Funciones lógicas y tablas de verdad

Completa la tabla de verdad de la función $f = a \cdot b + \overline{c}$ para las ocho combinaciones de las entradas $a$, $b$ y $c$, e indica en cuántas de ellas la salida vale $1$.

Explica qué es la forma canónica de una función lógica (suma de productos con todas las variables en cada término) y por qué cualquier tabla de verdad tiene una única forma canónica, aunque admita muchas expresiones simplificadas equivalentes.

De esta tabla de verdad parcial se conocen las salidas: $f(0,0,0) = 0$, $f(0,0,1) = 1$, $f(0,1,0) = 0$, $f(0,1,1) = 1$, $f(1,0,0) = 0$, $f(1,0,1) = 0$, $f(1,1,0) = 1$, $f(1,1,1) = 1$. Obtén la función canónica como suma de productos (minterms) de las combinaciones que dan $1$ y simplifícala aplicando propiedades del álgebra de Boole.

Demuestra con tablas de verdad las leyes de De Morgan: $\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$ y $\overline{a + b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$. Explica con tus palabras qué permiten hacer estas leyes al diseñar circuitos.

Simplifica $f = \overline{\overline{a} + b}$ aplicando De Morgan y la doble negación, paso a paso, indicando cada ley usada. Después dibuja el circuito original (NOT, OR, NOT) y el simplificado, y cuenta las puertas ahorradas.

Un semáforo peatonal tiene un botón ($b$) y un sensor de presencia de coches ($c$). El disco verde para peatones ($v = 1$) solo se enciende si se pulsó el botón y no hay coches aproximándose, o si un temporizador interno ($t = 1$) indica cruce programado y tampoco hay coches. Diseña el sistema: tabla de verdad, función lógica simplificada y circuito de puertas.

Verifica razonándolo (sin tablas) estas propiedades del álgebra de Boole: $a + 1 = 1$, $a \cdot 0 = 0$, $a + a = a$, $a \cdot \overline{a} = 0$. ¿Qué significa físicamente cada una si $a$ es un interruptor?

Demuestra la ley de absorción $a + a \cdot b = a$ de dos formas: algebraicamente (sacando factor común) y con la tabla de verdad. Explica qué utilidad práctica tiene al simplificar circuitos: elimina entradas (y cableado) que no cambian el resultado.

Un circuito comercial implementa $f = \overline{a} \cdot b + a \cdot \overline{b} + a \cdot b$ con seis puertas. Simplifica la función aplicando que $a \cdot \overline{b} + a \cdot b = a$ (o con un mapa) y rediseña el circuito con el mínimo de puertas. Cuenta puertas y entradas totales antes y después.

Escribe la tabla de verdad de la puerta NOR y explica cómo se construye a partir de OR y NOT. Indica con una frase cuándo da salida $1$ («solo cuando ninguna entrada está activa»).

Solo dispones de puertas NAND de dos entradas. Explica que la puerta NAND es universal (permite construir NOT, AND y OR), dibuja cómo se construye cada una de las tres a partir de NAND y monta con ellas el circuito $f = a \cdot b + c$. ¿Cuántas puertas NAND has necesitado en total?

Diseña un multiplexor de dos entradas de datos $d_0$, $d_1$ y una de selección $s$: cuando $s = 0$ la salida copia $d_0$ y cuando $s = 1$ copia $d_1$. Escribe la tabla de verdad reducida, la expresión lógica y el circuito. Explica para qué sirve un multiplexor en un sistema digital (selección de datos por un único canal).