Exercicis: Funcions lògiques i taules de veritat

Escriu la taula de veritat de les tres operacions bàsiques de l'àlgebra de Boole ($f = a \cdot b$, $f = a + b$ i $f = \overline{a}$) i posa una frase de la vida quotidiana que es comporti com cadascuna.

El circuit de la figura combina dues portes. Escriu l'expressió lògica de la seva sortida $f$ en funció de les entrades $a$, $b$ i $c$, i raona quines combinacions d'entrada posen la sortida a $1$.

Completa la taula de veritat de la funció $f = a \cdot b + \overline{c}$ per a les vuit combinacions de les entrades $a$, $b$ i $c$, i indica en quantes la sortida val $1$.

Escriu la taula de veritat de la porta XOR (o exclusiva) i explica la seva frase característica («la sortida és 1 quan les entrades són diferents»). Posa un exemple quotidià: l'interruptor commutat d'una escala, on dos commutadors encenen el mateix llum.

La figura mostra dos muntatges amb interruptors i un llum. Explica quina funció lògica realitza cada muntatge (sèrie i paral·lel), escriu la seva taula de veritat prenent «interruptor tancat = 1» i «llum encès = 1», i raona per què els contactes de relés permeten muntar qualsevol funció lògica.

Explica què és la forma canònica d'una funció lògica (suma de productes amb totes les variables a cada terme) i per què qualsevol taula de veritat té una única forma canònica, encara que admeti moltes expressions simplificades equivalents.

Verifica raonant-ho (sense taules) aquestes propietats de l'àlgebra de Boole: $a + 1 = 1$, $a \cdot 0 = 0$, $a + a = a$, $a \cdot \overline{a} = 0$. Què significa físicament cadascuna si $a$ és un interruptor?

Escriu la taula de veritat de la porta NOR de dues entrades ($A$ i $B$) i explica com es construeix a partir d'una porta OR i una porta NOT. Indica amb una frase quan dona sortida $1$.

Una alarma d'una nau s'activa ($s = 1$) quan s'obre una porta ($p = 1$) o es detecta moviment ($m = 1$), però només si el sistema està armat ($a = 1$). Escriu l'expressió lògica de $s$, construeix la seva taula de veritat completa i dibuixa el circuit amb portes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Demostra amb taules de veritat les lleis de De Morgan: $\overline{a \cdot b} = \overline{a} + \overline{b}$ i $\overline{a + b} = \overline{a} \cdot \overline{b}$. Explica amb les teves paraules què permeten fer aquestes lleis a l'hora de dissenyar circuits.

D'aquesta taula de veritat parcial se'n coneixen les sortides: $f(0,0,0) = 0$, $f(0,0,1) = 1$, $f(0,1,0) = 0$, $f(0,1,1) = 1$, $f(1,0,0) = 0$, $f(1,0,1) = 0$, $f(1,1,0) = 1$, $f(1,1,1) = 1$. Obtén la funció canònica com a suma de productes (minterms) de les combinacions que donen $1$ i simplifica-la aplicant propietats de l'àlgebra de Boole.

Una porta de garatge només s'obre ($f = 1$) si es rep el senyal del comandament ($m = 1$) i no està posat el forrellat manual ($c = 0$), o si es prem el botó interior ($b = 1$) sense el forrellat posat. Escriu l'expressió lògica, construeix la taula de veritat i dibuixa el circuit amb portes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Demostra la llei d'absorció $a + a \cdot b = a$ de dues maneres: algebraicament (traient factor comú) i amb la taula de veritat. Explica quina utilitat pràctica té aquesta llei en simplificar circuits digitals.

Una funció de dues variables, $F(A,B)$, ha de valer $1$ només quan les dues entrades són iguals.

1. a) Escriu la seva taula de veritat.

1. b) Obtén la seva expressió canònica com a suma de minterms.

1. c) Simplifica-la tot el que puguis.

1. d) Compara la taula de veritat de $F$ amb la de la porta XOR (que val $1$ només quan les entrades són diferents) i explica quina relació hi ha entre ambdues funcions.

Simplifica $f = \overline{\overline{a} + b}$ aplicant De Morgan i la doble negació, pas a pas, indicant cada llei utilitzada. Després dibuixa el circuit original (NOT, OR, NOT) i el simplificat, i compta les portes estalviades.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una comissió de tres persones vota a mà alçada; la proposta tira endavant ($s = 1$) si hi ha majoria. Escriu la taula de veritat completa, obtén la funció i simplifica-la fins a una suma de tres productes de dues variables. Dibuixa el circuit amb dos nivells de portes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En el control d'un semàfor de vianants intel·ligent, dissenyes el circuit per a la llum verda de vianants ($V = 1$) a partir de tres senyals: polsador de vianants ($P$), sensor de vehicle d'emergències aproximant-se ($A$) i temporitzador d'hora punta ($T$). Les especificacions de seguretat són:

1. Si es detecta un vehicle d'emergències ($A = 1$), el semàfor de vianants ha de romandre en vermell ($V = 0$) sota qualsevol circumstància.

