Sistemes trifàsics i fasors

La figura mostra les tres ones de tensió d'un sistema trifàsic. a) Descriu què tenen en comú i en què es diferencien. b) Mesura sobre la gràfica el desfasament entre dues ones consecutives, assenyalat amb l'interrogant, i expressa'l en graus i en fracció de període. c) Raona per què en cap instant s'anul·len totes tres alhora.

La figura mostra el diagrama fasorial (de Fresnel) de les tres tensions d'un sistema trifàsic equilibrat. a) Explica què representa cada fasor (mòdul i angle) i en quin sentit gira el conjunt. b) Indica l'angle marcat amb l'interrogant entre dos fasors consecutius. c) Raona quant val la suma dels tres fasors en qualsevol instant.

Explica tres avantatges del sistema trifàsic respecte al monofàsic: la potència instantània lliurada és constant (no polsa), el transport de la mateixa potència necessita menys coure i els motors trifàsics arrenquen per si mateixos. Per què creus que tota la generació i el transport d'energia es fan en trifàsica?

En una xarxa monofàsica ($v(t) = V_{\text{max}} \sin(\omega t)$ i $i(t) = I_{\text{max}} \sin(\omega t)$ per a una càrrega resistiva), la potència instantània pulsa amb freqüència doble respecte a la xarxa i s'anul·la dues vegades a cada cicle. En contraposició, en un sistema trifàsic equilibrat amb tres resistències idèntiques $R$ connectades en estrella, les tensions de fase estan desfasades $120^\circ$ entre si.

1. a) Escriu les expressions analítiques de la potència instantània absorbida per cada fase ($p_1(t)$, $p_2(t)$, $p_3(t)$) en funció del temps i de la tensió eficaç de fase $V_F$.
2. b) Demostra analíticament que la potència total instantània $p_{\text{total}}(t) = p_1(t) + p_2(t) + p_3(t)$ és constant i independent del temps (recolza't en la identitat trigonomètrica $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ i en la suma fasorial de tres components desfasades $120^\circ$).
3. c) A partir d'aquest resultat, analitza i prediu els avantatges mecànics que presenta un motor trifàsic enfront d'un de monofàsic d'igual potència en termes de parell instantani, vibracions i vida útil dels coixinets.

Defineix tensió de fase i tensió de línia en un sistema trifàsic: entre quins punts es mesura cadascuna i quins valors tenen a la xarxa europea ($230\ \text{V}$ i $400\ \text{V}$). Indica quina tensió utilitza realment l'endoll d'un habitatge.

Comprova numèricament la relació $U_L = \sqrt{3} \cdot U_F$ amb els valors de la xarxa europea: parteix de $U_F = 230\ \text{V}$ i calcula $U_L$ (pren $\sqrt{3} = 1{,}732$). Comenta la petita diferència amb el valor nominal de $400\ \text{V}$.

Un operari ha de connectar en un quadre d'obra un calefactor monofàsic previst per funcionar a $230\ \text{V}$ amb una potència nominal de $2300\ \text{W}$. En comprovar que la mànega només disposa de tres fases sense fil neutre a $400\ \text{V}$, afirma: «Com que és una resistència robusta, la connecto entre dues fases qualssevol; s'escalfarà una mica més ràpid però no patirà danys».

1. a) Rebat quantitativament l'afirmació de l'operari calculant la resistència del calefactor i la potència real que dissiparà en connectar-se a $400\ \text{V}$. Determina el percentatge de sobrepotència que experimentarà l'equip.
2. b) Prediu raonadament les conseqüències tèrmiques i els riscos elèctrics directes que provocarà aquesta maniobra a la resistència i a la instal·lació.
3. c) Mitjançant un diagrama fasorial de les tres tensions simples de fase desfasades $120^\circ$, dedueix la demostració geomètrica de la relació $V_L = \sqrt{3} \cdot V_F$ i justifica per què és indispensable el neutre per obtenir els $230\ \text{V}$ de disseny.

Descriu les connexions en estrella i en triangle d'una càrrega trifàsica: com s'uneixen els tres elements en cadascuna (un extrem comú enfront d'un anell tancat) i en quina de les dues hi ha un punt neutre accessible. Dibuixa tots dos esquemes a mà alçada.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Tres impedàncies iguals de $23\ \Omega$ es connecten en estrella a una xarxa trifàsica de $400\ \text{V}$ de tensió de línia. a) Calcula la tensió que suporta cada impedància. b) Calcula el corrent de fase i el de línia. c) Explica per què a l'estrella el corrent de línia coincideix amb el de fase.

Tres impedàncies iguals, de $23\ \Omega$ cadascuna (resistències pures), es connecten en triangle a una xarxa trifàsica de $400\ \text{V}$ de tensió de línia.

1. a) Calcula la tensió sobre cada impedància i el seu corrent de fase.

1. b) Calcula el corrent de línia, $I_L = \sqrt{3} \cdot I_F$.

1. c) Compara les potències consumides per les mateixes tres impedàncies connectades en triangle i en estrella a aquesta mateixa xarxa de $400\ \text{V}$, i obtén el quocient entre ambdues ($P_\triangle / P_Y$).

Una càrrega trifàsica equilibrada connectada a $400\ \text{V}$ consumeix un corrent de línia de $16\ \text{A}$ amb un factor de potència de $0{,}9$. a) Calcula la potència activa amb $P = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \cos \varphi$ (pren $\sqrt{3} = 1{,}732$). b) Calcula l'energia consumida en $8\ \text{h}$ de funcionament. c) Explica què significa físicament el factor de potència en aquesta instal·lació.

Un taller trifàsic a $400\ \text{V}$ presenta un corrent de línia de $32\ \text{A}$ i un factor de potència de $0{,}75$. a) Calcula la potència aparent, $S = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L$. b) Calcula la potència activa. c) Calcula la potència reactiva aplicant el teorema de Pitàgores al triangle de potències, $Q = \sqrt{S^2 - P^2}$, i comenta si la instal·lació pagaria penalització per reactiva.

En un taller connectat a una xarxa trifàsica equilibrada de $400\ \text{V}$ i $50\ \text{Hz}$ funcionen simultàniament un motor de $3\ \text{kW}$ amb $\cos \varphi = 0{,}8$ inductiu i un forn purament resistiu de $2\ \text{kW}$. Un operari mesura amb una pinça amperimètrica el corrent en cada línia d'alimentació general esperant obtenir el valor resultant de sumar directament els corrents que ha calculat per a cada màquina per separat.

1. a) Calcula el corrent de línia nominal que absorbeix cada receptor per separat i la suma escalar d'ambdós corrents.
2. b) Determina mitjançant el balanç de potències activa i reactiva (mètode de Boucherot) el corrent de línia real que registrarà la pinça amperimètrica i el factor de potència global del taller.
3. c) Justifica fasorialment la discrepància entre ambdós resultats i raona si la suma aritmètica sobreestima o subestima sempre el corrent total de línia en receptors amb diferent factor de potència.