Estabilitat dels sistemes

Explica amb les teves paraules què significa que un sistema automàtic sigui estable i posa dos exemples: un de sistema estable (un pèndol amb fricció) i un altre d'inestable (una escombra equilibrada verticalment sobre el palmell de la mà).

Compara l'estabilitat d'una bola al fons d'un bol, d'una bola sobre una cúpula i d'una bola en una superfície plana horitzontal. Relaciona cada cas amb un sistema estable, inestable i amb estabilitat crítica (ni torna ni s'escapa), i dona un exemple tecnològic de cadascun.

Explica què és una oscil·lació sostinguda (ni creix ni s'apaga) i per què és el límit entre un sistema estable i un d'inestable. En quins dispositius es busca expressament (oscil·ladors electrònics, rellotges)?

Distingeix en la resposta temporal d'un sistema els dos règims: transitori i permanent. En l'exemple d'un radiador que s'encén, quina part de la corba de temperatura és cadascun?

Explica què són les entrades de prova en esglaó i en rampa i quina informació dona cadascuna sobre un sistema (l'esglaó: rapidesa, sobreimpuls i error permanent; la rampa: capacitat de seguir consignes que canvien amb el temps). Posa un exemple real de cada tipus de consigna.

Un sistema de primer ordre respon pujant a poc a poc sense oscil·lacions, com la temperatura d'un calefactor. Explica què és la seva constant de temps $\tau$ (temps per assolir el $63\,\%$ del canvi total) i calcula quant triga un sistema amb $\tau = 20\ \text{s}$ a assolir pràcticament el valor final (unes $4\tau$ a $5\tau$).

La figura mostra la resposta de tres sistemes davant la mateixa entrada en esglaó. Classifica cada resposta (A, B i C) com a estable sobreesmorteïda, estable subesmorteïda (oscil·lant esmorteïda) o inestable, i raona la teva elecció a partir de com evoluciona cada corba amb el temps.

Defineix l'error en règim permanent d'un sistema de control i explica amb l'exemple d'una calefacció què significa que sigui diferent de zero (l'habitació s'estabilitza mig grau per sota de la consigna). Quin tipus de controlador l'elimina per complet?

Explica què són el sobreimpuls (o sobrepassament) i el temps d'establiment en una resposta a l'esglaó, i comenta el compromís habitual entre rapidesa i sobreimpuls: per què un sistema molt ràpid sol oscil·lar més?

Cerca exemples de sistemes deliberadament inestables o en oscil·lació sostinguda que són útils: l'oscil·lador d'un rellotge digital, el multivibrador d'un intermitent de cotxe, el xiulet de realimentació acústica d'un concert. Explica en cadascun per què es dissenya així i què el limita perquè no es «dispari» (no-linealitats, saturació).

Un centre de dades utilitza simuladors per provar els seus sistemes de control abans d'instal·lar-los. Explica quins avantatges té experimentar en simulació (seguretat, cost, repetibilitat, poder forçar situacions extremes) i quina limitació fonamental té un model simulat.

En un simulador, la resposta a l'esglaó d'un sistema triga $2\ \text{s}$ a assolir el $63\,\%$ del canvi total i no oscil·la. a) Estima la seva constant de temps i el seu model de primer ordre. b) Prediu la seva sortida als $4\ \text{s}$ i als $10\ \text{s}$ després d'un esglaó del $100\,\%$. c) Explica com comprovaries al simulador que realment és de primer ordre.

El conductor d'una central tèrmica triga $5\ \text{s}$ a notar qualsevol canvi (retard pur de mesura). Explica per què el retard pur és el pitjor enemic d'un llaç de control (la correcció arriba quan l'error ja ha canviat) i quines conseqüències té sobre el guany màxim utilitzable abans que apareguin oscil·lacions.

Un prototip de vehicle de transport de dues rodes autoequilibrat (tipus Segway) utilitza un giroscopi i acceleròmetres per mantenir el pal vertical actuant sobre el parell dels motors a les rodes (sistema modelable com un pèndol invertit).

Durant les proves de calibratge en llaç tancat s'observen tres situacions anòmales:

1. a) Amb un guany proporcional molt baix ($K_p = 4$), davant d'una pertorbació externa en esglaó (una empenta) el vehicle amb prou feines reacciona i cau lentament cap a terra.
2. b) En elevar el guany a un valor molt alt ($K_p = 85$) buscant una resposta enèrgica, el vehicle no s'estabilitza: entra en una oscil·lació violenta de freqüència creixent i acaba bolcant.
3. c) Un desenvolupador proposa solucionar l'oscil·lació de b) introduint un filtre digital en la lectura dels sensors que afegeix un retard temporal de $120\text{ ms}$.

Justifica físicament el comportament d'a) i b) en termes de dinàmica i estabilitat en llaç tancat. Prediu de manera raonada l'efecte que tindrà la proposta del desenvolupador sobre l'estabilitat del vehicle i proposa quina acció de control bàsica (integral o derivativa) afegiries per esmorteir les oscil·lacions sense desestabilitzar el sistema, justificant la teva elecció.

Durant els assajos de vol d'un dron quadricòpter en un banc de proves, se sotmet el llaç d'estabilització de l'angle de balanceig (inclinació horitzontal) a una ràfega sobtada de vent lateral que actua com a pertorbació constant. L'equip de control prova tres sintonitzacions diferents del controlador proporcional:

• Configuració A: El dron s'inclina $14^\circ$ i roman decantat en aquest angle constant mentre dura el vent, sense recuperar l'horitzontal.

• Configuració B: Després del vent, el dron oscil·la indefinidament al voltant de l'horitzontal amb una oscil·lació sinusoïdal pura d'amplitud constant de $\pm 6^\circ$ a $3\text{ Hz}$ que ni creix ni s'esmorteix.

• Configuració C: El dron comença a oscil·lar amb amplituds creixents ($\pm 3^\circ, \pm 8^\circ, \pm 22^\circ\dots$) fins que el sistema de seguretat desconnecta els motors per evitar danys.

Interpreta els tres comportaments relacionant cada cas amb el guany de llaç i la condició d'estabilitat del sistema (asimptòticament estable amb error, en el límit d'estabilitat o inestable). Justifica quina limitació física del regulador P provoca la fallada de la configuració A i quin ajust de guany has de realitzar en la configuració C per retornar el sistema a la zona d'estabilitat.