Càlcul de bigues i encavallades

Explica què són els diagrames d'esforços d'una biga i per a què serveixen: què representa el diagrama d'esforç tallant i què el de moment flector, i per què la secció que es dimensiona és aquella on el moment flector és màxim (la «secció perillosa»).

Distingeix entre esforç tallant i moment flector en una secció de biga: què tendeix a fer cadascun (lliscar verticalment una part respecte a l'altra davant de corbar la peça) i en quines unitats es mesura cadascun en el Sistema Internacional.

Explica el criteri de signes habitual del moment flector: positiu quan la biga es corba amb la cara inferior traccionada i negatiu quan es corba al revés. Raona en quina cara d'una biga birecolzada de formigó armat es col·loquen les armadures principals i per què.

La figura mostra una biga birecolzada de $5\ \text{m}$ amb una càrrega puntual de $2\,000\ \text{N}$ aplicada a $2\ \text{m}$ del suport A. a) Calcula les reaccions a A i B. b) Dibuixa a mà el diagrama d'esforç tallant indicant el seu valor a cada tram. c) Indica el valor del moment flector màxim i en quina secció es produeix.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una biga birecolzada de $6\ \text{m}$ suporta una càrrega de $3\,000\ \text{N}$ al seu centre. a) Calcula les reaccions. b) Dibuixa el diagrama de moments flectors (un triangle simètric) i calcula el moment màxim amb $M_{max} = \frac{P \cdot L}{4}$. c) Explica per què el diagrama de tallants canvia de signe just a la secció on el moment és màxim.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

A partir de la biga i els esquemes de diagrames d'esforços interns que es mostren a la figura:

1. a) Determina les reaccions als suports A i B mitjançant les equacions fonamentals de l'equilibri de l'estàtica i dedueix els valors numèrics exactes que falten al diagrama d'esforços tallants.
2. b) Demostra analíticament el valor del moment flector màxim a la secció sota la càrrega sense emprar fórmules memoritzades, deduint i comprovant la relació existent entre l'àrea del diagrama de tallants i la variació del moment flector.
3. c) Si la biga és d'acer amb un límit elàstic admisible $\sigma_{\text{adm}} = 150\ \text{MPa}$, calcula el mòdul resistent a flexió mínim ($W_z$) necessari per garantir la seguretat enfront de fallada per flexió. Prediu raonadament com variaria el moment flector màxim si la càrrega puntual de $2\,400\ \text{N}$ es desplacés a la secció central de la biga ($x = 3\ \text{m}$), justificant si aquesta nova posició resulta més o menys desfavorable per a la peça.

Una biga birecolzada de $4\ \text{m}$ suporta una càrrega uniformement repartida de $500\ \text{N/m}$ en tota la seva longitud. a) Calcula les reaccions. b) Calcula el moment màxim al centre amb $M_{max} = \frac{q \cdot L^2}{8}$. c) Dibuixa la forma dels diagrames de tallants (línia inclinada que creua per zero) i de moments (paràbola), assenyalant els seus valors característics.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una biga biapoiada de $6\ \text{m}$ suporta una càrrega contínua uniforme $q = 200\ \text{N/m}$ deguda al seu pes propi. Per donar servei a una instal·lació industrial, s'ha de col·locar una màquina fixa de $1\,200\ \text{N}$ i es plantegen dues alternatives: la posició central A ($x = 3\ \text{m}$) o la posició lateral B ($x = 1\ \text{m}$ del suport esquerre).

1. a) Aplicant el principi de superposició, obtén i justifica quantitativament el valor del moment flector màxim per a la posició A ($x = 3\ \text{m}$). Determina en quin percentatge s'incrementa el moment flector màxim en el va respecte al cas en què la biga només suportava el seu propi pes.
2. b) Compara les dues alternatives respecte als esforços tallants als suports: prediu i raona en quina de les dues situacions pateix més el suport més carregat i calcula el valor de la seva reacció en l'alternativa B ($x = 1\ \text{m}$).
3. c) Justifica sota quines condicions mecàniques del material i de les deformacions és físicament vàlid aplicar el principi de superposició en l'anàlisi estructural, i indica un exemple concret en el qual aquest principi deixi de ser aplicable.

Compara una biga birecolzada amb una mènsula en voladís des del punt de vista dels seus esforços: en quina apareix moment positiu al centre de la llum i en quina moment negatiu al costat de l'encastament. Posa un exemple real de cada tipologia (forjat entre biguetes, balcó) i indica en quina cara treballa a tracció el material en cada cas.

Un prestatge en voladís de $1{,}5\ \text{m}$, encastat a la paret, suporta $800\ \text{N}$ al seu extrem lliure. a) Calcula la reacció vertical i el moment d'encastament a la paret. b) Dibuixa els diagrames de tallants (constant) i de moments (triangle amb el màxim a la paret). c) Raona per què la mènsula es trencaria per l'encastament i no per l'extrem.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una marquesina en voladís de $2\ \text{m}$ suporta una càrrega repartida de $300\ \text{N/m}$ (pes propi més neu). a) Substitueix la càrrega per la seva resultant i calcula el moment a l'encastament. b) Comprova el resultat amb la fórmula del moment màxim, $M_{max} = \frac{q \cdot L^2}{2}$. c) Dibuixa la forma del diagrama de moments (paràbola creixent cap a la paret) i indica el seu signe.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Descriu en què consisteix el mètode dels nusos per resoldre una gelosia: quins equilibris es plantegen a cada nus ($\sum F_x = 0$ i $\sum F_y = 0$), per què convé començar per un nus amb només dues barres desconegudes i com es propaga el càlcul a la resta de l'estructura.

En un nus d'una gelosia concorren una barra horitzontal i una barra inclinada que puja cap a l'esquerra formant $60^\circ$ amb l'horitzontal, i en penja una càrrega de $1\,000\ \text{N}$. a) Planteja $\sum F_y = 0$ al nus i calcula l'esforç de la barra inclinada, raonant si treballa a tracció. b) Planteja $\sum F_x = 0$ i calcula l'esforç de la barra horitzontal, raonant el seu signe (pots utilitzar $\sen 60^\circ = 0{,}866$ i $\cos 60^\circ = 0{,}5$).

A l'encavallada simètrica de coberta de $6\ \text{m}$ de llum i $2\ \text{m}$ d'alçària mostrada a la figura, se suspèn una càrrega de $5\,000\ \text{N}$ al nus inferior D:

1. a) Planteja l'equilibri de nusos per calcular els esforços axials a les barres AB, AD i BD. Identifica amb rigor quines treballen a tracció i quines a compressió.
2. b) La barra diagonal comprimida AB té una longitud de $3{,}61\ \text{m}$. Explica per què en el disseny estructural d'estructures articulades les barres sotmeses a compressió resulten molt més crítiques i limitants que les sotmeses a tracció, anomenant el fenomen físic responsable i justificant quines característiques geomètriques de la seva secció convé maximitzar per prevenir-lo.
3. c) Prediu què li passaria a la distribució d'esforços si la càrrega puntual de $5\,000\ \text{N}$ es traslladés verticalment des del nus inferior D fins al nus superior B, actuant cap avall. Demostra analíticament quin valor prendria l'esforç axial al montant BD i raona si les forces a les barres perimetrals AB, BC, AD i CD augmentarien, disminuïrien o romandrien idèntiques.