2. En absència d'emergències, es dona pas als vianants si el vianant ho sol·licita ($P = 1$) o si el temporitzador indica cicle automàtic ($T = 1$).

3. Per seguretat intrínseca davant de trencament de cable, els sensors es cablen amb lògica activa a nivell baix: el polsador accionat lliura $P = 0$ (en repòs $P = 1$) i la presència d'ambulància lliura $A = 0$ (en repòs $A = 1$). El temporitzador manté lògica activa a nivell alt ($T = 1$).

1. a) Elabora la taula de veritat de la sortida $V$ en funció dels senyals lògics reals mesurats ($A, P, T$).
2. b) Obtén la funció lògica simplificada en suma de productes per Karnaugh.
3. c) Justifica què passaria amb la seguretat de la cruïlla si el cable del sensor d'emergències $A$ es talla accidentalment (quedant a nivell lògic $0$ per una resistència pull-down) enfront de si queda a nivell alt ($1$). Quina de les dues opcions representa un disseny de fallada segura (fail-safe)?

Un dipòsit d'aigua industrial monitora el seu ompliment amb tres sensors de boia situats a diferent alçària: $A$ (superior), $B$ (intermedi) i $C$ (inferior). Cada sensor lliura un $1$ lògic quan està cobert per aigua i un $0$ quan està a l'aire. Es vol activar una bomba de drenatge auxiliar ($D = 1$) quan el nivell arribi o superi el sensor intermedi ($B$). Tanmateix, si es detecta una lectura físicament incoherent deguda a una avaria (per exemple, que un sensor superior detecti aigua però un d'inferior situat sota seu no), s'ha d'activar un senyal d'alarma de fallada ($F = 1$).

1. a) Construeix la taula de veritat completa per a les 8 combinacions possibles d'$A, B, C$, identificant els estats normals admissibles i els estats de fallada ($F = 1$).
2. b) Per al govern de la bomba $D$, en règim de funcionament fiable les combinacions de fallada no s'haurien de produir mai. Justifica com pots utilitzar aquestes combinacions impossibles com a termes indiferents (don't care, $X$) en un mapa de Karnaugh per obtenir la funció simplificada de $D$.
3. c) Compara l'expressió lògica obtinguda en l'apartat anterior amb la que resultaria si, per criteri de seguretat estricte, decideixes que davant de qualsevol incoherència la bomba s'hagi d'apagar obligatòriament ($D = 0$). Justifica la diferència de cost en portes i el compromís de seguretat d'ambdues alternatives.

En una línia de producció has d'implementar el circuit d'aturada d'un actuador la funció booleana simplificada del qual és $S = \overline{A \cdot B} + C$. Al magatzem només disposes de circuits integrats 74HC00 (cada integrat conté 4 portes NAND de dues entrades independents).

Un tècnic substitueix directament cada operador pel seu equivalent estàndard i afirma que necessitarà 2 integrats complets (5 portes NAND en total).

1. a) Demostra formalment mitjançant les lleis de De Morgan i l'àlgebra de Boole que és possible implementar la funció $S$ emprant únicament 4 portes NAND de dues entrades, indicant quins senyals has de connectar a cada entrada.
2. b) Dibuixa l'esquema elèctric del circuit optimitzat i raona quants circuits integrats 74HC00 es necessiten realment.
3. c) En la tecnologia CMOS de l'integrat 74HC00, prediu quin problema tècnic passaria si deixes les entrades de les portes sobrants a l'aire (flotants) en un entorn industrial amb soroll electromagnètic, i justifica com s'han de connectar per evitar un consum excessiu o una avaria del xip.

Es vol dissenyar el nucli de comparació de dues paraules binàries de dos bits, $A = A_1 A_0$ i $B = B_1 B_0$. El sistema ha de disposar de dues sortides: $I = 1$ quan tots dos nombres siguin exactament iguals ($A = B$) i $M = 1$ quan el primer nombre sigui estrictament més gran que el segon ($A > B$).

1. a) Obtén la taula de veritat de 4 variables d'entrada i obtén mitjançant mapes de Karnaugh les funcions mínimes en suma de productes per a $I$ i per a $M$.
2. b) Demostra que la funció d'igualtat $I$ es pot factoritzar com $I = \overline{(A_1 \oplus B_1)} \cdot \overline{(A_0 \oplus B_0)}$ i justifica físicament aquest resultat a partir de la comparació bit a bit.
3. c) A partir dels senyals intermedis d'igualtat de cada bit ($e_1 = \overline{A_1 \oplus B_1}$ i $e_0 = \overline{A_0 \oplus B_0}$), dedueix una expressió simplificada per a $M$ sense necessitat d'implementar tots els termes producte canònics, justificant el raonament jeràrquic que segueix un processador per comparar dos nombres.

