa, busca les agrupacions (una de quatre i una altra de dues, amb encavalcament) i obtén la funció mínima. Explica per què un u pot pertànyer a dos grups alhora.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un bus de comunicació de 4 bits ($A, B, C, D$, amb $A$ com a MSB), es necessita un circuit combinacional que discrimini certes paraules de dades.

1. a) Demostra formalment mitjançant el mapa de Karnaugh que la funció $f_1 = \sum m(0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14)$ es redueix a un únic literal. Justifica el resultat a partir de la propietat d'adjacència de Karnaugh i del pes del bit menys significatiu en binari natural.
2. b) Un tècnic confon «nombre enter parell» amb «paritat parella» i proposa utilitzar aquesta mateixa funció $f_1$ per verificar si una paraula de 4 bits té paritat parella (nombre parell d'uns, considerant el zero com a parell: mintermes $0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15$). Avalua críticament la seva proposta: dibuixa el mapa de Karnaugh de la paritat parella, explica per què el seu patró geomètric en escaquer impedeix qualsevol agrupació simplificadora i calcula el percentatge d'error que cometria el circuit del tècnic sobre el total de les 16 combinacions possibles.

Dos companys obtenen per a la mateixa taula de veritat les funcions $f = \overline{a} \cdot c + a \cdot b$ i $f = \overline{a} \cdot c + a \cdot b + b \cdot c$. Comprova amb un mapa de Karnaugh si són equivalents i explica què és un terme redundant (o de consens) en aquest context.

En el sistema de control d'una tremuja industrial es monitoritzen 3 sensors digitals de nivell ($A, B, C$, amb $A$ com a MSB). Per disseny mecànic de la instal·lació, hi ha estats prohibits o indiferències ($X$). La comporta de buidatge s'ha d'activar ($S = 1$) únicament en la combinació $m_5$ ($101_2$), i romandre tancada ($S = 0$) en les combinacions $\{0, 1, 2, 3\}$. Les combinacions $\{4, 6, 7\}$ corresponen als estats mecànicament impossibles.

1. a) Dedueix mitjançant el mapa de Karnaugh la funció mínima $S_{\text{amb } X}$ aprofitant les indiferències, i compara-la amb la funció $S_{\text{sense } X}$ que resultaria de fixar preventivament totes les indiferències a '0'. Quantifica l'estalvi de literals i portes lògiques.
2. b) Durant una operació de manteniment, un sensor falla i el sistema assoleix transitòriament la combinació imprevista $m_6$ ($110_2$). Prediu raonadament la resposta de la comporta en cadascun dels dos dissenys ($S_{\text{amb } X}$ i $S_{\text{sense } X}$). Justifica quina de les dues opcions ofereix més seguretat davant d'abocaments incontrolats de material perillós (criteri fail-safe).

Un mòdul descodificador converteix un codi BCD ($A, B, C, D$, amb $A$ com a MSB) per excitar el segment superior ($a$) d'un display de 7 segments. El segment s'ha d'encendre ($a = 1$) per als dígits $0, 2, 3, 5, 6, 7, 8$ i $9$. Les combinacions binàries del 10 al 15 no pertanyen a la codificació BCD i es consideren condicions indiferents ($X$).

1. a) Mitjançant el mapa de Karnaugh, obtén la funció mínima simplificada en suma de productes (SOP). Indica explícitament quin valor lògic ($0$ o $1$) ha adoptat en el teu disseny final cadascuna de les sis combinacions indiferents ($m_{10}$ a $m_{15}$).
2. b) Si per una fallada de sincronisme a la línia de dades entra al descodificador el codi binari no vàlid $1101_2$ ($13$ decimal), prediu si el segment $a$ s'il·luminarà o romandrà apagat segons la funció que has dissenyat.
3. c) En una aplicació crítica s'exigeix que, davant de qualsevol codi no vàlid ($10$ a $15$), tots els segments romanguin obligatòriament apagats per advertir l'usuari d'un error de lectura. Dissenya la nova funció del segment $a$ sota aquest requisit estricte i calcula el sobrecost en nombre de portes i literals respecte al disseny amb indiferències.

Un mòdul receptor de telemetria processa trames de 4 bits ($A, B, C, D$, amb $A$ com a MSB). La sortida de validació $f$ s'ha d'activar ($1$) per als minitermes canònics $\{1, 3, 7, 11, 15\}$. Les combinacions $\{5, 9, 13\}$ s'han catalogat al protocol com a «indiferències teòriques» ($X$), ja que corresponen a ordres de manteniment que no s'haurien de presentar en mode d'operació ordinari.

1. a) Obtén mitjançant Karnaugh la funció mínima $f_1$ aprofitant les indiferències i la funció mínima $f_0$ forçant $X = 0$. Compara totes dues en cost d'implementació (nombre de portes i literals).
2. b) L'equip de ciberseguretat adverteix que un atacant podria injectar paquets utilitzant deliberadament les trames de manteniment $\{5, 9, 13\}$ per activar el sistema sense autorització. Analitza què passarà amb cadascuna d'aquestes tres trames sota la implementació $f_1$ i sota $f_0$.
3. c) Proposa una modificació en la síntesi de la funció que permeti mantenir un cost de portes reduït però garanteixi que cap de les trames reservades $\{5, 9, 13\}$ activi la sortida $f$, deduint algebraicament la funció resultant.

En tecnologia de fabricació CMOS integrada, la síntesi en Producte de Sumes (POS) mitjançant portes NOR pot requerir menys transistors o menor temps de propagació que la Suma de Productes (SOP) tradicional.

Considera una funció combinacional de 3 variables $f(A, B, C)$ definida pels seus maxitermes nuls $M(0, 1, 4, 5)$ (és a dir, la sortida val $0$ únicament en aquestes combinacions).

1. a) Demostra formalment l'obtenció analítica de la forma POS simplificada agrupant zeros al mapa de Karnaugh i aplicant l'àlgebra de Boole / lleis de De Morgan.
2. b) Obtén la forma mínima SOP agrupant els uns. Compara ambdues arquitectures (POS vs. SOP) calculant el nombre exacte de transistors CMOS requerits per a cadascuna, sabent que un inversor NOT requereix 2 transistors i una porta bàsica (NAND o NOR) de $n$ entrades necessita $2n$ transistors.
3. c) Aplica la mateixa anàlisi comparativa (POS enfront de SOP) a una funció de 4 variables $g(A, B, C, D)$ els zeros de la qual se situen exclusivament a les quatre cantonades del mapa de Karnaugh: $M(0, 2, 8, 10)$. Determina si en aquest cas alguna de les dues formes presenta avantatge en nombre de portes o transistors i justifica el resultat per simetria.