Una unitat aritmètica i lògica (ALU) utilitza blocs semisumadors (HA) de dues entrades ($A, B$) amb sortides de suma ($S$) i ròssec ($C$). Cada semisumador presenta un retard de propagació de $10\text{ ns}$ tant en la seva sortida de suma com en la de ròssec. Es disposa a més de portes OR amb un retard de propagació de $6\text{ ns}$.

1. a) Dissenya l'estructura interna d'un sumador complet d'un bit ($A_i, B_i$ i ròssec entrant $C_{in}$) interconnectant dos semisumadors i una porta OR. Justifica de manera analítica per què les dues sortides de ròssec dels semisumadors no poden valer mai $1$ al mateix temps.
2. b) Determina el camí crític (retard màxim) per generar la suma $S_i$ i el ròssec sortint $C_{out}$ des que canvien les entrades.
3. c) Si es connecten en cascada 4 d'aquests sumadors complets per formar un sumador paral·lel de 4 bits amb ròssec propagat (ripple-carry adder), calcula el temps total necessari perquè el resultat de 4 bits i el ròssec final siguin completament estables, i prediu la freqüència de rellotge màxima a la qual podrà operar el sistema.

Un sistema de refrigeració d'emergència ha d'activar una turbina ($T = 1$) en funció de l'estat de tres variables: pressió crítica ($P$), temperatura elevada ($E$) i fallada de ventilació forçada ($V$). Els requisits de seguretat imposen que la turbina s'activi per als minterms: $T(P, E, V) = \sum m(1, 2, 5, 6, 7)$.

Per reduir espai a la placa, es decideix implementar tota la lògica amb un únic multiplexor comercial de 4 entrades de dades ($D_0, D_1, D_2, D_3$) i 2 entrades de selecció ($S_1, S_0$), sense afegir cap porta lògica externa.

1. a) Justifica el fonament teòric d'utilitzar un multiplexor com a generador universal de funcions lògiques.
2. b) Si connectes les variables $P$ i $E$ a les entrades de selecció ($S_1 = P, S_0 = E$), determina raonadament quin valor constant ($0, 1$) o quin senyal ($V, \overline{V}$) s'ha de connectar a cada entrada de dades $D_0, D_1, D_2$ i $D_3$.
3. c) Si per restriccions de cablatge s'intercanvien les entrades de selecció de manera que $S_1 = V$ i $S_0 = E$, obtén les noves funcions que caldria introduir a $D_0, D_1, D_2, D_3$ en funció de la variable restant $P$.

El circuit d'aturada d'emergència d'una empaquetadora industrial respon a tres sensors $A, B, C$ segons l'expressió:

Actualment està muntat amb inversors, portes AND de 3 entrades i una porta OR de 4 entrades.

1. a) Simplifica la funció $P$ mitjançant un mapa de Karnaugh fins a obtenir la mínima expressió en suma de productes. Quantes portes i entrades totals estalvies respecte al muntatge original?
2. b) Un operari afirma: «Podem substituir tot el circuit per una única porta XOR de tres entrades, $P = A \oplus B \oplus C$, perquè la taula de veritat coincideix en la majoria de combinacions». Demostra mitjançant la taula de veritat si l'afirmació és园 vertadera o falsa, indicant per a quines combinacions d'entrada la màquina actuaria de manera incorrecta.
3. c) Analitza la funció simplificada en el mapa de Karnaugh: si les entrades passen d'$ABC = 110$ a $ABC = 111$, prediu raonadament si hi ha risc que aparegui un pols transitori espuri (glitch o risc estàtic 1) a la sortida a causa dels retards de commutació de les portes, i justifica com es resoldria aquest risc.

L'enllumenat d'una galeria tècnica subterrània es governa des de tres punts independents mitjançant interruptors commutats ($A, B, C$). Accionar qualsevol interruptor ha d'invertir immediatament l'estat del llum ($L$), tant si està encès com apagat. Inicialment, amb tots els comandaments en posició de repòs ($A = 0, B = 0, C = 0$), el llum està apagat ($L = 0$).

1. a) Construeix la taula de veritat i demostra que la funció lògica combinacional que descriu el llum correspon a una funció de paritat senar: $L = A \oplus B \oplus C$.
2. b) Justifica algebraicament si l'ordre de maniobra dels commutadors altera el resultat final aprofitant les propietats associativa i commutativa de l'operació XOR.
3. c) En una instal·lació real no s'empren circuits integrats lògics, sinó dos commutadors d'extrem i un commutador d'encreuament intermedi alimentats a $230\text{ V}$. Dibuixa l'esquema elèctric unifilar/multifilar dels tres mecanismes i el llum connectats a Fase i Neutre. Justifica quina avaria funcional es produiria si el commutador d'encreuament se substitueix per error per un interruptor bipolar estàndard.